25.2.1 配方法&专题1 配方法的四种常见运用（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 名师导学 ①一整式2≠常数项②相等 【例1】解：去括号，得5x2一10x=4x2-3x.移项、合并同类项，得x2-7x=0.它的二次 项系数是1，一次项系数是一7，常数项是0. 【例2】A【例3】2 1.D2.C 3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2一7=0.它的二次项系数是3，一次项 系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为2x2一4x 十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是一4，常数项是5.(3)去括号，得2x2十x一 4x一2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2一3x一4=0.它的 二次项系数是1，一次项系数是一3，常数项是一4. 4.B5.56.-47.C8.B9.C10.2034 11.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2+7x-44=0.(2)设较 短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2.化为一般形式为x2一4x -12=0. 12.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,.3a+2b十c=3×2+2×(-1)十 (-4)=0.∴.方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入ax2-2x十c=0,得 a+2+c=0.,此方程为“波浪方程”，.3a+2×(一2)十c=0,即3a一4+c=0.联立 (a十2+c=0, 解得0=3， 3a-4+c=0 lc=-5. 这个“波浪方程”为3x2-2x一5=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 名师导学 ①√p-√p0②--匝 m 【例1山懈：整理，得2-织由此可得2=士名=子=一子(2移项，得（红 -5)2=9.由此可得x-5=士3.∴.x-5=3,或x-5=-3..x1=8,x2=2.(3)整理， 得(x-1)2=18.由此可得x-1=士32..x-1=3V2,或x-1=-3V2..x1=1十 3√2，x2=1-3√2. 【例2】8 1.C2.C【变式题5（答案不唯一，c≥0即可） 3解：（①）整理，得2=一号”-是<0，∴原方程无实数根.(2)整理，得上=6.由此 可得x=士√6，即x1=√6，x2=一√6. 4.D5.x1=6,x2=0 3x2=8 10 6.解：(1)由方程可得3x-1=士9..3x-1=9,或3x-1=-9,.x1= 31 (2)整理，得(2-=最由此可得2-=士子∴2-2=子，或2-x=- 4= 5 11 4x2=4 7.C8.C9.-25【变式题】m1=2,x2=-2 10.解：1整理，得(2x+102-空由此可得2z+1=土号.2z+1=号，或2x+1= 一1 号∴五=是=-子(2)整理，得92=7，即父=子由此可得x=士写，即 3 ,4=3)整理得(+5=3，由此可得+5=士V3.x+5=3,或+5 =-√5.x1=-5十√5，x2=-5-√5. 11.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x+2)-4幻[(x十2)十4幻=4，.(x十2)2-42= 4..(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士2√5.1=-2+2√5，x2=-2-2√5. 第2课时用配方法解一元二次方程 名师导学 ①(a士b)2②一半 【例1】解：(1)移项，得x2+2x=1.配方，得x2+2x+12=1十12，即(x+1)2=2.由此可 得x十1=士√2.x1=一1十√2，x2=-1一√2.(2)移项，得4x2-7x=-2.二次项系数 化为1，得2-子=合配方，得2-子+（合）=-合+（名），即(-)】 品由此得得x一名-士零=亚。平 8 【例2】C 1.D2193(2②空号383.A 4.解：(1)移项，得x2十10x=-8.配方，得x2+10x十52=-8十52，即(x十5)2=17.由 此可得x十5=±√/17..x1=-5+√17，x2=-5-√17.