专题04 特殊平行四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题04 特殊平行四边形 一、矩形 1.定义：有一个内角是_________的_________叫做矩形 ∵▱ABCD，∠A=90°→矩形ABCD 2.性质(含平行四边形全部性质+3条特有) ①角：四个内角全是90°,邻角互补∵矩形ABCD→∠A=∠B=∠C=∠D=90° ②对角线：对角线互相平分且相等，AC=BD，OA=OB=OC=OD ③对称：中心对称+轴对称(2条：对边中点连线) ④推论(高频考点)：直角三角形斜边中线=斜边的一半 ⑤面积：S=长×宽 3.矩形3种判定 1.定义：有一个直角的__________________→矩形 2.三个角是直角的_________→矩形(不用证平行)；∵∠A=∠B=∠C=90°→矩形 3.对角线_________的平行四边形→矩形；∵▱ABCD，AC=BD一矩形 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形 二、菱形 1.定义 一组_________相等的平行四边形是菱形 ∵▱ABCD，AB=AD→菱形ABCD 2.性质(平行四边形性质+特有) ①边：四条边全部相等：AB=BC=CD=DA ②对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角AC⊥BD；AC平分∠A、∠C,BD平分∠B、∠D ③对称：中心对称+轴对称(2条：对角线所在直线) 3.面积两种算法(重中之重) ①S=底×高，②S(对角线乘积一半) 拓展：任意对角线垂直的四边形面积=对角线乘积÷2 4.菱形3种判定 1.定义：一组邻边_________的平行四边形→菱形 2.四条边_________的四边形→菱形(不用证平行) 3.对角线互相垂直的平行四边形→菱形；∵▱ABCD，AC⊥BD→菱形 补充：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 三、正方形 1.定义 一组邻边_________且有一个_________的平行四边形是正方形 (特殊矩形+特殊菱形，兼具矩形、菱形全部性质) 2.正方形全部性质 ①边：四边相等，对边平行 ②角：四个角都是90° ③对角线：相等、垂直平分、平分一组内角AC=BD，AC⊥BD，对角线分内角为45° 3.对称：4条对称轴(两条对角线+两组对边中线)+中心对称5.面积: 4.正方形6类判定(做题常用) ①定义判定：邻边相等+一个直角的→正方形 ②一组邻边相等的_________→正方形 ③有一个直角的_________→正方形 ④对角线垂直的_________→正方形 ⑤对角线相等的_________→正方形 ⑥对角线垂直且相等且平分的四边形→正方形 四、特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边_________且_________ 四个角都是_________ 两条对角线_________ 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边_________且_________ 对角_________ 两条对角线_________，且每一条对角线平分_________ 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边_________且_________ 四个角都是_________ 两条对角线__________________，每一条对角线平分_________ 轴对称图形、中心对称图形 五、特殊平行四边形的判定对比 四边形 边 角 对角线 矩形 ①平行四边形+一直角 ②四边形+三直角 平行四边形+两条对角线_________ 菱形 ①平行四边形+一组邻边相等 ②四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相_________ 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 利用矩形的性质求角度 1．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________  °． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 利用矩形的性质求线段长度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    利用矩形的性质求面积 7．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 9．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 利用矩形的性质证明 10．如图1，在矩形中，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点， (1)求证：； (2)如图2，连接，求的值． 11．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 12．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 矩形与折叠问题 13．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________ ． 14．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 15．如图，在矩形中，点为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 证明四边形是矩形 16．如图，将绕着点旋转得到，连接、，下列选项中不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离． 添加一个条件使得成为矩形 19．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 20．以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 利用菱形的性质求角度 22．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 24．如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 利用菱形的性质求线段长度 25．如图，在菱形ABCD中，过点A作，垂足E在CD的延长线上，过点E作，垂足为F．若，，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 26．在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 27．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 利用菱形的性质求面积 28．如图，在菱形中，，，点是菱形内或边上的一点，且，连接，，则面积的最小值为________． 29．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为_____． 30．如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．30 D．35 利用菱形的性质证明 31．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作交延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 32．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 33．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 证明四边形是菱形 34．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 35．如图，在中，E、F分别为边的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 36．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 添加一个条件使得成为菱形 37．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 38．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 39．如图，的对角线、交于点，添加以下条件不能证明是菱形的是（） A． B． C． D． 利用中点四边形判断形状 40．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 41．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ∵分别是边上的中点， 42．顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 利用中点四边形求解 43．如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 44．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 45．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 利用正方形的性质求角度 46．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 48．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 利用正方形的性质求线段长度 49．如图，正方形的边长为，为上的点，，为的中点，为上一个动点，则的最小值为____． 50．如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 51．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 根据正方形的性质求面积 52．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 53．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 54．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 证明四边形是正方形 55．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 56．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 57．如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 添加一个条件使得四边形是正方形 58．在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 59．如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 60．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 正方形中折叠问题 61．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 62．如图，将边长为的正方形纸片对折，使与重合，折痕为（如图①），展开后，再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点（如图②），则的长为_______． 63．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 求正方形正方形重叠部分的面积 64．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 65．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 66．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 利用正方形的性质证明 67．如图1，四边形是正方形，点是上一点，点是延长线上一点，． (1)求证：； (2)如图2，连接，，设，分别与交于点P，Q． （i）求证：； （ii）求证：． 68．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：；（提示：过点P作于点M，作于点N）． 69．阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形” 例题分析：如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．   求证：四边形是“神奇四边形”． 证明：∵四边形是正方形， （依据1），． ． ， ． （依据2）． …… 任务： (1)下列选项中一定是“神奇四边形”的是（   ）； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)①例题分析中的依据1和依据2分别是什么？ 依据1：________________________________， 依据2：________________________________； ②补全上述证明过程； (3)在上述例题分析中，若四边形的面积为，正方形的边长为，则的长为________． 特殊平行四边形中动点问题 70．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 71．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 72．如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 四边形中线段最值问题 73．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 74．如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 75．如图，在正方形中，点M在上运动，过点M分别作，垂足分别为点E，F，若，则的最小值为________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊平行四边形 一、矩形 1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 ∵▱ABCD，∠A=90°→矩形ABCD 2.性质(含平行四边形全部性质+3条特有) ①角：四个内角全是90°,邻角互补∵矩形ABCD→∠A=∠B=∠C=∠D=90° ②对角线：对角线互相平分且相等，AC=BD，OA=OB=OC=OD ③对称：中心对称+轴对称(2条：对边中点连线) ④推论(高频考点)：直角三角形斜边中线=斜边的一半 ⑤面积：S=长×宽 3.矩形3种判定 1.定义：有一个直角的平行四边形→矩形 2.三个角是直角的四边形→矩形(不用证平行)；∵∠A=∠B=∠C=90°→矩形 3.对角线相等的平行四边形→矩形；∵▱ABCD，AC=BD一矩形 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形 二、菱形 1.定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵▱ABCD，AB=AD→菱形ABCD 2.性质(平行四边形性质+特有) ①边：四条边全部相等：AB=BC=CD=DA ②对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角AC⊥BD；AC平分∠A、∠C,BD平分∠B、∠D ③对称：中心对称+轴对称(2条：对角线所在直线) 3.面积两种算法(重中之重) ①S=底×高，②S(对角线乘积一半) 拓展：任意对角线垂直的四边形面积=对角线乘积÷2 4.菱形3种判定 1.定义：一组邻边相等的平行四边形→菱形 2.四条边相等的四边形→菱形(不用证平行) 3.对角线互相垂直的平行四边形→菱形；∵▱ABCD，AC⊥BD→菱形 补充：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 三、正方形 1.定义 一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形 (特殊矩形+特殊菱形，兼具矩形、菱形全部性质) 2.正方形全部性质 ①边：四边相等，对边平行 ②角：四个角都是90° ③对角线：相等、垂直平分、平分一组内角AC=BD，AC⊥BD，对角线分内角为45° 3.对称：4条对称轴(两条对角线+两组对边中线)+中心对称5.面积: 4.正方形6类判定(做题常用) ①定义判定：邻边相等+一个直角的→正方形 ②一组邻边相等的矩形→正方形 ③有一个直角的菱形→正方形 ④对角线垂直的矩形→正方形 ⑤对角线相等的菱形→正方形 ⑥对角线垂直且相等且平分的四边形→正方形 四、特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 五、特殊平行四边形的判定对比 四边形 边 角 对角线 矩形 ①平行四边形+一直角 ②四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 ①平行四边形+一组邻边相等 ②四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 利用矩形的性质求角度 1．如图，点E是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为________  °． 【答案】40 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 【答案】28 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，利用等边对等角可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 利用矩形的性质求线段长度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵， ， 即点F是边的中点， 点是边的中点， 为的中位线， ． 5．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，在中，由勾股定理求出对角线的长度，从而计算出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，． 在中，， ． 利用矩形的性质求面积 7．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，根据，分别是，的中点，可得，，是的中位线，求出，和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ， ∵，，， ， ， ， 是直角三角形，， ． 8．如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 【答案】8 【分析】由于四边形和四边形均为不规则图形，因此把它们先分割成规则图形，故连接，，而分割后的三角形的高也未知，因此分别设出和的高，进而四边形中的两个三角形的高也可以表示出来，最后借助四边形的面积求出四边形的面积即可． 【详解】解：如图，连接，，设在上的高，在边上的高，则在边上的高，在边上的高为． ，， ． ， ， 即． ， 　　　　　 　 　 　． 9．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 利用矩形的性质证明 10．如图1，在矩形中，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点， (1)求证：； (2)如图2，连接，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，点在的延长线上， ， 又， ， ， ， ，即． (2) 【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论； （2）在线段上取点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，由勾股定理可得，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在线段上取点，使得， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，得， ， ． 11．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵对角线和互相平分， ∴ 四边形是平行四边形， 又∵， ∴ 平行四边形是菱形； (2) 【分析】（）利用矩形平行的性质与中垂线条件证全等，得对角线互相平分，先证平行四边形，结合对角线垂直证菱形； （）设菱形边长，借助勾股定理列方程求边长，再算菱形面积． 【详解】（1）略 （2）解：设菱形边长， ∵， ∴， ∵ 矩形中， 在中，由勾股定理： 代入得： ， 展开化简得， 解得，即， 菱形面积底高． 12．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得到，，根据，推出四边形是平行四边形，因此，即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 矩形与折叠问题 13．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________ ． 【答案】/ 【分析】根据题意，可知两点重合，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：当边与的边所在直线重合时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴． 14．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 15．如图，在矩形中，点为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图， 作，由线段中点得，根据折叠可得，得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一得到，在 中利用 即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ 四边形为矩形， ∴． ∵ 点是的中点， ∴． 根据折叠可得，， ∴． ∵， ∴． 在 中，， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得或（舍）， ∴ ， ． 证明四边形是矩形 16．如图，将绕着点旋转得到，连接、，下列选项中不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，结合矩形和菱形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：∵将绕着点旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， A、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故A选项不符合题意； B、若添加， ∵，，， ∴， 即， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故B选项不符合题意； C、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形，故C选项符合题意； D、若添加， 在平行四边形中，， ∴， 故， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故D选项不符合题意． 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，推得，根据平行四边形的判定和性质得出，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据菱形的性质求出和的长，根据勾股定理求出的长，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴． 18．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵在四边形中，，，， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由垂直的意义得到，，再根据菱形的对边平行得到，则，即可求证； （2）根据菱形得到，，，，根据勾股定理得，由，得到．而，则，那么，设平行线与间的距离为h，再由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形的周长为， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设平行线与间的距离为h， ∴， ∴， ∴平行线与间的距离为． 添加一个条件使得成为矩形 19．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行选择即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 若要使平行四边形成为矩形， 根据矩形的判定定理，需添加对角线相等或有一个角是直角， A. 添加，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定，A符合题意； B. 添加，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定，B不符合题意； C. 添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定，C不符合题意； D. 添加，无法判定四边形是矩形，D不符合题意． 20．以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵， ∴， ∴能判定平行四边形为矩形，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形，不符合题意； C．由不能判定平行四边形为矩形，符合题意； D．∵ ∴平行四边形为矩形，不符合题意． 21．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 利用菱形的性质求角度 22．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 23．如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】菱形的性质：对角相等；四条边相等． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴． 24．如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出的度数及，利用等腰三角形性质求出，在 中利用直角三角形两锐角互余求出，最后根据直角三角形斜边中线性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在 中，∵， ∴， ∴． 利用菱形的性质求线段长度 25．如图，在菱形ABCD中，过点A作，垂足E在CD的延长线上，过点E作，垂足为F．若，，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质证明，列式得，然后根据勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 26．在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，连接，证明得出，由三角形中位线定理得出，从而得出当时，最小，此时有最小值，过点作于点，此时点和点重合，根据菱形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴要使有最小值， 即最小， ∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 27．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，， ， ， ， 解得． 利用菱形的性质求面积 28．如图，在菱形中，，，点是菱形内或边上的一点，且，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据菱形对边平行、平行线的性质，推出， ，求得．确定当是等腰直角三角形时，到的距离最大，再用等腰直角三角形的性质求出到的距离，从而求得的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， ， 当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大 当是等腰直角三角形时，到的距离最大 点在边上，且 如图，过作于点，于点 到的距离 面积的最小值为：． 29．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为_____． 【答案】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ∴． 30．如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．30 D．35 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 利用菱形的性质证明 31．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作交延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可得四边形是平行四边形，得，由角平分线得，，得，得， 即可得出结论； （2）过点作于点，由，可得 ，设，勾股定理得，解得， ，可得四边形为矩形，，得． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）解：过点作于点， 在菱形中，， ， ， 即，可得 ， 设， 在中，， 即，解得， 所以，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 32．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边证明，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，用勾股定理解，再根据直角三角形斜边中线的性质，得出． 【详解】（1）证明： ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， 是斜边上的中线， ． 33．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】由菱形的性质可得，，结合可得，从而证明，则，因此． 【详解】略 证明四边形是菱形 34．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴在中，． 35．如图，在中，E、F分别为边的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别为边的中点， ∴，． ∴四边形是平行四边形， ∴． (2)∵平行四边形， ∴， ∵， ∴． 又∵F为边的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．由E、F分别为边的中点可推出．即可利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形，即得出结果． （2）根据平行四边形得出，由，可推出，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出，所以平行四边形是菱形 【详解】（1）略 （2）略 36．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：D，E分别是，的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形，， ，，， ， 由(1)可知，， ， ． 添加一个条件使得成为菱形 37．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【答案】A 【分析】矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形． 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意． 38．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 39．如图，的对角线、交于点，添加以下条件不能证明是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、，，即，又四边形是平行四边形，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、只能说明是等腰三角形，不能推导出邻边相等或对角线互相垂直，无法证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形，，，又，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意． 利用中点四边形判断形状 40．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 【答案】 菱形 【分析】利用三角形中位线定理可得中点四边形对边平行且等于原矩形对角线的一半，结合矩形对角线相等的性质，可得中点四边形邻边相等，根据平行四边形和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设矩形，，，，分别是，，，的中点，连接，， 根据三角形中位线定理，可得：，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相等， ， ， ， 平行四边形是菱形． 41．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据题意作图，再结合中位线的性质，得证四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直，证明有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：如图：，分别是边上的中点，连接，设交于点，交于点， ∵分别是边上的中点， ∴，分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是矩形，即得到的四边形一定是矩形． 42．顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】先连接正方形对角线，借助中位线证对边平行得平行四边形，再利用对角线相等推出四边相等，判定菱形，最后由对角线垂直，证菱形有直角，得到正方形． 【详解】解：设原正方形为，，，，分别是，，，的中点，连接，，如图： ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵在正方形中，， ∴， ∴四边形是菱形， 在正方形中， ∵，，， ∴，即， ∴菱形是正方形． 【点睛】巧用三角形中位线，结合正方形对角线相等且垂直的性质，逐步判定特殊四边形． 利用中点四边形求解 43．如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分，利用中心对称性质可知阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． 【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于点． 因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．又因为图中分割线均经过点， 所以根据中心对称的性质，阴影部分与空白部分关于点对称，即阴影部分的面积等于空白部分的面积． 所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半． 因为平行四边形的面积是， 所以阴影部分的面积为． 44．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 45．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 利用正方形的性质求角度 46．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，，再由三角形内角和定理确定，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， 是等边三角形， ， ， ， ． 47．如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方形的性质得，，由等边对等角结合三角形内角和定理求得，求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 48．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 【答案】 【分析】由于四边形是正方形、是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 利用正方形的性质求线段长度 49．如图，正方形的边长为，为上的点，，为的中点，为上一个动点，则的最小值为____． 【答案】 【分析】利用正方形对角线是对称轴，作点关于的对称点，根据轴对称性质：，则，两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 【详解】解：正方形对角线是对称轴，作点关于的对称点，连接， 又为的中点， 则， 根据轴对称性质：， 则， 两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 过作于，则， 又， 四边形是矩形，则， 则， 由勾股定理： ， 即最小值为． 50．如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，根据旋转的性质可得，则可得是等腰直角三角形，进而求出，得到的长，最后利用勾股定理求出即可. 【详解】解：过点作于， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴. 51．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，故要求的最小值，即需求的最小值即可， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，为定值， 当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为 ∴的最小值是． 根据正方形的性质求面积 52．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 53．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 54．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【答案】10 【分析】连接，根据正方形的性质推出，则和等底等高，所以，，，即阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半． 【详解】解：如图，连接， ∵、为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵大正方形的面积为20， ∴． 即阴影部分的面积为10． 证明四边形是正方形 55．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断每个条件即可． 【详解】解：①∵该图形是平行四边形，且对角线互相垂直且相等， ∴该平行四边形既是对角线互相垂直的平行四边形（菱形），又是对角线相等的平行四边形（矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ②∵该图形是矩形，对角线互相垂直， ∴该四边形是正方形，符合题意； ③∵该图形是菱形，对角线相等， ∴该四边形是正方形，符合题意； ④∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加上对角线相等，即可判定对角线相等的菱形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ⑤∵该图形是平行四边形，有一组邻边相等可得它是菱形，有一个角是直角可得它是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； 综上其中能判定四边形为正方形的有5个． 56．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是矩形， 又 ， 四边形是正方形． 57．如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 添加一个条件使得四边形是正方形 58．在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，对角线相等的菱形是正方形，因此四边形为正方形，故A正确； B、菱形本身满足对角线，因此添加该条件不能判定四边形为正方形，故B错误； C、平行四边形对角线互相平分，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形，故C错误； D、菱形对角线平分一组对角，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形． 59．如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先得到四边形是矩形，再从矩形的角度添加条件证明其为正方形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 若添加条件， 四边形是矩形，， 四边形是正方形． 60．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 正方形中折叠问题 61．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 62．如图，将边长为的正方形纸片对折，使与重合，折痕为（如图①），展开后，再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点（如图②），则的长为_______． 【答案】/0.75 【分析】由正方形得到，，由折叠可得，，，，．设，在中根据勾股定理构造方程，求得，则，，因此在中，，根据同角的余角相等得到，因此在中，，从而，根据设，（），由勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴，， 由折叠可得，，，， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， ∴在中，． ∵， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，（）， ∵，即， 解得， ∴． 63．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 求正方形正方形重叠部分的面积 64．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 65．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 66．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【答案】19 【分析】先设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，即可求出，然后根据中点的定义可得，接下来求出 ，最后根据得出答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得 ，， 由①，得， 由，得， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴ ， ∴． 利用正方形的性质证明 67．如图1，四边形是正方形，点是上一点，点是延长线上一点，． (1)求证：； (2)如图2，连接，，设，分别与交于点P，Q． （i）求证：； （ii）求证：． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ， ，即， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)（i）证明：如图1，过点作，交于点． ∵四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形． ， ∵， ， 在和中， ， ， ； （ii）证明：如图2，连接，过点作，且，连接，． ， ，即， 又，， ， ，， ， ，， 是的斜边上的中线． 平分． ， ， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理，得，即． 【分析】（1）先证明，可得，进一步可得结论； （2）（i）如图1，过点作，交于点，证明是等腰直角三角形，可得，再证明，进一步可得结论； （ii）如图2，连接，过点作，且，连接，．证明，可得是的斜边上的中线．进一步证明，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 68．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：；（提示：过点P作于点M，作于点N）． 【答案】(1)证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 69．阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形” 例题分析：如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．   求证：四边形是“神奇四边形”． 证明：∵四边形是正方形， （依据1），． ． ， ． （依据2）． …… 任务： (1)下列选项中一定是“神奇四边形”的是（   ）； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)①例题分析中的依据1和依据2分别是什么？ 依据1：________________________________， 依据2：________________________________； ②补全上述证明过程； (3)在上述例题分析中，若四边形的面积为，正方形的边长为，则的长为________． 【答案】(1)D (2)①正方形的四边相等；直角三角形的两锐角互余； ②． ． ． ∴四边形是“神奇四边形”． (3)5 【分析】（1）根据平行四边形及特殊平行四边形对角线的性质，再结合“神奇四边形”的定义即可得解； （2）证明即可得证； （3）根据四边形的面积可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的对角线互相垂直且平分； 正方形的对角线互相平分、垂直且相等； 由“神奇四边形”的定义可知正方形为“神奇四边形”． （2）略 （3）∵四边形是“神奇四边形”，且四边形ABNM的面积为， ，． ∵正方形的边长为，． ． 由①可知：， ． ． ． 特殊平行四边形中动点问题 70．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 71．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 72．如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【分析】分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形， 综上所述，当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 四边形中线段最值问题 73．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，，利用矩形的性质及勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形，进而得到，当点B、P、D三点共线时，最小，进而可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是矩形， ∴， ， ，P是线段的中点， ， ∵，， ， ∵， 四边形是矩形， ， 当点B、P、D三点共线时，最小， 此时， 的最小值为：． 74．如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 【答案】 【分析】结合菱形性质得到，过点作于，过作于，根据30度角的性质得到，可知，根据三角函数求出的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，过作于， 则， 即， 在中，，， ∴， 即的最小值为． 75．如图，在正方形中，点M在上运动，过点M分别作，垂足分别为点E，F，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，由四边形是正方形，得到，，由，，，判定四边形是矩形，因此，当垂直于时，最小，即最小，由勾股定理求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形，，， ， ，， 四边形是矩形， ， 当垂直于时，最小，即最小， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得：（负值舍去）， 的最小值是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $