24.4数据的分组（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦“数据的分组”核心知识点，通过招聘成绩分组的情境引入，连接先前离散程度知识，引导学生从实际需求出发理解分组必要性，搭建从具体问题到抽象方法的学习支架。 其亮点是以真实情境（如招聘成绩、身高、产量）为载体，通过合作探究推导离差平方和公式，培养数学思维（推理能力、运算能力），典例结合多领域数据强化数据观念。教学方法注重问题驱动，小结清晰列出分组步骤，助力学生掌握数据分析方法，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第二十四章 数据的分析 人教版(新教材) 八年级下册 24.4 数据的分组 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试? 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 在社会生活中，分类现象普遍存在.例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示， 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组， 共有9种分法. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 ，则离差平方和为 d2=(x1 )2+(x2 )2+…+(xn )2. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果把这组数据分为两组，前m（m<n）个数据为一组，后（n-m）个数据为一组,它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为 d21=(x1-1)2+(x2-1)2+…+(xm-1)2, d22=(xm+1-2)2+(xm+2-2)2+…+(xn-2)2, 那么 d2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 =(x1-1+1-)2+(x2-1+1-)2+…+(xm-1+1-)2+ (xm+1-2+2-)2+(xm+2-2+2-)2+…+(xn-2+2-)2 =(x1-1)2+(x2-1)2+…+(xm-1)2+(xm+1-2)2+(xm+2-2)2+…+(xn-2)2+m(1-)2+(n-m)(2-)2 =d21+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 其中d²1+d²2称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记 d²12=m(1-)2+(n-m)(2-)2, d²12是m个第一组数据平均数、（n-m）个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d²不变，既可以按d²1+d²2最小来分组，也可以按d²12最大来分组. d2=d21+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示. 分组 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 第一组离差平方和 0 18 50.7 152.8 228.8 411.3 587.4 819.5 1026.2 第二组离差平方和 799.6 503.5 271.4 170.8 54.8 26 4.7 2 0 第三组离差平方和 799.6 521.5 322.1 323.6 283.6 437.3 592.1 821.5 1026.2 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {58，64，68，75，76}和 {83，85，89，99，92}. 数据分组的步骤 (1)将数据由小到大排列； (2)从m＝1开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和分组后数据的平均数； (4)计算两组的组内离差平方和(或组间离差平方和)； (5)组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 数据分组 1. 为减轻计算量，本节只讨论分为两组的情况. 2. 由小到大进行数据排序才能保证分组方案有效. 3. 若有n个数据，则有(n－1)种分组方法. 4. 其他的分组方法还有等距分组、等频分组等. 5. 建议用excel 等电脑软件进行复杂计算. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某小组4名同学的身高（单位：cm）为140，145，155，160． (1)计算这组数据的平均数． (2)计算分组 和 的组内离差平方和． 解:(1) ． (2)数据140，145的平均数为 ， 数据155,160的平均数为 ， 故组内离差平方和为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 城市 平均高温/℃ 北京 3 石家庄 3 呼和浩特 -3 哈尔滨 -11 上海 10 广州 21 海口 22 成都 12 贵阳 9 昆明 17 解：将表中的数据按从小到大排列：可得 -11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则：把这10个城市分为两组. 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示: 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分组 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 第一组离差平方和 0 32 98.7 132 228.8 308.8 397.4 562 789.6 第二组离差平方和 584.2 380.9 285.7 158.8 113.2 62 14 0.5 0 第三组离差平方和 584.2 412.9 384.4 290.8 342 370.8 411.4 562.5 789.6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某农场种植6块试验田，亩产量（单位：kg）如下：300，320，350，400，450，500．若将试验田分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？请说明分组意义． 解：将数据分成两组，共有5种情况，分别计算组内离差平方和（精确到0.01），如下表所示：由表可知，要使组内离差平方和最小，应为300,320,350一组，400,450,500一组． 