第25章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

角形.∴.OB=BD=5..⊙O的半径是5.(2)证明：连接BL.,点I是△ABC的内心， .BI平分∠ABC.∴.∠ABI=∠CBL.∠CBD=∠CAD,∠BAD=∠CAD,.∠BAD =∠CBD.∴.BD=DC.∴.BD=DC.∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI+ ∠CBD,∴∠BID=∠IBD.DI=BD.DI=DC. 12.B【点拨】设直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,c为斜边，由切线长 定理可得，直角三角形的内切圆半径，=a+)一C=3,即a十b-c=6,根据小正方形的 2 面积为49，可得(a一b)2=49,进而计算c2(即a2+6)即可求解. 30.3正多边形与圆 名师导学 ①相等②中心圆心角 【例】解：连接OB,OC,过点O作OH⊥BC于点H.,六边形ABCDEF是正六边形， .OB=OC,∠BOC=360°÷6=60°.∴.△OBC是等边三角形..BC=OB=OC=2.即 正六边形的边长为2.∴.正六边形的周长为6X2=12.在Rt△BOH中，∠BOH= 合∠B0C-30',BH=0B=1.边心距0H=OB-BF=.∴SE*we =6Sac=6x7×2Xw5=6v5. 1.D2.B3.B4.83 5.证明：连接OA,OD.,AB,BC,CD为⊙O的内接正十边形的边，∴.∠AOB=∠BOC =∠COD=360=36.∴∠B0D=∠B0C+∠COD=72.∠BAD=号∠B0D= 10 36.0A-0B-0C,∠0AB-∠0BA-∠0BC-∠0CB-2×(180-36)-72. .∠ABC=∠OBA+∠OBC=144°.∴.∠BAD+∠ABC=180°.∴.AD∥BC. 6.解：如图所示. 7.A8.B9.12√3 10.解：(1)45°(2)过点B作BP⊥OA于点P,则∠BPO=90°..∠OBP=90°- ∠A0B=45=∠A0B.∴OP=BP.由题意知OA=OB=号=6(m.在R△OBP中， OB=OP+BP,2BP=6.BP=3W2m∴SEALRADOROI=8Su=8XOA· BP=72√2m2. 11.A 数学活动纸条平结与利用等分圆周设计图案 活动1 【问题解决】解：(1)所需纸条的宽度是2cm.(2)所需纸条的宽度是√3cm.(3)能.正九 边形各内角的度数为180X(9-2=140. 9 活动2 【知识应用】解：458如图所示. 【发散思维】答案略。 第三十章章末复习 思维导图 >=<垂直垂直相等平分 34 考点整合 1.A2.C3.A4.(9,0)5.23 6.(I)证明：连接OD.:CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.∠ACD=∠ABD, ∠BCD=∠BAD,.∠ABD=∠BAD..AD=BD.∠AOD=∠BOD.∠AOD+ ∠BOD=180°，.∠AOD=∠BOD=90°..'DE∥AB,.∠ODE=∠BOD=90°..DE ⊥OD.,OD是⊙O的半径，∴.DE为⊙O的切线.(2)解：由题意，得AB=√AC十BC =10,0D=0A=号AB=5.S=Sw-5w-号X5X5=空-9 7.B 8.(1)解：，⊙O是△ABC的内切圆，∴.AB⊥OD,BC⊥OE,AC⊥OF.∴.∠ODB= ∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°.，∠DOE=120°，∠EOF=150°，∴.∠B=360°- ∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°.∴.∠A =180°-∠B-∠C=90°.(2)证明：由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CF=CE, .∴.AB+AC-BC=AD+AF+BD+CF-BE-CE=2AF..'∠ODA=∠OFA=∠A= 90°，.四边形ADOF是矩形..OD=AF.⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径，.d= 2OD=2AF...d=AB+AC-BC. 9.B10.B11.B 聚焦课标 12.解：1)90∠BCN=90°∠N=∠A(2)∠CBD=?∠BAC证明如下：连接 AE.:AB是⊙O的直径，∴.∠AEB=90°.AE⊥BC.:AB=AC,.∠BAE= 合∠BAC.:BD是⊙O的切线，∠BAE=∠CBD,∴∠CBD=∠BAC 综合与实践生活中的优化问题 解：(1,3.)(6,3.0y=-02+z+1(2②在=-0+z+1中，当x=2 时y-号G(2,号）：CC=1mC(6,440.设改造后的大棚对应的抛物线的 函数解析式为y=ax2-10ax+1.将C(6,4.4)代入，得a×62-10×6a+1=4.4,解得 a=一品=品+品+1.令=2则y-器G(2器)6G=器 号-号(m).(3)设改造后的大桶对应的抛物线的函数解析式为y一a-10ax十1.当 x=2时，y=a×22-10a×2+1=-16a+1;当x=4时，y=a×42-10a×4+1=-24a +1..G'(2,-16a+1),E(4,-24a+1)..EE+GG=-24a+1-3.4+(-16a+1) -号=-40a-4.由题意，得(-40a-4)×49×60≤3200，解得a≥-日.CC= 5 EE=-24a+1-3.4=-24a-2.4,要使CC最大，则a的值最小.∴当a=一言时， CC长的值最大，最大值为1.6m. 综合评价 第二十五章综合评价 1.C2.B3.B4.B5.D6.A7.C8.D9.D10.A11.B12.A 13.x2-2x=0(答案不唯一)14.1815.12 16.-4048【解析】：方程x2-2024x一2025=0的两个根分别是m,n,.m2- 2024m-2025=0,n2-2024m-2025=0,m+n=2024,mn=-2025..∴.m2=2024m +2025,n2=2024n+2025..(m2-2023m-2026)(n2-2023n-2026)=(2024m +2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m +n)+1=-2025-2024+1=-4048. 17.解：(1)移项，得x2十6x=2.配方，得x2十6x十32=2十32，即(x十3)2=11.由此可得 x十3=士√.x1=-3十√，x2=-3-√T.(2)关于x的方程x3a-?+ax-4=0 35 是一元二次方程，∴.3a-7=2,解得a=3.∴.原方程为x十3x-4=0,解得=-4,2=1. 18.解：她们的解法都不正确.正确的解答过程如下：移项，得3(x一3)一(x一3)2=0.左 边因式分解，得(x-3)(3-x十3)=0.于是得x-3=0,或3-x十3=0..=3，x2=6. 19.解：设右边宽为xcm.根据题意，得(60十2×5x)(24十2x)=2240,解得x=2,x2= 一20（不符合题意，舍去）.答：右边宽为2cm. 20.(1)证明：：a=1,b=-(k+3),c=2k+2,∴.A=b-4ac=[-(k+3)]2-4×1× (2k十2)=(k-1)≥0..此方程总有两个实数根.(2)解：由(1)，得△=（一1）2，.x= 十3-》，即1=k+1,2=2.:方程有一个根小于2，十1<2，解得<1. 2×1 21.解：(I)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程t2-mx+受-=0有两个 相等的实数根.∴4=m2-4(受-冬)=0，解得m=m=1.“当m=1时，四边形 ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得十=m,函=罗-子：（国-3）(：- 3)=-3(函十)+9=5m,心受-子-3m+9=5m,解得m=名 22.解：(1)y=150-2x(2)根据题意，得(x-40)(150-2x)-300=200,解得x1=65, x2=50.·为了尽快减少库存，∴.x=50.答：该益智玩具的售价应定为50元/个. 23.解：(1)“倍根方程”(2)由方程x2一6x十c=0是“倍根方程”，设x1=3x2.由根与 系数的关系，得十=6，西=c3十红=6,3=6解得=号c=只c 3 的值为翠.(3)：方程云十bx十c=0既是“倍根方程”又是“方根方程”，“五=3，号 =x1或x了=x2.由根与系数的关系，得x1十x2=一b,x1x2=c.分两种情况讨论：①当 x1=3x2,x号=x1时，x2=3x2,解得x2=3或x2=0(舍去)..x1=9.b=一12，c=27. ∴26+c=2×(-12)+27=3.②当x=3x4=x时，x=3x,解得=号或=0 (含去).=日6=-号=7∴26+c=2X(-号)十7=一器综上所述，26 十的值为3或一器。 第二十六章综合评价 1.B2.B3.A4.D5.D6.B7.B8.A9.B10.C11.B12.D 13.(0,2)14.y=-x2十1（答案不唯一）15.0.316.①③④ 17.(1)解：，y=一2x2+4x一1=一2(x一1)2+1，.该函数图象的开口向下，对称轴为 直线x=1.(2)证明：令y=0,则x2十mx十m-2=0.△=m2-4(m-2)=(m-2)2十4. (m-2)2≥0，∴.(m一2)2+4>0，即△>0.∴无论m取何实数，抛物线总与x轴有两 个交点 18.解：(1)(1，-4)5(2)如图所示.(3)x1=4,x2=-2 19.解：(1)将A(0,3),B(-1,0)代入抛物线y=ax2+2x+c,得 /3=c, 。解得 l0=a-2+c. (a=-1,:抛物线的函数解析式为y=一2+2x+3.(2):y=-父+2x+3=-（x c=3. 1)2十4，∴.抛物线顶点D的坐标为(1,4).：对称轴与x轴相交于点E,DE=4,OE= 1.B(-1,0),.OB=1,∴.BE=OB+OE=1+1=2.在Rt△BED中，根据勾股定理， 36第二十五章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小 题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未 蓉 选均不得分) 题号 2 3 6 > 10 11 12 新 答案 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.x+y=3 B.3x+y2=2 C.2x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.将一元二次方程2x2-4x=一5化成一般形式后，若二次项的 系数是2，则一次项系数和常数项分别是 ( ) A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 3.方程(x十2)2=3的解是 ( A.x1=2-√3，x2=2+√3 B.x1=-2-√3，x2=-2十√3 C.x1=3-√2，x2=3十√2 D.x1=-3-√2，x2=-3十√2 4.用配方法解下列方程，其中应在方程两边都加上4的是() A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+8x=5 D.2x2+4x=5 5.用公式法解方程x2一2x=2x+11时，根的判别式的值为( A.-43 B.-28 C.45 D.60 6.一元二次方程3x2一2x一1=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 7.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 ) A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3x+4=0 !8.若m是方程x2一x一1=0的一个根，则一2m2十2m的值是 ) A.3 B.0 C.2 D.-2 9.已知a,b是一元二次方程x2-2x一3=0的两个根，则2a十 2b一ab的值为 ( A.-1 B.1 C.-7 D.7 10.冬季水果“顶流”砂糖橘是广西特产，皮薄、汁多、味清甜，吃后 沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品.某果园去年砂糖橘的产量 为80t,明年预计达到100t.设砂糖橘产量的年平均增长率为 x,则根据题意可列方程为 ( A.80(1+x)2=100 B.80(1+x)3=100 C.80(1+2x)=100 D.100(1-x)2=80 11.若关于x的一元二次方程ax2十bx+5=0(a≠0)有一个根为 1001,则方程a(x+1)2+b(x十1)=一5必有一个根为( ) A.1001 B.1000 C.999 D.998 12.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图 x+2 x+2 注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解 x+2 法.以方程x2+2x一35=0，即x(x+2)=35 Xx+2 为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的 面积是(x十x十2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间 小正方形的面积，即4×35十2，因此x=5.下列四个选项中， 能正确说明方程x2一5x一6=0的解法的构图是 ( B C 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.若一元二次方程的一个根为2，则该方程可以为 (写出一个即可) 14.用配方法解方程x2一8x十2=0时，可将方程化成(x一m)2= n的形式，则m十n的值为 15.“水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地让大家珍惜树 木，小红将这条宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传 语转发给相同的人数，若在这个过程中一共有156人收到了 这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人 16.若方程x2-2024x一2025=0的两个根分别是m,n,则(m2一 2023m-2026)(n2-2023n-2026)的值为 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(本题满分8分)(1)解方程：x2十6x一2=0； -2 (2)若关于x的方程x3a-7十ax一4=0是一元二次方程，求该 方程的解. 18.（本题满分10分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)= (x一3)的过程如下： 小敏 小霞 两边同除以(x一3)， 移项，得3(x一3)一(x一3)2=0. 得3=x-3, 左边因式分解，得(x-3)(3一x一3)=0. 解得x=6. ∴.x-3=0或3-x-3=0. ∴.x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，写出正确的解答过程， 19.(本题满分10分)小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如 图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称 为边.已知原作品的长为60cm,宽为24cm,装裱后左右两边 的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比 为1：5.若装裱后作品的总面积为2240cm2,则右边宽为多 少厘米？ 天头长 前力 左边宽 右边宽 天多 地头华 —3 20.(本题满分10分)已知关于x的一元二次方程x2一(k+3)x+ 2k+2=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围. 21.(本题满分10分)已知口ABCD的两边AB,AD的长是关于 x的方程x2一mx十受}-0的两个实数根 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2 3)=5m,求m的值. 一4 22.（本题满分12分)某校综合与实践活动小组针对货物的售价 与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共 同完成该项目任务 项目主题：商品销售策略的制定. 问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具， 请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要 求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略 任务一：市场调查 调查附近A,B,C,D,E五家玩具店近期销售这种益智玩具的 售价x(元/个)和日销售量y(个)的情况，记录如下表. 玩具店 A B C D 售价x/(元/个) 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 (1)该益智玩具的日销售量y与售价x之间的函数关系式为 任务三：问题解决 (2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为 300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时 为了尽快减少库存，那么该益智玩具的售价应定为多少？ -5 23.（本题满分12分)阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2十 bx十c=0根的特征时发现，此时根与系数的关系可表述为 x1十x2=一b,x1x2=c,借此结论，小明对“倍根方程”和“方根 方程”定义如下： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两 个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这 样的方程为“倍根方程” 方根方程：如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两 个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这 样的方程为“方根方程”. 根据上述材料，解答下列问题： (1)方程x2-8x+12=0是 ;(填“倍根方程”或“方 根方程”) (2)若关于x的一元二次方程x2一6x十c=0是“倍根方程”， 求c的值； (3)若关于x的一元二次方程x2十bx十c=0既是“倍根方程” 又是“方根方程”，求2b十c的值. —6—