(2)配方，得x2-3x+ (》广=子+()》，(》°=宁由此可得x是=±号=8法2 =3-② 2 5.B 6,解：1移项、二次项系数化为1，得2-号x=子配方，得x-号x+(兮）=寻十 (兮)》，即(x一号）-由此可得x-号=士专=1，=-是(2)移项、 次项系数化为1，得x2-8x=-4.配方，得x2-8x十42=-4十4，即(x-4)2=12.由 此可得x-4=士2√3..=4十2√3，x2=4-2√3.(3)移项、二次项系数化为1，得x -x=-号配方，得2-x+(合)》'=-号+（合），即(x-)》”=-立-< 0,∴原方程无实数根. 72.D8-9 9.解：(1)移项，得x2-2√3x=3.配方，得x2-2√3x+(W3)2=3十3，即(x-√3)2=6. 由此可得x一3=±√6.x1=√3+√6，x2=√3-√6.(2)整理，得x2+3x=1.配方，得 r+z+(号)-1+()》，即(+号)》-是由此可得x计是-士四 -3+压，=二3，区.(3)整理，得3x+2z=-1.二次项系数化为1，得x+ 2 号x=-子配方，得+号x+(兮)°=-了+（号），即(+号)》°=-号：-号 <0,原方程无实数根. 10.解：1=5=号(2②)(3)二次项系数化为1，得2-2=-1.配方， a 得2-x+()}‘-1+(号）》，即(x-)》-”由此可得x-号=士号 +12 ∴五=5，=弓·经检验，函=5，=号都是原方程的解.(1)中猜想结论正确。 2 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8x+4)+5=4(x2-2x+1)+5=4(x-1)2+5.4(x-1)2≥0， .4(x-1)2十5≥5..代数式4x2-8x十9的值恒为正数. 2.解：(1)1(2)原式=m2+6m+9+m2-4n+4+7=(m+3)2+(n-2)2+7.:(m+ 3)2≥0，(n-2)2≥0，∴.(m+3)2+(n-2)2+7≥7..m2+n2+6m-4n+20的最小值 为7. 3.獬：x2一1-(2x-3)=x2-2x+2=(x一1)2+1..(x-1)2≥0，.(x-1)2+1>0. x2-1-(2x-3)>0..x2-1>2x-3. 4.1 5.解：.a2-8a+b-6b+c2-6c+34=0,.(a2-8a+16)+(b2-6b+9)+(c2-6c+ 9)=0..(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.(a-4)2≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，.a -4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3.∴.△ABC是等腰三角形. 6.解：原式=x-4xy十4y-y=(x-2y)2-y2=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.C2.A3.C4.-2(答案不唯-，m<-号即可） 5.解：(1)，a=1,b=-3W2,c=4,∴.△=b-4ac=(-3V2)2-4×1×4=2>0..方程 有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2+5x十10=0.，a=1,b=5,c=10,.△= b-4ac=52-4×1×10=-15<0..方程没有实数根. 6.D7.B【变式题】D8.5或6 9.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]2-4×1×(4m-2)=4m2-12m+9.(2)证明：由 (1),得△=4m-12m+9=(2m-3)2≥0，.无论m取何值，这个方程总有实数根. 第2课时用公式法解一元二次方程 名师导学 ①≥ -b±√6-4ac 2a 【例1】解：(1)a=1,b=-2,c=3,.△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴.方程 无实数根.(2)，a=2,b=7,c=0,.△=b-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个 不相等的实数根.六x=b土=c-二7装支厘-二7生7.a=0,=一子. 7 2a 2×2 4 【例2】B 1.D2.B 3.解：(1)a=号，6=-2，c=3,∴4=2-4ac=(-2)2-4X号×3=0.∴方程有两个 相等的实数根小名-6=一名=X是=3.(2)方程化为-25十10=0.：2 2×3 =1,b=-2√5，c=10,∴.△=b-4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0..方程无实数根. 4.解：(1)一用公式法解方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一5x -1=0.a=1,b=-5,c=-1,.△=b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0.'.方 程有两个不相等的实数根.x=二b士4ac-5±)y四.-5+，2四， 2a 2 2 ,x2= 5-√29 2 5.C6.B7.x1=W3,x2=-1 8.解：方程化为2x2+2x-1=0.:a=2,b=2,c=-1,.△=b2-4ac=22-4×2× （-1)=12>0.·方程有两个不相等的实数根.·x=二b士-4c=-2士23 2a 4 -1+5,=12因 2. 2 9.(1)证明：，△=[-(k+1)]2-4×1×(2k一2)=(k-3)2≥0，.此方程总有两个实数 325.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 ·名师导学 预习新知 基础过关 ●◆●逐点击破 新知梳理 知识点1形如x2=p(p≥0)的方程的解法 ①一般地，对于方程x2=p. 1.方程x2=16的解为 当>0时，根据平方根的意义，方程 A.x=4 B.x=-4 有两个不相等的实数根= C.x=4或-4 D.x=0或4 x2= 当=0时，方程有两个相等的实数 2.下列方程中，无实数根的是 根x1=x2=一； A.2x2=5 B.x2=2 当p<0时，方程无实数根。 C.4x2+25=0 D.4x2-25=0 ②方程(mx十n)2=(m≠0，p≥0)的解为 【变式题】无实数根→有实数根 西=二n十 ,x2= n 半开放性题新趋势若关于x的一元二次方程x2一c=0有 ☑例题引路 实数根，则c的值可以是 .(写出一个即可) 【例1】解下列方程： 3.解下列方程： (1)4x2-49=0: (2)(x-5)2-9=0; (1)25.x2+10=1: (2)5x2=3x2+12. (3)2(x-1)2-36=0. 【名师点拨】先将方程化成x2=p或 (m.x十n)2=p(m≠0)的形式，再判断p 的正负.若力为负，则方程无实数根；若 力为正，则直接开平方求解即可」 【学生解答】 知识点2形如(mx十n)2=p(m≠0，p≥0)的方程的解法 4.一元二次方程(x十1)2=16可化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程为x+1=4,则另一个一元一次 方程为 () A.x-1=4 B.x-1=-4 C.x+1=4 D.x+1=-4 5.方程(x一3)2=9的根为 6.解下列方程： (1)(3x-1)2=81; (2)16(2-x)2-9=0. 易错典例 【例2】若(a2+b2-3)2=25,则a2+b2 的值为」 【易错剖析】利用直接开平方法求得 a2+b2一3的值后，不要忽略a2十b2的 值为非负数 【学生解答】 3数学九年级全一册(RJ) 【能力提升 整合运用 思维拓展 ，◆。强化素养 7.(易错题)用直接开平方法解方程(3x十1)2= 11.类比思想新理念在解一元二次方程时，发 (2x-5)2正确的是 ( 现有这样一种解法。 A.3x+1=2x-5 B.3x+1=-(2x-5) 解方程：x(x十8)=4. C.3x+1=±(2x-5)D.3x+1=±2x-5 解：原方程变形，得[(x+4)一4幻[(x十4)+ 8.一个简单的数值运算程序如图所示，则输入 4幻=4， x的值为 ( .(x+4)2-42=4. /输入x→-1) →×2 输出8 .(x+4)2=20. A.±2 B.±3 两边开平方，得x十4=士2√5. C.3或-1 D.2或-1 ∴.x1=-4+2√5，x2=-4-2V5. 9.若关于x的方程x2一c=0的一个根为x= 我们称这种解法为“平均数法”. 25,则另一个根为x= (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x十 【变式题】进一步弱化条件 2)(x十8)=40时写的解题过程， 若关于x的一元二次方程x2=b(b>0)的两 解：原方程变形，得[(x十a)-b][(x十 个根分别是x1=m十1，x2=2m一4，则这两个 a)+b]=40, 根分别是 .(x十a)2-b2=40. 10.解下列方程： ∴.(x+a)2=40+b2. (1)4(2x+1)2-1=24; 两边开平方，得x十a=±√40+b. .x1=2,x2=-12. 上述解题过程中，a,b所表示的数分别 是 (2)用“平均数法”獬方程：(x一2)(x十6)=4. (2)(3x-2)(3x+2)=3; (3)x2+10x+25=3. 第二十五章一元二次方程4 第2课时 用配方法解一元二次方程 口名师导学 ◆·》预习新知 基础过关 >)逐点击破 。新知梳理 知识点1二次三项式的配方 ①用配方法解方程的依据： 1.已知x2+8x+m是完全平方式，则m的值是( 完全平方公式：a2士2ab十b2= A.2 B.4 C.8 D.16 ；直接开平方法。 2.(教材P9练习T1变式)填空： ②用配方法解方程的一般步骤： (1)x2+6x+ =(x十 )2; 一移：将常数项移至等号右边，含未 =(x+ 知数项移至等号左边； (2)x2+5x+ )2； 二化：二次项系数化为1； (3)x2-3 2x十 =(x )2 三配：左右两边同时加上一次项系数 的平方； 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 四开：根据平方根的意义直接开平方； 3.(2025一2026·玉林期中)一元二次方程x2一6x一7=0 五解：分别解两个一元一次方程. 配方后可化为 () ☑例题引路 A.(x-3)2=16 B.(x+3)2=16 【例1】用配方法解下列方程： C.(x-3)2=7 D.(x+3)2=7 (1)x2+2x-1=0; 4.用配方法解下列方程： (2)4x2-7x+2=0. 【名师点拔】按照“一移二化三配四开五 (1)x2+10x+8=0; (2)x2-3x=-7 4 解”的步骤解方程.注意配方化为 (x十n)2=p后，p为负数时方程无解. 【学生解答】 知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 5.用配方法解方程2x2一8x=5时，先把二次项系数化为 1,再把方程左右两边都加上 () A.2 B.4 C.8 D.16 6.用配方法解下列方程： (1)5x2-2x-3=0; (2)22-4x+2=0: 到易错典例 【例2】用配方法解方程2x2一x一6=0 的步骤如下：①22-x=6@- 2x=3; @2-号x+日=3+④(x-)- 3,则开始出错的步骤是 ( A.①B.② C.③ D.④ 【易错剖析】解方程的步骤中，三配是方程 两边同时加上一次项系数一半的平方. 【学生解答】 5数学九年级全一册(RJ) (3)3x2-3x十1=0. (3)3(x-1)(x十2)=x-7. 口能力提升 >>整合运用 ·思维拓展 ♪◆强化素养 7.用配方法解下列方程时，配方错误的是( 10.猜想验证新趋势观察下列方程及其解的特征： Ar+z+9=0化为(+号》=-婴 ①x十1=2的解为1=x2=1; B3x2-4红-2=0化为（红-号》-9 ②x+1=之的解为=2,2三1， x 2 C24-74-4=0化为-)-器 ®x子号的解为有3，：行 ..... D号-x-4=0化为(x-》=明 解答下列问题： 8.用配方法将方程2x2+10x一5=0化成(x十 《0骑想：方程红+上9的解为 m)2=n的形式(m,n为常数)，则m一n的值 为 (2)猜想：关于x的方程x十1 9.用配方法解下列方程： 的解为=a,2=(a≠0)； (1)x2-3=2√3x; (③)下面是以解方程x十-为例，验证① 中猜想结论的正确性，补全验证过程 解：原方程可化为5x2-26x=-5. (请用配方法写出解此方程的详细过程) (2)x(x+7)=4x+1; 第二十五章一元二次方程6 专题一配方法的四种常见运用 类型1用配方法判断代数式值的正负或求最值类型2用配方法比较两代数式的大小 1.用配方法求证：代数式4x2一8x十9的值恒 名师点拨：作差比较两数大小时，若a一b>0,则a> 为正数 b:若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b. 3.比较代数式x2-1与2x-3的大小. 类型3用配方法构造非负数求值 2.类比思想新理念配方法不仅能帮助我们解 4.已知实数x,y满足x2+4x十y一6y+13=0, 一元二次方程，还能用来求解最值问题.例 则x+十y的值为 如，求代数式2x2一x十2+y2的最小值，解 5.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2一8a十 法如下： b2-6b+c2-6c+34=0,试判断△ABC的 解：原式=2(x2-2)+2+y 形状 =2(x2-2x+6)-g+2+y =2(x-+y+9 :2(x-4)≥0y≥0， 2(红-》产+y+8≥号 8 类型4用配方法对多项式进行因式分解 代数式22-x十2+少的最小值为号 6.运用配方法也可将多项式进行因式分解.例 如，x2+4x-5=x2十4x十22-22一5=(x十 根据上述材料，解答下列问题： 2)2-9=(x+2+3)(x十2-3)=(x+5)(x-1). (1)-x2-4x-3的最大值为 仿照上述过程，将多项式x2一4xy+3y2进 (2)求m2+n2+6m一4n十20的最小值. 行因式分解 7数学九年级全一册(R)