意义：分组后组内产量波动小，便于分析不同种植方案的效果． 分组 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第一组离差平方和 0 200 1266.67 5675 14920 第二组离差平方和 21320 12500 5000 1250 0 第三组离差平方和 21320 12700 6266.67 6925 14920 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某年6个家庭的年用水量如下表所示： (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？(2)说明分组的实际意义． (1)解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115．分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 家庭 年用水量/t A 105 B 78 C 75 D 115 E 90 F 110 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)由表可知，当分组为{75，78，90}和{105，110，115}时，组内离差平方和最小． (2)解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小， 便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 分组 {75}和{78，90，105，110，115} {75，78}和{90，105，110，115} {75，78，90}和{105，110，115} {75，78，90，105}和{110，115} {75，78，90，105，110}和{115} 第一组离差平方和 0 4.5 126 558 981.2 第二组离差平方和 933.2 350 50 12.5 0 组内离差平方和 933.2 354.5 176 570.5 981.2 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 分组 第一组离差平方和 0 12.5 50 125 第二组离差平方和 125 50 12.5 0 组内离差平方和 125 62.5 62.5 125 解：将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， 由表可知，当75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：将这5个数据从小到大排序：65，69，70，80，81. 计算组内离差平方和(保留一位小数)： 5个苹果的直径(单位：mm)分别为65，69，81，80，70，按照“组内离差平方和最小”的原则，把这5个苹果按直径大小分成三组． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分组情况 第一组1个，第二组1个，第三组3个 第一组1个，第二组2个，第三组2个 第一组1个，第二组3个，第三组1个 第一组2个，第二组1个，第三组2个 第一组2个，第二组2个，第三组1个 第一组3个，第二组1个，第三组1个 组内离差平方和  74.0  1.0 74.0 8.5 58.0 14.0 第2种情况的组内离差平方和最小，因此把这5个苹果按直径大小分成三组是{65}，{69，70}和{80，81}． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分组的原则 分组的步骤 计算 选择 数据的分组 排序 离差平方和 d2=d21+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 关于“组内离差平方和最小”原则，下列说法正确的是（    ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 解：A、组内离差平方和最小是指所有组的离差平方和之和最小，并非某一组的离差平方和最小，A 错误，不符合题意； B、组内离差平方和最小的定义就是所有组的组内离差平方和之和最小，B正确； C、分组无需每组数据完全相同，只需组内离差平方和之和最小即可，C错误； D、离差平方和反映数据的集中程度，该原则与数据集中程度有关，D错误，不符合题意． 故选：B． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 ① ② ③ 分组情况 第一组1个，第二组3个 第一组2个，第二组2个 第一组3个，第二组1个 组内离差平方和 44 28 16.67 解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组.比较表格中三组的组内离差平方和，得 ， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请写出分法并计算最小值（结果保留小数点后两位）． 解：将数据分成两组，为使组内离差平方和最小，只需考虑将数据按从小到大排序后，划分成连续两组的情况，共有4种，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 {60}和{70，78，90，100} {60，70}和{78，90，100} {60，70，78}和{90，100} {60，70，78，90}和{100} 第一组离差平方和 0 50 162.67 483 第二组离差平方和 523 242.67 50 0 组内离差平方和 523 292.67 212.67 483 由表可知，当按第3种分组时，组内离差平方和最小，最小值为212.67．分法为 {60，70，78}和{90，100}． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某工厂生产一批零件，随机抽取6个零件的直径（单位：mm）为10.2，10.3，10.5，10.8，11.0，11.2．质检部门想将零件分为“合格组”和“待复检组”，要求组内直径波动最小，如何分组？计算最小组内离差平方和(结果保留小数点后两位)． 分组 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第一组离差平方和 0.00 0.01 0.05 0.21 0.45 第二组离差平方和 0.53 0.27 0.08 0.02 0.00 组内离差平方和 0.53 0.28 0.13 0.23 0.45 由表可知，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小为0.13，即分组为 和 ，第一组为“合格组”，第二组为“待复检组”．