25.2.2 公式法（课件） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，核心内容包括求根公式推导、根的判别式应用及解题步骤。课堂导入从已学配方法切入，通过“能否用配方法解一般形式方程”的问题，搭建旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以推理意识为核心，通过配方法逐步推导求根公式，培养学生逻辑思维；根的判别式分类讨论结合实例（如例1判断根的情况），体现数学语言的精确表达。例题、跟踪训练覆盖不同根的情况，课堂小结结构化步骤，助力学生形成模型意识，既提升学生解题规范性，也为教师提供清晰教学资源。

第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 九上数学人教 1.了解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程. 学习目标 2 我们已经会用配方法解像 x2−6x+5=0、2x2+4x−6=0 这样的一元二次方程了，任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否用配方法得出它的解呢？ 课堂导入 3 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题. 移项，得 二次项系数化为 1，得 知识点1 根的判别式 新知讲解 配方，得 即 知识点1 根的判别式 新知讲解 ① 因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (1) 当 b2-4ac > 0 时， 由①得 方程有两个不相等的实数根 知识点1 根的判别式 新知讲解 ① 因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (2) 当b2-4ac = 0 时， 由①可知，方程有两个相等的实数根. 知识点1 根的判别式 新知讲解 ① (3) 当 b2-4ac < 0 时， 由①得 而  取任何实数都不能使 成立，因此方程无实数根. 知识点1 根的判别式 新知讲解 可以发现，式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac. 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 知识点1 根的判别式 新知讲解 利用根的判别式判断下列方程的根的情况. (1) 2x2-3x-=0； (2) 16x2-24x+9=0. 所以方程有两个不相等的实数根. 解：（1）因为a=2，b=-3，c=- 所以Δ=b2-4ac =(-3)2-4×2×(﹣) =21>0. 解：（2）因为a=16，b=-24，c=9 所以Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0. 所以方程有两个相等的实数根. 例1 知识点1 根的判别式 新知讲解 利用根的判别式判断下列方程的根的情况. (1) x2-4x+9=0； (2) 3x2+10=2x2+8x. 所以方程无实数根. 解：（1）因为a=1，b=-4，c=9 所以Δ=b2-4ac =(-4)2-4×1×9 =-4 < 0. 解：（2）化简，移项得 x2-8x+10=0. 所以a=1，b=-8，c=10 所以Δ=b2-4ac =(-8)2-4×1×10 =24>0， 所以方程有两个不相等的实数根. 跟踪训练 知识点1 根的判别式 新知讲解 当Δ≥0时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的实数根可写为 x 的形式， 这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0). 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 用公式法解一元二次方程的步骤 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(1)因为a=1，b=﹣4，c=-7， 所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0， 方程有两个不相等的实数根x===2. 即 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(2) 因为 ， 所以， 方程有两个相等的实数根 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(3) 方程化为 ，此时 ， 所以 = (-4)2-4×5×(-1) =36>0. 方程有两个不相等的实数根x===. 即 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(4) 方程化为 ， 此时a=1，b=-8，c=17， 所以 (-8)2-4×1×17=-4＜0. 方程无实数根. 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1)x2-2x+3=0； (2)x2+9x-2=-x2+4x+10； (3)3x2+1=2x. 解：(1)由题意知a=1，b=-2，c=3， 所以△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0. 故方程无实数根. 跟踪训练 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1)x2-2x+3=0； (2)x2+9x-2=-x2+4x+10； (3)3x2+1=2x. 解：(2)原方程化为2x2+5x-12=0，此时a=2，b=5，c=-12. 所以△=b2-4ac=52-4×2×(-12)=121>0. 故方程有两个不相等的实数根x===, 即 =， -4. 跟踪训练 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1)x2-2x+3=0； (2)x2+9x-2=-x2+4x+10； (3)3x2+1=2x. 解：(3)原方程化为3x2-2x+1=0，则a=3,b=-2,c=1, 所以△=b2-4ac=(-2)2-4×3×1=12-12=0, 故方程有两个相等的实数根x===, 即 =. 跟踪训练 新知讲解 知识点2 公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1) x2+x-6=0; (2) x2﹣x﹣ =0; 解：(1) ∵a = 1, b = 1, c = -6. ∴ b2-4ac=12-4×1×(-6)=25>0, ∴ x= 即 . 解：(2) ∵a=1，b=-，c=﹣， ∴ b2-4ac=(﹣)2-4×1×(﹣)=4>0, ∴ x= 即 . 随堂练习 用公式法解下列方程： (3) 3x2-6x+4=0; (4) 2x2-3x=0; 解：(3)∵a=3,b=-6,c=4, ∴ b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0, ∴方程无实数根. 解：(4)∵ a=2,b=-3,c=0, ∴ - 4×2×0=9>0， ∴ . 即 . 随堂练习 用公式法解下列方程： (5) x2+4x+8=4x+11； (6) x(2x-4)=5-8x. 解：(5) 整理，得 ， ∵， ∴ 4×1×(-3) = 12 > 0， ∴， 即 . 解：(6) 整理，得 ， ∵ a = 2, b = 4, c = -5， ∴ b2- 4ac = 42- 4×2×(-5)=56 > 0， ∴ =， 即 . 随堂练习 2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A. B. C. D. D 随堂练习 3. 关于的方程 的根的判别式的值是( ) A. B. C. D. B 随堂练习 公式法解一元二次方程 根的判别式 步骤 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式△=b2-4ac，求根公式 x （b2-4ac≥0） 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 . 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况. 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 课堂小结 $