广东湛江市第二十一中学2025-2026学年高二第二学期6月阶段性考试数学试题

**基本信息** 高二数学阶段性考试，以端午节粽子取法、人形机器人概率、外卖订单统计为情境，覆盖数列、导数、统计等核心知识，注重用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达实际问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（粽子取法）、等比数列、数据均值方差|基础巩固，文化传承情境| |多选题|3/18|导数图像分析、二项式系数、概率分布|能力提升，逻辑推理| |填空题|3/15|排列（三位数组成）、等差数列前n项和、导数拐点|创新应用，数学抽象| |解答题|5/77|数列通项与求和、导数极值与切线、立体几何证明与二面角、机器人概率分布、外卖订单统计案例|综合应用，科技与生活情境，数据分析与模型构建|

湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期6月高二阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题（本大题共8道小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 2．端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ） A. 1或 B. C. 2或 D. 1 4． 的展开式中常数项是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 5.如果数据…，的平均数为2，方差为3，则数据…，的平均数和方差分别为（ ） A．11, 25 B．11, 27 C．8, 27 D．11, 8 6．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ） A．变量x，y正相关 B．回归直线一定过样本中心 C． D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 7．若事件A，B满足，，，则（ ） A． B． C． D． 8．设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11． 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分） 12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 13．已知为等差数列的前项和，若，则___________. 14.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算 ____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 16．（15分） 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求函数在上的最值． 17．（15分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC, E、F分别为棱A1C1,BC的中点. (1)求证:C1F∥平面ABE; (2)求证:平面ABE⊥平面BCC1B1; (3)若AB=BC=AA1=2,求二面角E-AB-C的余弦值. 18．（17分）4月6日，杭州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 19．（17分）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期6月高二阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分：150分，命题人：詹雄军 审核人：王德宽 一、单选题（本大题共8道小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【详解】. 2．端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【分析】根据分步乘法计算原理即可得解. 【详解】由题意，不同的取法种数为种. 故选：C. 3．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ） A. 1或 B. C. 2或 D. 1 【答案】A 【分析】利用等差中项概念和等比数列通项公式即可求公比. 【详解】因为为，的等差中项，所以， 又因为数列为等比数列，设公比为，则有，解得，故选：A. 4． 的展开式中常数项是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【分析】求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，即，则常数项为. 故选：B. 5.如果数据…，的平均数为2，方差为3，则数据…，的平均数和方差分别为（ ） A．11, 25 B．11, 27 C．8, 27 D．11, 8 5．【答案】B 【详解】试题分析：由平均数和方差的性质得数据3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的 平均数为，方差为32•σ2．∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为2， ∴数据3x1+5，3x2+5…，3xn+5的平均数是：3×2+5=11， ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为3， ∴3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的方差是32×3=27．故选B． 考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 6．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ） A．变量x，y正相关 B．回归直线一定过样本中心 C． D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 【答案】D 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，样本中心点一定在回归直线上，故B正确. 对于C， 因此，C正确； 对于D，，当时，（百台），D错误； 7．若事件A，B满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率和并事件的概率公式求解. 【详解】，代入，得到， 又因为，所以. 8．设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故， 因此在上单调递增， 所以对于任意的正数，有，即，即， 又因为，所以，结合选项可知D正确. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在上单调递增，所以，所以D错误. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确； 对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 11． 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据分布列的概率和为1可求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于C，根据二项分布的方差公式即可求解；对于D，根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】对于：， 所以，所以，故A正确； 对于，可得，故B不正确； 对于，因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分） 12．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【分析】先确定百位数字，再从剩余3个数字中选2个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可. 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择； 而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 13．已知为等差数列的前项和，若，则___________. 【答案】14 【分析】由等差数列的前项和公式求得首项和公差，再计算. 【详解】设等差数列的公差为，由，得 解得则 14.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算_____． 14.【答案】2012 【分析】对已知函数两次求导数，由题意可得函数关于点，对称，即，从而即可得答案． 【详解】解：由题意，，， 由，得，解得，而， 所以函数关于点，对称，所以，. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 15.【答案】(1)，. (2) 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， ···················1分 于是 ；·······················································3分 则，················································5分 故的通项公式为，的通项公式为.···························7分 （2）由题可知 ··················9分 数列的前项和为 ·······························11分 .····················································13分 16．（15分） 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求函数在上的最值． 16.【答案】（1）， （2） （3）最大值为，最小值为 【分析】（1）根据极值点和极值可构造方程组求得，验证可得结论； （2）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程； （3）根据单调性可确定最值点，进而求得最值. 【详解】（1），在处取得极值， ，解得：；································2分 当，时，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增，···················4分 是的极小值点，满足题意；·······································5分 综上所述：，.···················································6分 （2）由（1）得：，，····················7分 ，，····················································9分 在点处的切线方程为：，即.·10分 （3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；··11分 ，··········································12分 又，，，··········14分 在上的最大值为，最小值为.·································15分 17．（15分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC, E、F分别为棱A1C1,BC的中点. (1)求证:C1F∥平面ABE; (2)求证:平面ABE⊥平面BCC1B1; (3)若AB=BC=AA1=2,求二面角E-AB-C的余弦值. 17.17.【详解】 (1)证明:如图,取AB的中点M,因为F为棱BC的中点, 所以MF∥AC,MF=AC.又AC∥A1C1,AC=A1C1,E为A1C1的中点,所以MF∥EC1,MF=EC1.····1分 所以四边形MFC1E是平行四边形,所以ME∥C1F.······································2分 又C1F⊄平面ABE,ME⊂平面ABE, ··················································3分 所以C1F∥平面ABE.·····························································4分 (2)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.·······················5分 又AB⊂平面ABC,所以BB1⊥AB.····················································6分 又AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,····························7分 所以AB⊥平面BCC1B1.····························································8分 又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCC1B1.·······································9分 (3)解: (向量法) 如图所示建立空间直角坐标系， 则· ，·········10分 设平面的一个法向量为， ，令，所以，························12分 又因为直三棱柱ABC-A1B1C1 ， 所以 故平面的一个法向量为，··········································13分 设二面角的平面角为，由图可知，为锐二面角 所以， 所以二面角E-AB-C的余弦值为.························15分 (几何法) 如图,取AC的中点G,连接EG,因为M为AB的中点,所以MG∥BC. 又AB⊥BC,所以MG⊥AB,又由直三棱柱的几何特征可得EG⊥平面ABC.··················10分 又AB⊂平面ABC,所以EG⊥AB.·····················································11分 又MG∩EG=G,MG⊂平面EMG,EG⊂平面EMG,所以AB⊥平面EMG,····················12分 又EM⊂平面EMG,所以AB⊥EM,所以二面角E-AB-C的平面角为∠EMG.·················13分 因为AB=BC=AA1=2,所以MG=1,EG=2. 在Rt△EGM中,ME===,········································14分 所以cos ∠EMG==.所以二面角E-AB-C的余弦值为.·····························15分 18．（17分）4月6日，杭州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 18.【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B，························1分 用事件表示机器人成功，则·········4分 由全概率公式得.···························7分 （2）由题意得的取值可能为.·················································8分 ，·························································10分 ，·················································12分，·························································14分 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 ···············································································17分 19．（17分）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19.【答案】（1）列联表见解析，有关联 （2）分布列见解析，期望为 （3）80 【分析】（1）完善列联表，计算的值，并与临界值对比分析即可； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）由已知可得，利用二项分布概率公式求出概率表达式，再利用作商法求得使事件“”的概率最大时的值. 【详解】（1）列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 ···············································································2分 根据列联表中数据，经计算得到，····4分 所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.··································5分 （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个， 非好评有2个，·······························································6分 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有， 则，·············9分 所以的分布列为： 1 2 3 ··············································································10分 数学期望.··················································11分 （3）依题意，更换厨师后好评率为，····································12分 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是，····································13分 由，····································14分 由，解得，而，则当时，单调递增；·····15分 由，解得，则当时，单调递减，···················16分 所以使事件“”的概率最大时的值为80.········································17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $