专题08 导数综合解答压轴题（期末复习讲义，8重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题08 导数综合解答压轴题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01利用导数证明不等式 题型02利用导数研究不等式恒成立问题 题型03利用导数研究能成立问题 题型04利用导数研究函数的零点 题型05利用导数研究方程的根 题型06利用导数解决实际应用问题 题型07导数新定义 题型08导数中的极值偏移问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数型不等式证明 掌握构造函数、放缩、极值点偏移、凹凸性；能转化为单峰函数最值问题。 压轴难点；多为 “f (x)>g (x)”；构造能力决定得分高低。 恒成立 / 存在性（不等式） 会分离参数、最值转化；能构造函数、分类讨论；理解 “任意 / 存在” 逻辑。 高频压轴；“∀x，f (x)≥g (x)” 为主；分离参数优先，复杂则分类。 函数零点 / 方程根的个数 会转化为 F (x)=0；用单调性 + 极值 + 端点极限判零点个数；数形结合辅助。 高频压轴；常考 “2 个零点 / 3 个零点”；极值符号、趋势分析是关键。 导数 + 新定义 / 跨模块综合 读懂新定义；能迁移导数工具到数列、不等式、解析几何；综合建模。 上海特色压轴；常结合数列、对数 / 指数、三角函数；信息量大、建模难。 极值与最值（闭区间） 理解极值（局部）与最值（整体）；会列表判极值、端点 + 极值比大小求最值。 高频解答题，中偏难；极值判断、最值比较易丢步骤分。 知识点01 . 函数单调性判定 在定义域内严格递增 在定义域内严格递减 ，对应点为驻点，驻点不一定是极值点 知识点02 . 实际优化应用 核心思路：根据实际问题建立目标函数，确定定义域，利用导数求函数最值，结合实际意义取舍结果，常用于面积、体积、利润、效率等最值问题。 知识点03 . 函数极值与极值点 必要条件：若可导函数 在 处取极值，则 第一充分条件（符号判定法） 导数左正右负： 为极大值点，对应极大值 导数左负右正： 为极小值点，对应极小值 导数左右符号不变： 非极值点 知识点04 . 期末综合压轴题型 含参讨论：参数影响函数单调性、极值、最值，是中档核心题型 恒成立与存在性问题：转化为函数最值问题求解参数范围 零点问题：利用单调性、极值分析方程根的个数、图像交点 导数不等式证明：构造新函数，借助单调性与极值放缩证明 题型一 利用导数证明不等式 【典例1】．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式证明即可. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）证明：由题可得：， 即， 此时，若，则，从而有， 但是由平均不等式可得：， 且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，所以. 【变式1】．（23-24高二下·上海金山·期末）设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 【答案】(1)函数具有性质，函数不具有性质 (2)； (3) 【知识点】函数新定义、利用导数证明不等式、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）直接利用函数的单调性即可判断； （2）将原问题转化为对任意恒成立，再通过讨论a的取值范围去掉绝对值符号即可求解答案； （3）由题意知对恒成立，根据函数具有性质求出的值，再将转化为，结合导数知识求解即可得的最小值. 【详解】（1）因为函数是R上的增函数，所以，即函数具有性质， 函数是R上的减函数，所以，即函数不具有性质． （2）由题意知，对任意恒成立， ①当时，原不等式等价于， 即恒成立，故，则满足； ②当时 （i）当时，原不等式等价于， 即； （ii）当时，原不等式等价于， 即，即， 则当时满足； ③当时，原不等式等价于， 即满足； ④当时，当时，原不等式等价于， 即，不满足； ⑤当时，原不等式等价于， 即满足； 综上的取值范围是． （3）由题意知对恒成立， 令得，又， 又， ， 令， 则，因为不存在，使得， ， 当时，， 当时，在上递减则当时，满足条件， 则的最小值为． 【点睛】关键点点睛：函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.像第2小问这种涉及绝对值的不等式，需要通过分类讨论的思想方法先去绝对值符号，再求解.第3问涉及求参数的取值范围问题，一般可以构造函数，结合导数知识求解，也可以进行参变分离，利用函数性质或导函数求最值即可. 【变式2】．（23-24高二下·上海·期中）若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系. (1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系； (2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围； (3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：. 【答案】(1)具有伯努利型关系，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接用二项式定理即可证明结论； （2）构造并研究在上单调性，即可比较和的大小，进而得到的条件，从而确定的取值范围； （3）将不等式的左边化为，然后利用（2）中得到的结论，可以推知，再用裂项法证明即可. 【详解】（1）由于对任意，，有，故具有伯努利型关系. （2）条件具有伯努利型关系等价于，对任意的，，都有. 设，则. 当时，由，知对有，对有，所以在上单调递减，在上单调递增. 故此时对任意的都有，即，等号成立当且仅当； 当时，由，知对有，对有，所以在上单调递增，在上单调递减. 故此时对任意的都有，即，等号成立当且仅当； 当或时，容易验证此时对任意的都有. 以上结论表明，对任意的都有的充要条件是，从而条件等价于，即，所以的取值范围是. （3）由（2）的结论，当时，对任意，有，故对任意的正整数，有成立，从而，因此我们只需证明，下面证明此结论. 因为关于显然是递增的，所以我们可以不妨设，此时有 ， 所以，结论得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在（2）的求解过程中，的情况是不满足（2）的条件的情况，此时我们得到了反向的结论，.  在（3）的证明中，我们恰恰要使用该结论，而不是直接使用（2）的直接结论：，. 【变式3】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中．    (1)当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 【答案】(1)－1.35 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数新定义、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）构造函数，再根据题设定义，即可求解； （2）（i）点的坐标为，根据条件可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得，即可求解；（ii）根据条件，先证明，进而证明，即可求解. 【详解】（1）当时，令， 则，所以，又， 所以曲线在处的切线为， 令，得，则． 又， 曲线在处的切线为， 令，得，则， 故用牛顿迭代法求原方程满足精度的近似解为－1.35． （2）（ⅰ）设点的坐标为，则，即， 所以，得到，解得，则， 又，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则． 因为在上单调递减，所以在上单调递减． 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以对任意的正实数都有，即当时，都有． （ⅱ）因为在上单调递减，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是在的极大值点，也是在的最大值点， 即． 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得①． 曲线过点（1，n－1）和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，即在上单调递减， ． 因为，且，即和都在的严格减区间内， 所以，即， 所以，即． 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得②． 由②①，得， 即证得． 题型二 利用导数研究不等式恒成立问题 【典例1】．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、导数的运算法则 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案； （2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增；继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则或；令，则； 则在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为； （2）因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则，定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； 又， 当时，，在上单调递增； 当时，需在上恒成立， 即在上恒成立， 对于，图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立，需满足且， 解得， 综合可得，即a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解参数的取值范围，解答时要将原不等式恒成立转化为对一切都成立，从而构造函数，利用导数求解. 【典例2】．（24-25高二下·上海松江·期末）若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. (1)判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； (2)若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; (3)若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、函数新定义 【分析】（1）求得，得到，即，即可得到答案； （2）求得，转化为成立，令，求得，得出的单调性，的得到，即可求解； （3）若存在常数，使得恒成立，得到，求得，证得充分性成立；若，则，由函数是函数的 “ 1 相关函数”，得到，再由，转化为，进而得到，证得必要性成立，即可得证. 【详解】（1）解：由函数是否是，可得， 因为对 ，所以 ， 即对任意实数 成立， 所以函数是函数的 “ 2 导控函数” . （2）解：由函数，且， 可得， 对任意实数，都存在常数，使得 成立， 设，则， 由， 当时，；当 时， . 即在上严格减，在上严格增， 所以， 即对任意实数，成立， 所以导控系数的取值范围是 . （3）证明：充分性：若存在常数，使得恒成立， 因为，所以， 即， 即对任意实数成立，所以. 必要性：若，则， 因为函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ①， 由，得函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ，即， 用代换，得对任意实数 ②， 由①②可知:对任意实数 ，即， 所以存在常数，使得恒成立， 综上可得: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【典例3】．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为D．若存在非空集合和，使得对任意的，，都有，且成立，则称函数具有“AX”性质． (1)若，，．试判断是否具有“AX”性质； (2)若，，．求证：具有“AX”性质； (3)若，，A中元素的最小值为．求所有使具有“AX”性质的集合A的并集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）由题意，分别计算与，再比较大小，可得答案； （2）由题意，利用作差法并分解因式，再构造函数，根据其单调性以及二次函数性质，可得答案； （3）根据三角函数的性质，分段分析证明不等式成立，利用三角函数恒等式，可得答案. 【详解】（1）已知对于任意，则， 由，且，则， 不满足成立，所以不具有“”性质. （2）已知，函数定义域. 对于任意，则. 由 ， 因为，所以， 令在上单调递增，则. 由，即. 所以，即成立，所以具有“”性质. （3）已知中元素最小值为，函数定义域. 设，对于任意，且成立. 当时，，此时，满足. 当时，，，显然满足. 当时，. 当时，，因为，所以. 下证当时，对成立： 令 根据和差化积公式， 则， 因为，所以,, ，则， 在上单调递增，，即. 当时，，则，整理得， ，而当，则，不符合题意， 所以满足条件的是，其并集就是. 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可； （2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得 【详解】（1）由题意知 则曲线在处的切线方程为 （2）不妨设，则 则设，可知在上严格递增 则恒成立 则 设 则当时，单调递增，当时，单调 递减，则 则实数的取值范围为. 【变式2】．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性，求出函数的最小值即可. （2）令，利用导数确定单调性求出的最小值，等价变形不等式成立，构造函数并利用导数求出的最大值，即可求出的最小值. （3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论. 【详解】（1）函数，求导得， 则在上单调递增，所以. （2）令，，求导得，即函数在上递增， 则，而对任意恒成立，因此； 要对任意恒成立，只需在恒成立， 令，，求导得，由，得， 当时，，函数在上递增，成立，于是， 当时，，函数在上递减，，不符合题意， 当时，则当时，，函数在上递减，此时，不符合题意， 因此，从而， 所以的最小值为. （3）令，， 求导得，令，，求导得， 则函数在上单调递增，显然， 于是存在，使得，即，当时，， 当时，，则函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上递减， 即，则， 从而，，即， 所以的图象恒在直线上方. 【点睛】思路点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 【变式3】．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义、利用导数证明不等式 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【详解】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 【变式4】．（24-25高二下·上海·期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】导数的运算法则、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【详解】（1）因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①，           ②； （2）即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. （3）由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 题型三 利用导数研究能成立问题 【典例1】．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 【变式1】．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为. (3) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题. 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为,所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数. （2）因为,所以，所以， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值为， 因为， 所以当时，函数有最大值为. （3）由得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)减区间，增区间； (3). 【知识点】导数的运算法则、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用商的导数法则求导即可； （2）利用导数的正负判断单调性即可； （3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可. 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. 【变式3】．（23-24高二上·上海·期末）已知函数． (1)当时，求在处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)记函数的图像为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由． 【答案】(1) (2)增区间为、 (3)不存在，理由见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数求得切线的斜率. （2）求出函数的定义域，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间； （3）假设函数存在“中值相依切线”，求出函数的，结合导数的几何意义，可得出，再令，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，判断方程在上的解的情况，即可得出结论. 【详解】（1）当时，，， 即在处的切线的斜率为. （2）函数的定义域为， ， 因为，则， 由可得或， 所以，函数的增区间为、. （3）假设函数存在“中值相依切线”， 设、是曲线上不同的两个点，且， 则，， 则， 因为， 则， 由可得， 即，则， 令，则，则， 故函数在上单调递增，则， 故在上无解，假设不成立， 综上，假设不成立，所以函数不存在“中值相依切线”. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在上的零点问题为解本题的关键. 题型四 利用导数研究函数的零点 【典例1】．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 【典例2】．（25-26高二上·上海·期末）已知定义域为的函数，为其导函数，若对任意都有恒成立，则称函数为“导大”函数． (1)判断函数是否为“导大”函数，并说明理由； (2)若“导大”函数有零点，且有最大值，求函数的最大值； (3)若“导大”函数有且仅有2026个零点，求函数的极大值点的个数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)0 (3)2025 【知识点】函数新定义、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据 “导大” 函数的定义，将及其导数代入不等式，验证不等式恒成立，从而证明该函数是 “导大” 函数； （2）由 “导大” 函数的条件可推得恒成立，再结合有零点和最大值的条件，推导出的最大值； （3）利用 “导大” 函数的条件，结合有个零点及零点性质分析，可知这些零点中至多有一个不是极大值点，从而得出极大值点个数的最小值. 【详解】（1）已知. 对求导得. 将代入中，得， 即，此式恒成立，因此函数是“导大”函数. （2）因为是“导大”函数，所以恒成立， 设在处取得最大值，因为函数定义域为，故为极大值点，则， 所以，即， 又由有零点，可得，所以，即函数的最大值为0. （3）设的个零点由小到大分别为，由题设为可导函数， 故为连续不间断函数且光滑， 则在两个相邻的零点之间，恒成立或恒成立， 故在两个相邻的零点之间之间恒成立或恒成立， 若在上，则在上为增函数， 因为为连续可导函数，故在上为连续可导增函数， 与在上有两个不同的零点矛盾，故不能成立， 故两个相邻的零点之间之间恒成立且. 