专题02 方程与不等式（5大考点）（贵州专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题02方程与不等式汇编贵州各地2026年二模试题，覆盖5大考点，以数学文化（结绳记数、《孙子算经》）和现实情境（新能源汽车充电、商品销售）为载体，突出应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20题|一元一次方程解法、一元二次方程根的判别式、不等式解集等|结合《四元玉鉴》古题考查分式方程建模| |填空|8题|五进制结绳记数、新定义运算、方程参数范围|以《九章算术》送信问题考查分式方程应用| |解答|17题|充电方案比较、利润最大化、天平称重实验|设计天平称重探究（8乒乓球+10g砝码=20纸杯）考查方程思想|

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01一元一次方程 考点02一元二次方程 考点03二元一次方程组 考点04分式方程 考点05不等式与不等式组 一元一次方程 考点01 一、单选题 1．（2026·贵州黔东南·二模）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州铜仁·二模）方程的解是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州安顺·二模）能运用等式的性质说明图中事实的是（   ） A．若，则（a、b、c均不为0） B．若，则（a、b、c均不为0） C．若，则（a、b、c均不为0） D．若，则（a、b、c均不为0） 二、填空题 4．（2026·贵州遵义·二模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 三、解答题 5．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 6．（2026·贵州遵义·二模）【主题】利用天平称1个乒乓球和1个纸杯的重量． 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的重量？ 【实验准备】准备物品：若干个大小相同的乒乓球（重量相同），若干个大小相同的纸杯（重量相同）． 【探究过程】下列是探究过程，设每个乒乓球的重量是克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总重量 一次性纸杯的总重量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 20个一次性纸杯 平衡 记录2 16个乒乓球 20个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 (1)表格中一次性纸杯的总重量为 （用含有的式子表示）； (2)分别求出1个乒乓球和1个一次性纸杯的重量； 【方案设计】 (3)请设计一种方案，使得乒乓球的个数与一次性纸杯个数相等（列方程求解）． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球 个 个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 一元二次方程 考点02 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 2．（2026·贵州遵义·二模）下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州黔东南·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州六盘水·二模）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 5．（2026·贵州铜仁·二模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州黔东南·二模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 7．（2026·贵州遵义·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 8．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 9．（2026·贵州铜仁·二模）把方程化成的形式，则的值是________． 10．（2026·贵州遵义·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 三、解答题 11．（2026·贵州毕节·二模）某商城在“双十一”期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)商城举行了“感恩新老用户”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱平均每天销售利润达到4800元，为减小库存，则每台冰箱的定价应为多少元？ (3)在条件（2）的背景下，商场应把售价定为多少元才能使海尔冰箱平均每天销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 二元一次方程组 考点03 一、单选题 1．（2026·贵州毕节·二模）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·贵州遵义·二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题；“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有______人． 三、解答题 3．（2026·贵州遵义·二模）为给消费者带来放心蔬菜，某地计划建设甲、乙两种不同的无公害蔬菜大棚，现有如下材料． 材料一：建设2个甲种大棚和4个乙种大棚共160万元，3个甲种大棚和2个乙种大棚共120万元； 材料二：甲、乙两种蔬菜大棚共18个，且乙种大棚个数不少于甲种大棚个数的三分之一，建设成本不高于425万元． 根据以上材料，完成下列任务． (1)甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别是多少？ (2)要使成本最低，则甲、乙种大棚各多少个？ 4．（2026·贵州遵义·二模）按要求完成各题 解二元一次方程组； 5．（2026·贵州铜仁·二模）随着人工智能的发展，记录生活小视频的制作越来越方便，视频制作爱好者小张抓住时机，决定制作甲、乙两类针对不同需求群体的生活小视频进行发布．已知制作7个甲类视频和3个乙类视频需要1650元成本，制作10个甲类视频和6个乙类视频需要2700元成本． (1)制作一个甲类视频和一个乙类视频的成本分别为多少元？ (2)小张准备把制作好的视频出售给某视频播放网站，每个甲类视频售价450元，每个乙类视频售价590元．若小张每月可制作视频24个，且想要使月纯收入不低于8100元，他每月至少需制作乙类视频多少个？ 6．（2026·贵州遵义·二模）为助力贵州乡村振兴，某村合作社依托当地生态优势，生产贵州刺梨汁和贵州绿茶两款特色农产品礼盒．已知生产件刺梨汁礼盒成本元，利润元；生产件绿茶礼盒成本元，利润元．合作社计划本月生产两种礼盒共件，总成本恰好为元． (1)求本月刺梨汁礼盒和绿茶礼盒各生产多少件？ (2)若下个月两种礼盒仍生产共件，要求总成本不超过元，求刺梨汁礼盒生产多少件时，总利润最大，并计算此时的最大总利润． 7．（2026·贵州六盘水·二模）为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 (1)求A，B两种跳绳的单价； (2)若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 8．（2026·贵州黔东南·二模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 分式方程 考点04 一、单选题 1．（2026·贵州六盘水·二模）某文创商店推出甲、乙两款书签，已知乙书签的单价是甲书签的倍，且用100元购买甲书签的数量比用126元购买乙书签的数量多4个，求甲、乙两款书签的单价．若设甲书签的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州安顺·二模）我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 二、填空题 4．（2026·贵州黔东南·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为______． 三、解答题 5．（2026·贵州遵义·二模）按要求完成各题 解方程：． 6．（2026·贵州遵义·二模）解答以下问题： 下面是小颖和小林同学解方程的过程： 小颖 小林 解： 去分母，得……第一步去括号，得……第二步 化简，得……第三步 解： 移项，得……第一步 分式相加，得……第二步 提公因式，得……第三步约分，得……第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： ①你选择的是 同学，出错在第 步，错误的原因是 ； ②请写出正确的解答过程． 7．（2026·贵州遵义·二模）某社区计划安装两种新能源充电桩：快充桩和慢充桩．安装快充桩共用电缆米，安装慢充桩共用电缆180米．已知每个快充桩比每个慢充桩多用米电缆，且快充桩的数量是慢充桩数量的倍，所有电缆刚好用完． (1)求快充桩和慢充桩的数量； (2)由于新能源汽车数量增加，社区计划再采购两种充电桩共个，其中每个快充桩造价元，每个慢充桩造价元．若采购总费用不超过元，请问该社区至少采购多少个慢充桩？ 8．（2026·贵州黔东南·二模）某超市准备购进A，B两种商品进行销售，通过市场调研发现，A种商品的进货单价比B种商品的进货单价贵20元，且用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同． (1)求A，B两种商品的进货单价分别是多少元？ (2)若该超市购进A，B两种商品共40件，且A商品的数量不低于B商品数量的，如果A商品的销售单价定为每件100元，B商品的销售单价定为每件90元，那么应该怎样进货才能使售完这40件商品获利最大？最大利润是多少？ 9．（2026·贵州遵义·二模）“红色圣地，茶香遵义”，遵义市不仅拥有深厚的红色文化底蕴，其特产“遵义红茶”更是中国国家地理标志产品．某茶叶经销商计划购进遵义红茶的两种不同包装规格产品进行销售，分别记为甲和乙．下表是这两款产品的进价和售价信息： 红茶产品 甲 乙 进价/（元/盒） 售价/（元/盒） 已知用元购进甲款产品的数量与用元购进乙款产品的数量相同． (1)求甲款产品每盒的进价是多少元； (2)该经销商计划购进甲、乙两款产品共盒，且甲款产品的数量不少于乙款产品数量的倍．若购进的这批茶叶全部售完，当甲款产品购进多少盒时，该经销商获得的总利润最大？并求出最大利润． 不等式及不等式组 考点05 一、单选题 1．（2026·贵州遵义·二模）不等式的所有整数解的和是（   ） A． B．2 C．1 D．0 2．（2026·贵州遵义·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·二模）不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·贵州遵义·二模）某文化用品商店销售一种进价为每件20元的多功能计算器，经市场调查发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，其中销售单价不低于进价．已知当销售单价为30元时，每周可售出50件；当销售单价为40元时，每周可售出40件． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)设每周销售该商品所获利润为w（元），求w关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少元时，每周利润最大，最大利润是多少？ 6．（2026·贵州黔东南·二模）按要求完成下面各小题． (1)请在①，②，③，④中任选3个代数式求和． (2)下面是某同学解不等式：的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 ①上面的解答过程第______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01一元一次方程 考点02一元二次方程 考点03二元一次方程组 考点04分式方程 考点05不等式与不等式组 一元一次方程 考点01 一、单选题 1．（2026·贵州黔东南·二模）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项计算即可得到的值． 【详解】解： ∴移项可得． 2．（2026·贵州铜仁·二模）方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的基础步骤计算即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得． 3．（2026·贵州安顺·二模）能运用等式的性质说明图中事实的是（   ） A．若，则（a、b、c均不为0） B．若，则（a、b、c均不为0） C．若，则（a、b、c均不为0） D．若，则（a、b、c均不为0） 【答案】A 【分析】根据等式的性质，结合实物解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得若，则， 故选：A． 二、填空题 4．（2026·贵州遵义·二模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中的等量关系列方程，设在第个绳子上打结的数是，根据题意得，解得即为第根绳子上的打结数． 【详解】解：图中第2根上的一个绳结表示个，第3根上的一个绳结表示个， 设在第个绳子上打结的数是，根据题意得， 解得，即在第2根绳子上打结的数是． 三、解答题 5．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 6．（2026·贵州遵义·二模）【主题】利用天平称1个乒乓球和1个纸杯的重量． 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的重量？ 【实验准备】准备物品：若干个大小相同的乒乓球（重量相同），若干个大小相同的纸杯（重量相同）． 【探究过程】下列是探究过程，设每个乒乓球的重量是克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总重量 一次性纸杯的总重量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 20个一次性纸杯 平衡 记录2 16个乒乓球 20个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 (1)表格中一次性纸杯的总重量为 （用含有的式子表示）； (2)分别求出1个乒乓球和1个一次性纸杯的重量； 【方案设计】 (3)请设计一种方案，使得乒乓球的个数与一次性纸杯个数相等（列方程求解）． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球 个 个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【答案】(1) (2)1个乒乓球的重量是克，1个一次性纸杯的重量是克 (3)10；10 【分析】（1）用16个乒乓球的重量减去1个10克的砝码的重量即可； （2）根据一次性纸杯的总重量不变列方程求解即可； （3）设乒乓球和纸杯的个数都为个时满足方案，根据乒乓球和一次性纸杯的重量列方程求解即可． 【详解】（1）解：表格中一次性纸杯的总重量为克； （2）解：根据题意，得 ， 解得：， 一次性纸杯的重量：（克）， 答：1个乒乓球的重量是克，1个一次性纸杯的重量是克． （3）解：设乒乓球和纸杯的个数都为个时满足方案，则： 解得： 则方案如下： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球个 个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 一元二次方程 考点02 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 2．（2026·贵州遵义·二模）下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项判别式即可得出结果． 【详解】解：A．方程，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． B．方程整理为，，，方程有两个相等的实数根，符合要求． C．方程，，，方程没有实数根，不符合要求． D．方程整理为，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． 3．（2026·贵州黔东南·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可求解． 【详解】解：选项A、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项B、方程的判别式为， 则方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项C、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项D、方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 4．（2026·贵州六盘水·二模）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 5．（2026·贵州铜仁·二模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意，每件衬衫降价x元后，每件盈利为元，每天销售量增加件，即件，每天盈利为每件盈利与销售量的乘积，且等于1200元． 【详解】解：设每件衬衫降价x元， ∵每件盈利，销售量，每天盈利，且每天盈利， ∴， 故选：B． 6．（2026·贵州黔东南·二模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 7．（2026·贵州遵义·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 二、填空题 8．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 9．（2026·贵州铜仁·二模）把方程化成的形式，则的值是________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， 故答案为：11． 10．（2026·贵州遵义·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 三、解答题 11．（2026·贵州毕节·二模）某商城在“双十一”期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)商城举行了“感恩新老用户”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱平均每天销售利润达到4800元，为减小库存，则每台冰箱的定价应为多少元？ (3)在条件（2）的背景下，商场应把售价定为多少元才能使海尔冰箱平均每天销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率是 (2)每台冰箱的定价应为元 (3)当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元 【分析】该题主要考查了一元二次方程的增长率问题和利润问题，二次函数的应用等知识点，解题的关键是读懂题意． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列方程求解即可； （2）假设下调个50元，根据题意列方程求解即可； （3）设海尔冰箱平均每天销售利润为W，根据题意列出，根据二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率是； （2）解：假设下调个50元， 依题意得：， 解得：． ∵为减小库存， ∴， 所以下调元，因此定价为元． （3）解：设海尔冰箱平均每天销售利润为W， 则， ∵， ∴当，即定价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润W最大，最大利润是5000元． 故当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元． 二元一次方程组 考点03 一、单选题 1．（2026·贵州毕节·二模）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，即可得出关于x，y的二元一次方程． 【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺， ； ∵将绳对折再量木，木剩余1尺， ， ∴根据题意可列方程组， 故选；D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，明确题意，找等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 二、填空题 2．（2026·贵州遵义·二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题；“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有______人． 【答案】25 【分析】设大和尚有人，小和尚有人，根据题意列出二元一次方程组，解之即可解答． 【详解】解：设大和尚有人，小和尚有人， 依题意得：， 解得：， 可知大和尚有25人，小和尚有75人． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 三、解答题 3．（2026·贵州遵义·二模）为给消费者带来放心蔬菜，某地计划建设甲、乙两种不同的无公害蔬菜大棚，现有如下材料． 材料一：建设2个甲种大棚和4个乙种大棚共160万元，3个甲种大棚和2个乙种大棚共120万元； 材料二：甲、乙两种蔬菜大棚共18个，且乙种大棚个数不少于甲种大棚个数的三分之一，建设成本不高于425万元． 根据以上材料，完成下列任务． (1)甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别是多少？ (2)要使成本最低，则甲、乙种大棚各多少个？ 【答案】(1)20万元，30万元 (2)要使成本最低，则需建设甲种大棚12个，乙种大棚6个或甲种大棚13个，乙种大棚5个 【分析】（1）设建设甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别为x万元、y万元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设建设甲种蔬菜大棚m个，则建设乙种蔬菜大棚有个，根据题意列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：设建设甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别为x万元、y万元， 由题意可得：， 解得：， 答：建设甲、乙两种蔬菜大棚的单价分别为20万元，30万元； （2）解：设建设甲种蔬菜大棚m个，则建设乙种蔬菜大棚有个， 由题意可得：， 解得：， 取正整数， 可取12和13， 即：要使成本最低，则需建设甲种大棚12个，乙种大棚6个或甲种大棚13个，乙种大棚5个． 4．（2026·贵州遵义·二模）按要求完成各题 解二元一次方程组； 【答案】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解：， 由①－②得，解得， 将代入①得，解得， 原方程组的解为； 5．（2026·贵州铜仁·二模）随着人工智能的发展，记录生活小视频的制作越来越方便，视频制作爱好者小张抓住时机，决定制作甲、乙两类针对不同需求群体的生活小视频进行发布．已知制作7个甲类视频和3个乙类视频需要1650元成本，制作10个甲类视频和6个乙类视频需要2700元成本． (1)制作一个甲类视频和一个乙类视频的成本分别为多少元？ (2)小张准备把制作好的视频出售给某视频播放网站，每个甲类视频售价450元，每个乙类视频售价590元．若小张每月可制作视频24个，且想要使月纯收入不低于8100元，他每月至少需制作乙类视频多少个？ 【答案】(1)制作一个甲类视频的成本为150元，制作一个乙类视频的成本为200元 (2)至少需要制作乙类视频10个 【分析】（1）设制作一个甲类视频的成本为元，制作一个乙类视频的成本为元，根据题意列方程组求解即可． （2）设每月制作一个乙类视频m个，则制作甲类视频个， 根据题意列出关于m的一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设制作一个甲类视频的成本为元，制作一个乙类视频的成本为元，根据题意可列方程组：， 解得， 答：制作一个甲类视频的成本为150元，制作一个乙类视频的成本为200元． （2）解：设每月制作乙类视频m个，则制作甲类视频个， 则可列不等式： ， 整理得：， 解得， 答：至少需要制作乙类视频10个． 6．（2026·贵州遵义·二模）为助力贵州乡村振兴，某村合作社依托当地生态优势，生产贵州刺梨汁和贵州绿茶两款特色农产品礼盒．已知生产件刺梨汁礼盒成本元，利润元；生产件绿茶礼盒成本元，利润元．合作社计划本月生产两种礼盒共件，总成本恰好为元． (1)求本月刺梨汁礼盒和绿茶礼盒各生产多少件？ (2)若下个月两种礼盒仍生产共件，要求总成本不超过元，求刺梨汁礼盒生产多少件时，总利润最大，并计算此时的最大总利润． 【答案】(1)刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件 (2)刺梨汁礼盒生产件时，总利润最大，此时最大总利润为元 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用（销售、利润问题），一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用． （1）设刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件，根据总件数和总成本列二元一次方程组，并解方程组即可得到答案． （2）设刺梨汁礼盒生产件，则绿茶礼盒生产件，总利润为元，根据总成本不超过元，列一元一次不等式解得的取值范围，列关于的一次函数，得到取最大值时最大，计算即可． 【详解】（1）解：设刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件， 由题意，得，解得， 答：刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件； （2）解：设刺梨汁礼盒生产件，则绿茶礼盒生产件，总利润为元， ∵总成本不超过元， ∴，解得， ∴总利润为：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值时，总利润最大，最大利润， 答：刺梨汁礼盒生产件时，总利润最大，此时最大总利润为元． 7．（2026·贵州六盘水·二模）为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 (1)求A，B两种跳绳的单价； (2)若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元 (2)购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，最低费用为元 【分析】（1）设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据表格中数据列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，列出不等式组，求出m的取值范围，设两种跳绳总花费为w元，根据两种跳绳的单价得出，再根据一次函数增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元； （2）解：设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据题意得： ， 解得：， 设两种跳绳总花费为w元，则： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 即购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，且最低费用为元． 8．（2026·贵州黔东南·二模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 【答案】(1)请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元 (2)至少有2个组选择智能AI讲解． 【分析】（1）设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为，列方程组求解即可； （2）设有个组选择智能AI讲解，根据“此次讲解的总费用不高于1600元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为元． ， 解得：． 答：请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元． （2）解：设有个组选择智能AI讲解． ∵此次讲解的总费用不高于1600元， ∴， 解得， 为整数， ． 答：至少有2个组选择智能AI讲解． 分式方程 考点04 一、单选题 1．（2026·贵州六盘水·二模）某文创商店推出甲、乙两款书签，已知乙书签的单价是甲书签的倍，且用100元购买甲书签的数量比用126元购买乙书签的数量多4个，求甲、乙两款书签的单价．若设甲书签的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的甲单价表示出乙的单价，再结合“购买甲的数量比购买乙的数量多4个”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设甲书签单价为元，则乙书签单价为元， 根据题意得： ． 2．（2026·贵州遵义·二模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 3．（2026·贵州安顺·二模）我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 【答案】A 【分析】设绫布有尺，根据设出的未知数表示出两种布的单价，再结合给出的方程判断缺失条件． 【详解】解：设绫布有尺，由题意可知绫布和罗布总长为尺， 罗布的长度为尺， 绫布和罗布的总价均为文， 每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 已知方程为， 该方程的意义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为文，即买一尺绫布和一尺罗布一共需要文． 二、填空题 4．（2026·贵州黔东南·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程解决应用题，理解题意建立等量关系是关键． 由题意可得，快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：快马所需的时间为天，则快马速度为里/天，慢马所需的时间为天， 则慢马速度为里/天，根据快马的速度是慢马的2倍可得方程： ， 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·贵州遵义·二模）按要求完成各题 解方程：． 【详解】解：， 两边同时乘得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 6．（2026·贵州遵义·二模）解答以下问题： 下面是小颖和小林同学解方程的过程： 小颖 小林 解： 去分母，得……第一步去括号，得……第二步 化简，得……第三步 解： 移项，得……第一步 分式相加，得……第二步 提公因式，得……第三步约分，得……第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： ①你选择的是 同学，出错在第 步，错误的原因是 ； ②请写出正确的解答过程． 【详解】解：①选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号，导致符号错误， 或（小林，四，分子分母不能同时除以） ②略 7．（2026·贵州遵义·二模）某社区计划安装两种新能源充电桩：快充桩和慢充桩．安装快充桩共用电缆米，安装慢充桩共用电缆180米．已知每个快充桩比每个慢充桩多用米电缆，且快充桩的数量是慢充桩数量的倍，所有电缆刚好用完． (1)求快充桩和慢充桩的数量； (2)由于新能源汽车数量增加，社区计划再采购两种充电桩共个，其中每个快充桩造价元，每个慢充桩造价元．若采购总费用不超过元，请问该社区至少采购多少个慢充桩？ 【答案】(1)快充桩的数量为个，慢充桩的数量为个 (2)该社区至少采购个慢充桩 【分析】（1）设慢充桩的数量为个，则快充桩的数量为个，根据每个快充桩比每个慢充桩多用米电缆，可列方程，解方程即可求出结果； （2）设该社区采购个慢充桩，根据采购总费用不超过元，列不等式，解不等式即可求出该社区至少采购个慢充桩． 【详解】（1）解：设慢充桩的数量为个，则快充桩的数量为个， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：快充桩的数量为个，慢充桩的数量为个； （2）解：设该社区采购个慢充桩， ， 解得， 答：该社区至少采购个慢充桩． 8．（2026·贵州黔东南·二模）某超市准备购进A，B两种商品进行销售，通过市场调研发现，A种商品的进货单价比B种商品的进货单价贵20元，且用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同． (1)求A，B两种商品的进货单价分别是多少元？ (2)若该超市购进A，B两种商品共40件，且A商品的数量不低于B商品数量的，如果A商品的销售单价定为每件100元，B商品的销售单价定为每件90元，那么应该怎样进货才能使售完这40件商品获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) A种商品进货单价为80元，B种商品进货单价为60元 (2) 购进A商品10件，B商品30件时获利最大，最大利润为1100元 【分析】 （1）设B商品进货单价为未知数，根据两种商品进货价的关系表示出A的单价，再利用“总金额除以单价等于数量，且购进两种商品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A商品的数量为自变量，总利润为因变量，根据单件利润乘数量得到总利润的一次函数解析式，再根据A、B数量的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最大利润和对应进货方案； 【详解】（1）解：设B种商品的进货单价为元，则A种商品的进货单价为元， 根据题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A种商品的进货单价是80元，B种商品的进货单价是60元； （2）解：设购进A商品件，总利润为元，则购进B商品件， A商品单件利润为（元），B商品单件利润为（元）， 因此总利润， 根据题意得， 解得：， ， 随的增大而减小， 因此当取最小值时，取得最大值， 此时，， 答：购进A商品10件，B商品30件时，售完获利最大，最大利润是1100元． 9．（2026·贵州遵义·二模）“红色圣地，茶香遵义”，遵义市不仅拥有深厚的红色文化底蕴，其特产“遵义红茶”更是中国国家地理标志产品．某茶叶经销商计划购进遵义红茶的两种不同包装规格产品进行销售，分别记为甲和乙．下表是这两款产品的进价和售价信息： 红茶产品 甲 乙 进价/（元/盒） 售价/（元/盒） 已知用元购进甲款产品的数量与用元购进乙款产品的数量相同． (1)求甲款产品每盒的进价是多少元； (2)该经销商计划购进甲、乙两款产品共盒，且甲款产品的数量不少于乙款产品数量的倍．若购进的这批茶叶全部售完，当甲款产品购进多少盒时，该经销商获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)元； (2)当甲款产品购进盒时，总利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用以及一次函数的增减性． （1）根据“总进价单件进价购进数量”的基础关系，结合题干给出的“元购进甲的数量和元购进乙的数量相等”的等量关系，列出分式方程求解； （2）先根据“单件利润售价进价”，分别算出两款产品的单盒利润，再结合“总利润甲产品总利润乙产品总利润”，列出总利润关于甲产品进货量的一次函数关系式． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲款产品每盒的进价是元； （2）解：设购进甲款产品盒，则购进乙款产品盒， 甲款产品的单盒利润为：（元）， 乙款产品的单盒利润为：（元）， 根据题意得：， 解得：， 又，得， 故的取值范围是， 因为为整数，所以的最小值为， 设总利润为元，则， 因为，所以随的增大而减小，所以当取最小值时，取得最大值， （元） 答：当甲款产品购进盒时，该经销商获得的总利润最大，最大利润为元． 不等式及不等式组 考点05 一、单选题 1．（2026·贵州遵义·二模）不等式的所有整数解的和是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：不等式的所有整数解有，0，1， ∴所有整数解的和是． 2．（2026·贵州遵义·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，得， 在数轴上表示为： 3．（2026·贵州遵义·二模）不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：不等式 ， 移项得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 不等式 ， 移项得 ， 不等式两边同除以，得 ， ∴ 两个解集的公共部分为 ，即原不等式组的解集为 ． 4．（2026·贵州遵义·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，再在数轴上表示不等式的解集. 【详解】解：， 解得：， 在数轴上表示不等式的解集如下： 二、解答题 5．（2026·贵州遵义·二模）某文化用品商店销售一种进价为每件20元的多功能计算器，经市场调查发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，其中销售单价不低于进价．已知当销售单价为30元时，每周可售出50件；当销售单价为40元时，每周可售出40件． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)设每周销售该商品所获利润为w（元），求w关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少元时，每周利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) ，自变量的取值范围是 (2) ；当销售单价定为50元时，每周利润最大，最大利润为900元 【分析】（1）设与的关系式为，把与代入即可求出关系式，再根据销售量要大于等于0，销售单价不低于进价建立不等式组求解即可得到自变量x的取值范围； （2）确定利润于销售单价之间的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设与的关系式为， 把与代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为， ∵， ∴自变量的取值范围是； （2）解：由题意可得： ． ， 当时，最大，元． 答：；当销售单价定为50元时，每周利润最大，最大利润为900元． 6．（2026·贵州黔东南·二模）按要求完成下面各小题． (1)请在①，②，③，④中任选3个代数式求和． (2)下面是某同学解不等式：的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 ①上面的解答过程第______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)见详解 (2)①一；②见详解 【分析】（1）先化简每一个代数式，再任选3个代数式求和即可； （2）①第一步去分母后分子没加括号； ②根据解一元一次不等式的步骤求解即可； 【详解】（1）解：①，②，③，④， 选①②③，和； 选①②④，和； 选①③④，和； 选②③④，和； （2）解：①上面的解答过程第一步开始出错； ②， 去分母，得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $