25.1 一元二次方程的概念（课件） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义，课堂导入通过人体雕像比例问题设未知数列方程，新知讲解结合矩形铁皮方盒、排球邀请赛等实际问题，逐步引导学生从具体情境抽象出方程，形成从实际到数学模型的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，通过问题驱动和实例分析培养模型观念与抽象能力，如从雕像、方盒等问题列方程抽象出定义，例题辨析方程类型及检验根渗透推理意识。小结系统梳理知识，助学生构建体系，教师可直接用于教学提升效率。

第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 九上数学人教 1.能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程,建立模型观念. 2.理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称. 3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 学习目标 2 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 课堂导入 3 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm²，可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3 600. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 图1 图2 x (100-2x)cm (50-2x)cm 思考： 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1， 最高次数是2. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：为什么需进行x(x-1)场？ 邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 6 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1，最高次数是2. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 7 思考：以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 识别关键： 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥  (m是常数)； ⑦ ； ⑧ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； B 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)， 其中 ax²是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项. 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 思考：为什么规定a≠0？ 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 例2 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）(x−2)2=4; （2）(x+3)(x−1)=2x−1; （3）. 解：(1) 去括号，得 x2−4x+4=4. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 x2−4x=0. 其中二次项系数为 1，一次项系数为 -4，常数项为 0. (2) 去括号，得 x2+2x−3=2x−1. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 x2−2=0. 其中二次项系数为 1，一次项系数为 0，常数项为 -2. 跟踪训练 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）(x−2)2=4; （2）(x+3)(x−1)=2x−1; （3）. 解：(3) 去分母，得 2x2−3(x+1)=6. 去括号，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 2x2−3x−9=0. 其中二次项系数为 2，一次项系数为 -3，常数项为 -9. 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 知识点3 一元二次方程的解（根） 新知讲解 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 知识点3 一元二次方程的解（根） 新知讲解 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 知识点3 一元二次方程的解（根） 新知讲解 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 知识点3 一元二次方程的解（根） 新知讲解 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0. 二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1. (2)一般形式为4x2-81=0. 二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81. 随堂练习 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0. 二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25. (4)一般形式为3x2-4x=0. 二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0. 随堂练习 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(1)设正方形的边长为x, 根据题意，得4x2=25, 一般形式为4x2-25=0. 随堂练习 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2， 根据题意，得x(x-2)=100, 一般形式为x2-2x-100=0. 随堂练习 解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m, 根据题意，得x=(1-x)2, 一般形式为x2-3x+1=0. 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 随堂练习 3.若关于x的方程 (m-2)x-2－4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______. 解：∵一元二次方程未知数的最高次数为2， ∴ m2-2=2，解得m=±2. ∵二次项系数不为0， ∴m-2≠0，即m≠2. ∴m=﹣2. ﹣2 随堂练习 实际问题 解(根) 一元二次方程 定义 表示 引出 方程中只含有一个未知数，且含有未知数 的式子都是整式，未知数的最高次数是2 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 $