基本功专练(3) 二次函数的实际应用（周测小卷）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

基本功专练（三） （时间：40分钟 1.(8分)体育课上，小亮掷实心球，实心球 离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t十 vot十1.92，其中t(s)是实心球离手的时 间，o是实心球被投掷时竖直方向上的速 度.已知实心球离手1s时与抛出时的高 度一致， (1)的值为 (2)实心球离手多长时间时，离地面的高 度最大？最大高度为多少？ 2.(10分)如图，用长为24m的篱笆，一面 靠墙（墙的最大可用长度为10m)围成中 间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的 边AB的长为xm,面积为ym. (1)求y与x之间的函数关系式，并写出 x的取值范围， (2)当AB的长为多少时，花圃的面积最 大？最大面积是多少平方米？ -10m- ·11 次函数的实际应用 满分：60分) 3.(10分)某工厂加工生产某规格的食品的 成本价为30元/kg,根据市场调查发现， 当出厂价定为48元/kg时，每天可销售 500kg,为增大市场占有率，在确保盈利 的情况下，工厂采取降价措施，调查发现： 出厂价每降低1元，每天可多销售50kg. (1)求工厂销售此规格的食品每天获得的 利润（元）与降价x(元)之间的函数 关系式 (2)当降价多少元时，工厂销售此食品每天 获得的利润最大？最大利润为多少元？ 4.（10分)多人跳绳是深受学生喜爱的一种 运动.在跳绳过程中，大绳在某一时刻的 形状可以近似地看成抛物线.小李和伙伴 们一起跳绳.如图，小李与小王分别站在 A,B两点摇绳，两位同学的摇绳点C,D 高度一致，其他伙伴参与跳绳.已知AB= 6m,AC=1.2m.当大绳所在平面与地面 垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触 时，以点A为坐标原点，地面AB为x轴， AC所在直线为y轴建立平面直角坐 标系. (1)求此时抛物线的函数解析式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，EF= 1m,当绳位于图中抛物线的位置时， 则该同学最低要跳过多少米，才能让 绳安全通过？ A(O) E 5.(10分)施工队要修建一个横断面为抛物 线的公路隧道，其最高点P距离地面高度 为4m,宽度OM为8m.如图，现以点O 为原点，OM所在直线为x轴建立平面直 角坐标系. (1)求这条抛物线的函数解析式. (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并 行时，安全平行间距为2m,该双车道 能否同时并行两辆宽1.8m、高1.5m 的车辆？请通过计算说明， y/m Mx/m ·12 6.(12分)如图①，灌溉车沿着平行于绿化 带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水， 喷水口离地面的高度为1.6m.如图②， 可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为 平面直角坐标系中的两条抛物线的部分 图象，把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度 EF=0.6m,喷水口点H是下边缘抛物 线L2:y= 号r+1.6的最高点，上边缘 抛物线L1的最高点A离喷水口的水平距 离为2m,高出喷水口0.2m,灌溉车到绿 化带底部边缘的距离OD为dm. (1)求上边缘喷出水的最大射程OC. (2)当d=4时，灌溉车在行驶时喷出的水 能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计 算说明理由 B D 图① 图②0,或x一4=0..x1=2,x2=4.(10)方程化为y2一5y一6=0..a=1,b=一5，c=一6， .△=一4ac=(-5)2-4×1×(-6)=49>0..方程有两个不相等的实数根.y= 生c-（二议特压5喜7=6=-1 2a 2×1 2.解：(1)配方法二(2)公式法：.a=1,b=8,c=-9,.△=b2-4ac=82-4×1× (一9)=100>0.方程有两个不相等的实数根.x=二810=二810.= 2×1 2 1,x2=-9. 3.解：将x=1代入(a+2)x2+x十a2-2a-9=0,得a+2+1+a2-2a-9=0,即a2-a -6=0,解得a1=-2,a2=3.又，a十2≠0，即a≠-2，a=3. 4.解：：方程有两个不相等的实数根，△=62一4c>0,即b>4c..选择②③均可.选 择@，则这个方程为士+3x+1=0,解得工-一35，=二3.5选择③，则这个 2 方程为x+3x-1=0,解得=二3士√区， 2 正，-二3，压.（②③任选一个作答即可） 2 5.解：(1)由题意，得x(x-1)-3×4=0,解得x1=4,x2=-3.(2)由题意，得x(mx十 1)-m(2x-1)=0.整理，得mx2十(1-2m)x十m=0.∴.△=(1-2m)2-4m·m≥0且 m≠0，解得m≤4且m≠0. 阶段微测试（一） 1.C2.C3.C4.C5.D6.C7.-38.49.1210.7 11.解：(1)整理，得(2x一1)2=9.由此可得2x一1=士3，.2x一1=3，或2x一1=一3. ∴.x1=2,x2=-1.(2)a=2,b=-7,c=4,∴.△=6-4ac=(-7)2-4X2×4=17> 0方程有两个不相等的实数馄-告-7十a-1亚.(8)整 4 理，得3x(3x十2)一4(3x十2)=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x一4)=0.于是得3x十2 =0,或3x-4=0.面=-号=导 12.解：1)不正确不正确(2)整理，得2-2z=分配方，得2-2z+1-合十1，即 (一1=多由此可得一1=士=1+9a 2,2-1-6 21 13.解：由题意，得△=b-4ac=(-8)2-4×1×(3m十1)=60-12m=0,解得m=5. .原方程为x2一8.x十16=0，解得x1=x2=4. 14.(1)证明：，△=(2m十1)2-4×1×(m-2)=4m2+9>0,∴.无论m取何值，此方程 总有两个不相等的实数根.(2)解：由(1)得当m=0时，判别式的值最小.把m=0代入 原方程，得x2十x一2=0，解得x1=一2，x2=1. 15.解：(1)：方程x2-4x十m=0的根的判别式的值为4，△=(-4)2-4m=16-4m =4,解得m=3.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=4,x1x2=m:x1x2十m=x1十x2, m十m=4,解得m=2.(3):x1,x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜 边长为3十=9.（国十）-2西=9.4-2m=9,解得m=子 基本功专练（二）一元二次方程的实际应用 1.解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为x.根据题意，得2500(1一x)2= 1600,解得x=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意，舍去).答：单台服务器运行成本的 月平均降低率为20%. 2.解：(1)(x+2)(x十0.4)(2)根据题意，得2[(x+2)十(x十0.4)]x=1.6,解得 x1=-2(不符合题意，舍去)，x2=0.8.x十2=2.8，x十0.4=1.2.答：渠道的上口宽 是2.8m,渠底宽是1.2m. 3.解：设每束鲜花应降价x元.根据题意，得(80-50-x)(30十2x)=1000,解得x= 10,2=5.,尽量减少库存，∴x=10.答：每束鲜花应降价10元. 4.解：不能.理由如下：假设存在，设最小数为y,则另外三个数分别是y十1，y十7，y十 -52 8.根据题意，得y(y+8)+y十(y+1)+(y+7)+(y+8)=80,解得y1=一16，y=4. 当y=一16时，不符合题意，舍去；当y=4时，方框不存在，舍去..方框中最大数与最 小数的乘积与这四个数的和不能为80. 5.解：(1)小诚的说法有道理.理由如下：设有x人报名参赛.根据题意，得(x)卫 32,解得=1十)257，x2=1-)257.:,2都不是整数，…方程的解不符合实际。 2 ·小诚的说法有道理.(2)设原来有x人参加比赛，根据题意，得工一)，x一2)十4= 2 32,解得x1=9,x2=一6（不符合题意，舍去）.答：原来有9人参加比赛. 6.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得x1=10,x2=60(不符合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm.(2)设该 收纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,2a-=(50一a)cm,宽为(40一2a)cm.根 2 据题意，得(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58(不符合题意，舍去).答：该收 纳盒的高为12cm. 阶段微测试（二） 1.D2.B3.D4.A5.A6.C7.-38.49.-610.30% 11.解：(1)整理，得x2-4x=10.配方，得x2-4x十4=10+4，即(x-2)2=14.由此可 得x-2=士√14..x1=2+√14，z2=2-√14.(2)整理，得x2-8x-20=0.a=1, b=一8，c=一20，.△=(-8)2-4×1×(-20)=144>0..方程有两个不相等的实数 根.x-8,144_812.=10,,=一2.(3)左边因式分解，得(x-3)(红-3十 2×1 21 3 4x)=0.于是得x-3=0,或5x-3=0..=3,2= 12.解：1由题意，得△=3-4X(m-1DX2=17-8m>0,解得m<号”m-1≠0， m≠1.∴m的取值范围是m<号且m≠1.(2)由(1)知m<号且m≠1，∴m的最大正 整数值为2.当m=2时，该方程为x2+3x十2=0，·x+x2=一3，x1x2=2.…xx2十 x1x2-5=x2(x1+x2)-5=2×(-3)-5=-11. 1130k+b=50, 13.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=x+b,则 解得 150k+b=30, =,y与x之间的函数关系式为y=-x+180.(2)根据题意，得(x-100(-t b=180. +180)=700,解得x1=110,x2=170.100≤x≤160，.x=110.答：当售价定为110 元/件时，每天可获利润700元. 14.解：(1)设P,Q两点的运动时间为ts(0<t≤3.5).根据题意，得AQ=tcm,BP= 2tcm,则BQ=AB-AQ=(5-)cm.当S△0=4时，号(5-t)X2=4,解得=1， =4(舍去).1s后，△PBQ的面积等于4cm2.(2)△PBQ的面积不能等于7cm2.理 由如下：当△PBQ的面积等于7cm2时，号(6-)×21=7.整理，得2-5+7=0.：4 =(-5)2一4×1×7=-3<0，∴.该方程无实数根..△PBQ的面积不能等于7cm2. 阶段微测试（三） 1.D2.B3.D4.D5.B6.C7.y=x2一3（答案不唯一）8.29.-4 10.①②③ 11.解：把(5,0)代入y=一x2十(k十1)x一，得0=一52十5(k十1)一k,解得k=5..抛 物线的函数解析式为y=一2+6x-5.∴抛物线的对称轴为直线x=一2×(-)=3. 6 12.解：(1)把(3,0)，(4,3)代入y=ax2+b.x+3,得{ a3630,解得a-, 16a+4b+3=3, °b=-4. 次函数的解析式为y=x2-4x十3.(2)如图所示.(3)-1≤y<3 一 53 3 -1O 八2345x -2 13.解：(1)(1,1)(2)不经过，理由如下：y=2x2-4x十3=2(x一1)2+1.由题意，得抛 物线C1的函数解析式为y=2(x一1+1)2+1十2=2x2+3.令x=2,则y=2×22+3= 11≠3，.抛物线C1不经过点P(2,3) 14.解：(1)一1一1(2)由(1)知y=一x2.将(b,一4)代入，得一b2=一4，解得b=2 (负值已舍去)，.点B的坐标为(2，一4).设直线y=一x一2与y轴的交点为G,易得 G0,-2).∴S60m=S6x+S6m=号×2X1+号×2X2=3. 15.解：(1)5(2)，y=x2十x,∴y-x=x2.又-1≤x≤3，.当x=3时，y-x取最 大值，最大值是9..函数y=x2十x(一1≤x≤3)的“纵横最大差”为9.(3)，y=一x2十 (2h+1)x,.y-x=一x2十2hx=-(x-h)2+h.由题意，得当-1≤x≤3时，y-x= 一(x一h)2十h2的最大值为4.分以下三种情况进行讨论：①若h<-1,则当x=一1 时，y-x有最大值为4，∴.-1一2h=4,解得h=一2.5.②若-1≤h≤3，则当x=h时， y-x有最大值为4，∴h=4,解得h=2或h=-2(舍去).③若h>3,则当x=3时，y 一x有最大值为4，.一9+6h=4,解得h=3(舍去).综上所述，h的值为2或-2.5. 6 基本功专练（三）二次函数的实际应用 1.解：)52)由①)可知A=-50+5+1.92=-5(2-2）广'+3.17，当=号时， 乃有最大值，最大值为3.17.答：实心球离手号s时，离地面的高度最大，最大高度为 3.17m. 2.解：1)根据题意，得y=x(24-3x)=-3x+24x(告≤x<8).(2)由(1)，得y= -3r+24z=-3(z-4+48.:-3<0,号≤<8，当x=兰时，y有最大值，最大 3 值为一3×（告-4）'+48=46子.“当AB的长为号m时，花圆的面积最大，最大面 积是46号m3。 3.解：(1)由题意，得=(48一30-x)(500+50x)=一50(x一4)2十9800.(2)由(1)，得 w=-50(x-4)2+9800.-50<0,.当x=4时，w有最大值，最大值为9800.∴.当 降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元. 4.解：(1)由题意，得抛物线的顶点为(3,0)，∴.设抛物线的函数解析式为y=a(x一3)2. 将(0,1.2代入，得9a=1.2a=后抛物线的西数解析式为y一是(x一3.(2由 题意，得点F的横坐标为4将x=4代人y=号(x一3)，得y=号×(4一32=品 “该同学最低要跳过号m,才能让绳安全通过。 5.解：(1)由题意，得M(8,0),P(4,4).设抛物线的函数解析式为y=a(x一4)2十4.把 M8,0)代入，得0=16a十4，解得a=一子.“这条抛物线的函数解析式为y=一子(x 一4)2十4.(2)该双车道能同时并行两辆宽1.8m、高1.5m的车辆.当x=4一1一1.8= 1.2时y=一子×1.2-42+4-君>1.5，该双车道能同时并行两辆宽1.8m,高 1.5m的车辆. 6.解：(1)由题意易得点H的坐标为(0,1.6)，点A的横坐标为2，纵坐标为1.6+0.2= -54 1.8,设L1=a(x-22+1.8,将H0,1.6)代入，得1.6=4a+1.8,∴a=一0L 的函数解析式为y=-六(x一22+1.8.当y=0时，0=一0（红-22+1.8，=8， x2=-4(舍去)，∴.喷出水的最大射程OC为8m.(2)当d=4时，根据题意，得E(7,0), F1,0.6当x=7时y=一2六×(7-22+1.8=0.5.0.5<0.6，当d=4 时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带。 阶段微测试（四） 1.A2.D3.A4.D5.B6.A7.>8.x<0或x>29.32 10.b=-4或b>-3 11.解：(1)把(2,3)代人y=x2-mx十1，得3=4-2m十1，解得m=1.(2)不经过，理由 如下：由(1)，得y=x2-x十1.当x=一2时，y=(-2)2-(-2)十1=7≠5，∴.该二次函 数的图象不经过点（一2,5）. 12.解：(1)设抛物线的函数解析式为y=ax2十3.5.：4-2.5=1.5(m),.抛物线过点 (1.5,3.05).把(1.5,3.05)代人y=ax2+3.5,得2.25a十3.5=3.05，解得a=-0.2. ∴.抛物线的函数解析式为y=一0.2x2+3.5.(2)在y=一0.2x2+3.5中，当x=一2.5 时，y=一0.2×（一2.5）2+3.5=2.25.答：球出手时离地面的高度是2.25m. 13.(1)证明：令y=0,则x2-3mx十m2-1=0.,△=(-3m)2-4×1×(m2-1)=5m2 十4>0，.方程有两个不相等的实数根.∴.二次函数y=x2一3mx十m2一1的图象与x 轴总有两个交点.(2)解：由题意，得x1,x2是方程x2一3mx十m2一1=0的两个根，.x 十x2=3m,x1x2=m2-1.AB=3,.x1-x2|=3..(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 =(3m)2-4(m2-1)=9,解得m=土1. 14.解：（1)，抛物线y=x2-(k十1)x十1的顶点A在x轴的负半轴上， :4X1X1一（+1)]=0，且-二（+1)<0，解得k=-3.(2)由(1)，得抛物线的 4×1 函数解析式为y=x2+2x十1.令x2+2x十1=-x十1，解得=0，x2=一3.当x=-3 时，一x十1=4；当x=0时，-x十1=1..B(-3,4),C(0,1).设直线y=-x十1与x 轴的交点为D,则D(1,0).,y=x2十2x+1=(x十1)2，.A(-1,0).∴.AD=2. ∴S8ae=SaAm-Sam=2×2X4-号×2X1=3. 阶段微测试（五） 1D2.B3.D4.C5.D6.C7y=上（答案不唯-）8.-2 9.y>0或y<-310.4√2+4 11.解：，反比例函数y=mxm-5的图象经过第二、第四象限，.m2一5=一1，且m<0, 解得m=一2.该反比例函数的解析式为y=一2 x 12.解：(1)把(3，一2)代入y=冬得-2=亭解得=-6.“反比例函数的解析式为y =一6.(2)如图所示. x 246 13.解：1D把AQ,+D,B(25,-1)代人为=”，得/中1二m, 解得 1-(t-5)=m, =2,:A1, m=3. 3),B(-3,-1),反比例函数的解析式为为=三.把A1,3),B(-3,-1)代人M=kz 55 十b,得 (k+6=3, 1-3k+6=-1,1 ,解得1：一次函数的解析式为为=x十2.(2)-3<<0 可1b=2. 或x>1. 14.解：1)把A(-2,m代人y-9,得m=-号-5∴点A的坐标为(-2,5).把 A(-2,5)代入y=一合r十6，得5=1+，解得b=4.一次函数的解析式为y 一合x+4.把B(4,m0代人y=一合x+4,得n=一2+4=2.点B的坐标为(4,2).把 B(4,2)代入y=冬，得=4X2=8“反比例函数的解析式为y=是(x>0).(2)把x 1 =0代入y=一2z十4，得y=4,点C的坐标为(0,4).SAM08=S6c十Samc= 0C.(。-）=合×4×(4+2)=12. 阶段微测试（六） 1A2.C3.C4.B5.D6.D7.908.169.(0,23-4)10.7y2 11.解：(1)如图，△ABC即为所求.C(3,3).(2)如图，△A2B2C2即为所求.B2(3,一4). (第11题图) (第13题图) (第15题图) 12.解：(1)由旋转的性质，得∠B=∠E=30°，∠ACB=180°-∠B-∠A=80°.∴.旋 转角的度数为80°.(2)由旋转的性质，得DC=AC=3,CB=CE=5,∴.BD=CB-DC=2. 13.解：(1)如图，点O即为所求.(2)15(3)四边形ACDF是平行四边形.理由如下：由 题意，得OA=OD,OC=OF,∴.四边形ACDF是平行四边形. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.BA=BC,∠ABC=60°.由旋转的性质，得BD =BE,∠DBE=6O°，∴.∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,即∠ABD=∠CBE. .△ABD≌△CBE(SAS)..AD=CE.(2)解：AD=CE,AC=BC=6,.CE+CD= AD十CD=AC=6.:BD=BE,∠DBE=6O°，∴.△DBE是等边三角形.∴.DE=BD= 5.5.∴△DCE的周长是DE+CE+CD=11.5. 15.解：(1)中心轴(2)如图所示.（答案不唯一） 阶段微测试（七） 1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.98.35°9.30°10.45或2√5 11.证明：(1)：AB=CD,∴.AB=CD.∴.AB-AC=CD-AC,即BC=AD.(2):BC= AD,∠B=∠D..EB=ED. 12.解：(1)∠BAC=70°，∠ACB=50°，.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=60° :AD=CD,:∠ABD=∠CBD=号∠ABC=30.(2):∠CAD=∠CBD=30, ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=100°. 13.解：(1)如图所示.(2)连接OA,OC.,∠B=45°，∠AOC=2∠B=90°..OA2+ OC=AC.OA=OC,AC=4m,∴2OA=16.∴.OA=2√2m,即圆形花坛的半径为2√2m 56 14.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下：，AC是⊙O的直径，∴.∠ABC=90°. :∠ADB=∠CDB,∴AB=BC.∴AB=BC.∴△ABC是等腰直角三角形.(2)在 Rt△ABC中，BC=AB=√2，.AC=√AB+BC=2.,AC是⊙O的直径，.∠ADC= 90°.在Rt△ADC中，AD=1,AC=2,∴.CD=WAC-AD=√3. 15.解：1)连接OD.设⊙0的半径为.：AB⊥CD,“DE=CE=2CD=4.在 Rt△ODE中，OE+DE=OD2,即(r-2)2+4=r2,解得r=5..⊙O的半径为5. (2)⊙O的半径为5，.AB=10.在Rt△BCE中，.CE=4,BE=AB-AE=8,.BC =VC+BE=45.:OF⊥BC,∴BF=CF=号BC=25,∠OFB=90.∴OF= √OB2-BF=√5. 基本功专练（四）与切线的判定与性质有关的计算与证明 1.证明：，MP切⊙O于点M,.PM⊥OM.又，AC∥MP,.OM⊥AC..AB为⊙O的 直径，∴∠C=90°..BC⊥AC.∴.OM∥BC. 2.证明：连接OD.OA=OD,∴∠A=∠ODA.,AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90. ∴∠A+∠B=90°.∠ADC=∠B,∴.∠ODA+∠ADC=90°，即∠CDO=90°..OD⊥ CD.OD为⊙O的半径，.直线CD与⊙O相切. 3.(1)证明：：PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴.PA=PB.:∠P=60°，∴△PAB 是等边三角形.(2)解：△PAB是等边三角形，·∠PBA=60°.：PB是⊙O的切线， ∠PBC=90°.∴∠ABC=∠PBC-∠PBA=30°.：BC是⊙O的直径，.∠CAB= 90°..BC=2AC=4cm. 4.解：(1)如图所示.(2)BC与⊙P相切.证明如下：过点P作PD⊥BC于点D.,CP平 分∠ACB,且PA⊥AC,PD⊥BC,.PA=PD..PD是⊙P的半径..BC与⊙P相切. B D 5.(1)证明：C为AB的中点，.AC=BC.∴∠AOC=∠BOC.OA=OB,.OCLAB. CD∥AB,.OC⊥CD.,OC是⊙O的半径，.CD是⊙O的切线.(2)解：OA=OC =OB=3,BD=2,.OD=OB+BD=5.OC⊥CD,.∠OCD=90°..CD= D.CDC-6. 6.(1)证明：连接OC,OD..AC,BD分别与⊙O相切于点C,D,.∠ACO=∠BDO 90°.AC=BD,OC=OD,∴.△ACO≌△BDO(SAS).∴.AO=BO.OE=OF,.AO OE=BO-OF,即AE=BF.(2)解：设OE=OC=x,则AO=x+4.在Rt△ACO中， AO=OC+AC,即(x十4)2=x2+82,解得x=6..AO=10.∴.AB=20.∴.两个绳柄 A,B之间的距离为20. 7.(1)证明：连接OE.OC⊥AB,∠COD=90°.OE=OC,∴.∠OEC=∠OCE. .DF=FE,.∠FED=∠FDE..∠FDE=∠CDO,∠CDO+∠OCD=180°-∠COD =90°，∴∠FED+∠OEC=90°，即∠FEO=90°.∴.OE⊥EF.,OE是⊙O的半径， ∴.EF为⊙O的切线.(2)解：设⊙O的半径为r,则BD=BF=r-1.∴.EF=DF=2BD =2(r-1)=2r-2,OF=2BD+1=2r-1.在Rt△FE0中，EF2+OE=OF2,即(2r- 2)2十2=(2r-1)2,解得r=3或r=1(舍去)..⊙0的半径为3. 阶段微测试（八） 1.A2.B3.C4.D5.B6.C7.相交8.39.1210.(1，-1) 11.证明：连接OC.,⊙O与AB相切于点C,∴.OC⊥AB.,OA=OB,∴.AC=BC 12.解：过点P作PC⊥OB于点C,则∠OCP=90°.·∠AOB=30°，OP=24cm,.PC -57