当时，若，则也为极大值点； 若，则，故在上为增函数，故 故在每个零点的附近（除该零点外）都有，矛盾， 综上，必为极大值点. 当时，若，则也为极大值点； 当，则，此时在为增函数， 故此时不为极大值点，综上极大值点至少为. 【变式1】．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)存在，有2条. 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数探讨函数的性质，将问题转化为直线与函数图象的交点个数求解. （3）设出与曲线均相切的直线切点，再利用导数的几何意义建立方程，转化为函数零点个数求解. 【详解】（1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即. （2）方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解. （3）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线. 【变式2】．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知，. (1)求的最大值； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】(1)最大值为-2 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）先求导得，利用导数研究单调性，进而求得最大值； （2）由得，即，由（1）即可作出的图像，利用数形结合即可求解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于，与相切于，由题意有，消去得，令，利用导数研究单调性即可求证. 【详解】（1）有题意有，定义域为， 所以，令，解得或（舍去）， 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减， 故当时，函数取到最小值，最大值为-2. （2）令， ，即，由（1），在上严格增，在严格减， 又，， ，， 图像如图，求方程解得个数即求直线与图像的交点个数， 当时，有两个交点，即方程有2个解； 当时，有一个交点，即方程有1个解； 当时，有零个交点，即方程有0个解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于， 与相切于， ，，则， 消去得，令， 则，令得或，又，所以， 当，，严格增， 又，， 则，，，有唯一零点； 当，，严格减， 又，， 则，，，有唯一零点， 综上所述，在区间和各有一个零点， 即证有且只有两条直线与曲线、均相切. 【变式3】．（23-24高二下·上海·期末）已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，求曲线在点处的切线方程； (2)设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】(1)利用导数求函数在某点处的切线方程即可； (2)利用极值点等价于导数值为零的点，且导数零点的左右两侧有正负，通过对导函数是二次函数的零点进行分析即可得解； (3)利用换元思想，把，即知，再利用二项式展开式和均值不等式，即可证明不等式. 【详解】（1）由，，可知，则， 当时，， 所以在点处的切线方程为：，即为； （2）当时，由，则， 即， 由在上有两个不同的极值点，则在内有两个解， 即由等价于， 作出二次函数图象， 因为当时，， 结合图像可知：当时，方程在内有两个解, 即b的取值范围; （3）证明：依题意，，，且，， 令，则 所以 而 ， 则 又，且，当且仅当时等号成立，所以， 同理，，……，且均在时等号成立， 所以 ，即得证． 【点睛】思路点睛：首先对令，则，从而把原不等式变为关于正数的不等式， 其次就是利用二项式展开式和作差法来构造两两组合，从而证明每一项成立即可. 【变式4】．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1) 点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； (2) 证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； (3) 证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型五 利用导数研究方程的根 【典例1】．（25-26高二下·上海·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线的斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导后由即可得解； （2）根据导数与极值点关系计算可求出，得到，利用导数得到函数单调性后即可得有3个不同的实根时，的取值范围. 【详解】（1），则，解得； （2），， 由在处有极值，故，解得； 则，此时，， 当或时，，当， 故在、上单调递增，在上单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于的方程有3个不同的实根， 则有，由， ， 故. 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究方程的根、函数新定义、函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 【变式2】．（22-23高二下·上海松江·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】（1）转化为根据切线方程，只能求解一个切点，即可说明； （2）首先根据切线过点，转化为方程有解，再构造函数，再利用导数判断函数的单调性，并通过讨论，结合零点存在性定理即可求解； （3）利用导数的几何意义转化为恰有两个不同的实数解，再构造函数，转化为函数有2个不同零点，再利用导数判断函数的零点个数求参数的取值集合. 【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点当且仅当，即，故原点是函数的一个度点； （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点当且仅当， 设，则当时，， 故在区间上严格增，，， ①若，恒不成立，即点是的一个度点； ②若，则当时，，存在唯一的，使得成立， 即点是的一个度点，综上，实数的最小值为； （3），对任意， 曲线在点处的切线方程为， 故点为函数的一个度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个度点当且仅当两个不同的零点， ①若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求； ②若，因为，解得有两个驻点，， 由或时得严格增； 而当时，得严格减， 故在时取得极大值，在时取得极小值， 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求， 故两个不同的零点当且仅当或 ③若，同理可得两个不同的零点当且仅当或， 综上，的全体度点构成的集合为或. 【点睛】思路点睛：本题有3问，所考察的知识点都是利用导数的几何意义求切线方程，根据切线过定点，转化为方程实数根问题，利用导数判断函数的零点个数. 【变式3】．（2023·上海宝山·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数 (2)； (3). 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断； （2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数. （2）在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 故和上，单调递增，上，单调递减， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 （3），单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 题型六 利用导数解决实际应用问题 【典例1】．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】(1) (2)当时容积取最大值，且最大值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、分式型函数模型的应用 【分析】（1）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围； （2）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 【变式1】．（22-23高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．    (1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数； (2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 【答案】(1) (2)当时，容积最大，最大值为 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据长方体的体积公式即可得解； （2）求导，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【详解】（1）由题意，长方体的高为，底面是正方形，正方形的边长为， 则，所以， 则； （2）由（1）得， 则， 当时，，当时， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，容积最大，最大值为. 【变式2】．（22-23高二下·上海·期末）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【答案】(1) (2)9 【知识点】分式型函数模型的应用、成本最小问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式； （2）把米代入到y的解析式中并求出令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可． 【详解】（1）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个， 则. （2）当米时，， ， 且时，，则单调递增， ，，则单调递减， ，需新建桥墩个． 【变式3】．（23-24高二上·上海·期末）（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.      【答案】（1）（2） 【知识点】锥体体积的有关计算、面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解. （2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解. 【详解】（1）如图所示：    由题意母线长为正方形边长，即， 圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长， 不妨设圆锥底面半径为，所以，解得， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为. （2）由题意不妨设，则，所以， 所以圆柱的体积可表示为， 求导得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当圆柱的体积最大时，此时矩形的面积为. 题型七 导数新定义 【典例1】．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数新定义、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）对于函数：结合其图象分析判断即可；对于函数：结合的单调性分析判断； （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）假设存在，设切线方程，根据导数求切线方程，列方程组，结合题意分析该方程组解的个数即可判断. 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 【点睛】方法点睛：根据过某点切线方程（斜率）或其与某线平行、垂直或重合等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解． 【变式1】．（2023·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． (1)求证：函数不是“增函数”； (2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围； (3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 【答案】(1)取，则， 因为，故函数不是“增函数”； (2) (3)记， 根据题意，得，可得方程的一个解， 令，则， 令，则， 故在上是严格增函数， 又因为，故在恒成立，故， 故在上是严格增函数，所以是唯一解， 又，此时在处的切线方程即为，故成立； 设，其中，， 由在上是严格增函数以及，得， 即 ，所以在上是严格增函数， 因为，则, 故，即得证. 【知识点】导数新定义、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）取反例即可证明； （2）若该函数是“增函数”，设出任意的，，则有恒成立，运算即可得； （3）借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1，可得该方程有根，且是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有一个根，即可得的值，而后设出，结合前面得出的在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可得证. 【详解】（1）略 （2）因为函数是“增函数”，故任意的，， 有恒成立， 即恒成立 ， 所以恒成立， 又，，故，则， 则，即； （3）略 【点睛】本题考查函数新定义，理解新定义是关键，难点在最后一问中的的计算与“增函数”的证明，需要多次求导以得到函数的单调性，结合导数的几何意义帮助计算的值，证明为“增函数”要结合对新定义的理解，设出函数以帮助证明. 【变式2】．（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)， 【知识点】导数新定义、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数的定义，即可证明； （2）分为在区间上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据函数的性质，列式求解； （3）首先根据函数是函数，构造函数，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求. 【详解】（1）是函数，理由如下， 对任意，， ，故 （2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减， 由，即，得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； （ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增， 由，同理可得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； 综上所述：所求取值范围为； （3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设， 此时， 由为函数，得恒成立，即 恒成立， 设，则为上的减函数，，得对恒成立， 易知上述不等号右边的函数为上的减函数， 所以，所以的取值范围为， 此时， 法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数， 法2：， 因为，当，，所以为上的增函数， 由题意得，，. 【点睛】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证. 【变式3】．（2024·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见解析 【知识点】导数的加减法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数新定义 【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可； （2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案； （3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可. 【详解】（1）由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为； （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键. 题型八导数中的极值偏移问题 【典例1】．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 【变式1】．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得； （2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围； （3）构造差函数，证明极值点偏移问题. 【详解】（1）定义域为，， 所以切线斜率为， 又，所以切线方程为，即. （2）， 定义域为，， ①当时，有恒成立，在上单调递增， 函数不可能有两个零点； ②当时，由，解得，由，解得， 故函数在上递增，在上递减． 因为， 故， 设，， 则，当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故， 即 ， 取，则. 因此，要使函数且两个零点，只需， 即，化简，得， 令，因为， 所以函数在上是单调递增函数， 又，故不等式的解为， 因此，使求实数a的取值范围是：. （3）因为，所以， 根据（2）的结果，不妨设，则只需证明， 因为在时单调递增，且，， 于是只需证明， 因为，所以即证， 记，， ， 所以在单调递增，则， 即证得，原命题得证. 【点睛】关键点睛：极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）已知，． (1)当时，求函数的极小值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若当时，函数，有最小值，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，进而得到极值即可. （2）将函数单调问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. （3）利用隐零点代换得到，将化为一元函数，再求解其值域，进而证明不等式即可. 【详解】（1）由题可知，定义域，， 令，可得，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为． （2）由题意得在上单调递增， 即在时恒成立，即在时恒成立． 令，，则， 可得当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又时，，所以， 得到，即实数的取值范围是． （3）由题可知，， 令，，则， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，得到，即， 即，故得证. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·上海·期中）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数． (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？ (3)若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3)偶函数，为周期函数(T为其周期)，理由见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、函数的周期性的定义与求解 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论； （3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性， 再整理即可得出结论． 【详解】（1）由题可知，，所以切线的斜率为，且， 所以函数在点的切线方程为，即； （2）由题可知，又因为定义域上对任意的实数x满足， 所以，即，当且时，， 当时，，当时，； （3）导函数为偶函数，且为周期函数(T为其周期)， 理由如下：因为为奇函数，所以， 两边求导得：， 即，故为偶函数； 因为为周期为的函数，所以， 两边求导得，故为周期函数，且为其周期. 2．（25-26高二下·上海·期中）定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个函数. (1)分别判断，是否为函数，并说明理由； (2)已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明. 【答案】(1)是函数，不是函数，理由见解析 (2)，证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，根据函数的定义得到答案； （2）构造函数，确定函数单调递增，根据得解. 【详解】（1）由题意可知，若是一个“严格增函数”， 等价于在定义域内单调递增，且， 对于，可知其定义域为，且， 可知是上的严格增函数， 又因为，可知是上的严格增函数，故是“函数”； 对于，可知其定义域为，且，其中， 因为不是上的严格增函数，故不是“函数”； （2），证明如下： 因为定义在上的函数是函数，则在上严格递增， 设，则， 故在上单调递增，故， 即，所以. 3．（25-26高二下·上海松江·期中）已知定义域均为D的函数，，S是的非空子集．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“S关联函数”． (1)求的所有关联函数； (2)若是其自身的一个关联函数，求实数m的取值范围； (3)若函数是其自身的关联函数，证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）设是的关联函数，根据题意得到以及，进而得到. （2）根据题意得到函数在上严格递增，结合导数以及分离参数法求解即可. （3）结合关联函数的概念，先证明必要性，再证明充分性. 【详解】（1）设是的关联函数， 对于，，当时，， 因为，所以， ， 所以的关联函数为. （2）因为是其自身的一个关联函数，定义域为， 所以对于，，当时，， 即在定义域内，当时，有， 所以函数在上严格递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以，. 设，，则， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即， 所以实数m的取值范围是. （3）先证明必要性：“是关联，且是关联”“是关联”． 由是关联，可得，，，， 又因为是关联， 所以，且，总有成立，即是增函数， 若，则，所以， 即，则， 所以是关联； 再证明充分性：“是关联”“是关联，且是关联”． 因为是关联，所以任取，都有成立， 即满足，都有， 下面用反证法证明：， 假设，则， 这与满足，都有相矛盾， 所以假设不成立，所以， 又由是关联，当时，有，即. 所以成立，即是关联， 再证明是关联， 任取，则存在，使得，， 因为，所以， 即，所以是关联. 综上所述：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 4．（25-26高二下·上海·期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； (3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 【答案】(1) (2) (3)且 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在R上有3个不同的解，构造函数令，利用导数判断单调性，求出极值得解. （3）根据题意将问题转化为在R上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【详解】（1）函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. （2）函数的导函数为， 由题意可得方程，即在R上有3个不同的解， 令，则，令，得或， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围为. （3）函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在R上恰有两根， 令，则， 当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且， 又当时，，当时，， 要使得在R上恰有两根，仅需，即. 综上，实数满足的条件为且. 5．（24-25高二下·上海·阶段检测）若函数在处取得极值，且，（常数），则称是函数的“相关点”． (1)若函数存在“相关点”，求的值； (2)若函数（常数）存在“1相关点”，求k的值； (3)设函数的表达式为（常数a、b、且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）根据定义求得函数极值点，根据列出方程求解即可； （2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解； （3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可． 【详解】（1）函数的对称轴为， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极值点， 因为函数存在“相关点”， 由题意可得，，解得． （2）由，则 ， 由题意可得，，即，即， 设，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以方程存在唯一实数根1，即，即， 此时，则， 令，即；令，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”， 所以． （3）由，得，即， 设，为函数的“2相关点”，则， 另一方面，，所以， 所以且，解得，，， 故，则， 因为过点存在3条直线与曲线相切， 设其中一个切点为，则， 整理得， 设，且函数有三个不同的零点， 则， 令，则；令，则或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即实数的取值范围为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26高二下·上海黄浦·阶段检测）如图是一张边长为3的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 【答案】当时，容积最大，最大值为 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题 【分析】由题意，求出容积关于的表达式，利用导数研究函数的单调性及最值即可. 【详解】由题意，得，求导可得， 令，得或， 令，解得；令，解得． 因此，当时，容积随着的增大而增大；当时，容积随着的增大而减小； 而当时，容积是极大值，也是最大值． 7．（24-25高二下·上海静安·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)写出利润y关于半径的函数关系式，并写出定义域； (2)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ 【答案】(1)， (2)当时，最大利润为分 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、利润最大问题 【分析】（1）根据题意，结合球的体积公式求解； （2）利用导数求最值. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为 由题可知， （2）则， 由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为分. 8．（23-24高二下·上海·期中）已知函数 (1)若，求函数的严格减区间 (2)若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围 (3)若，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数图象及性质、判断数列的增减性、反证法 【分析】（1）求出，令，解不等式即可得结果； （2）显然是方程的解，问题转化为方程有三个解，即与有3个不同的交点，利用导数得出的极值可得结果； （3）假设存在使得数列严格递减，根据条件推出矛盾可得结果. 【详解】（1）当时，函数的定义域为R， 又，令，即，解得， 所以函数的减区间为. （2）显然是方程的解， 问题转化为方程有三个解，令， 又，令，即， 解得或，所以在上为增函数， 令，即，解得，所以在上为减函数， 又，， 又当时，当时， 依题意与有3个不同的交点，即， 解得，故实数的取值范围为. （3）不存在使得数列严格递减. 证明：假设严格递减，又， 对任意正整数k，记，则， 从而， 则,且， 这表明， 从而对每个都有， 从而对每个都有，即，即， 记，， 所以，从而， 此时， 所以设，则有，，且单调递减. 由，知， 而， 所以，这就表明 而，所以，故恒成立. 但是当时，该表达式不成立， 所以假设不成立，故不存在所求的. 【点睛】方法点睛：利用导数解决方程根的个数问题或者函数零点个数问题往往转化为两个函数图像交点个数问题. 9．（25-26高二下·上海·期中）已知为常数，且， ，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数在处的切线过原点，求的值； (3)对于正实数，比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数的最小值； （2）求出函数的解析式，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出的值； （3）设函数，求得，求得函数的单调性和最小值为，得到，即可得证. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2），则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得. （3），理由见解析： 设函数， 可得，其中， 则， 令，可得，即，即，解得， 令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为，所以， 又由， 所以. 10．（25-26高二下·上海·期中）记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、导数新定义、利用函数单调性求最值或值域、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）利用函数在区间上的单调性计算即可得； （2）由三角函数性质可得，则在区间上必须能取到与，结合三角函数性质计算即可得； （3）利用导数求出该三次函数单调性及其极值点后，令，分、、及讨论即可得. 【详解】（1）由在上单调递减， 故，； （2）由，故， 由，故，， 故存在，使得，， 由，即在区间上必须能取到与， 令，， 即，， 则可为、，可为、， 故有且，即； （3）由，得 令，得 解得 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 且 设 当或时，方程只有一个实根，设为.此时与分别在两侧出现. 要使上的最小值为且上的最大值为，只能使，，故. 当或时，可看作下面三交点情形的端点情况，所得也包含在下面的范围内. 当时，方程有三个不同实根，记为 由函数的单调性可知 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 于是可能出现以下情况： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 综上，对于固定的，一定有 下面估计.由的三个根为，，， 根据根与系数的关系，得 令，则，且 由，代入上式得 于是 所以，从而， 最后说明端点和中间值都可以取到.当时，， 即， 所以三个根为，，. 此时对应，对应. 由前面的四种位置关系可得能取到、以及端点.当从连续变化到时， 从连续变化到，从连续变化到， 因此负值部分也能连续取遍.所以的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分和两种情况讨论即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入求出切点，即可得解； （3）由题意可得，求出，再利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的图象，结合图象讨论即可得解. 【详解】（1）函数为二次函数，是轴对称图形，且对称轴为， 当时，函数的图象关于对称，所以函数为偶函数， 当时，函数为非奇非偶函数； （2）当时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 化简得，解得， 切线方程为，即； （3），则， 因为函数在处有极值， 所以，解得， 则， 令，则或，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 所以，所以 ， 当时，，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    由图可知，当或时，方程有个实数根； 当或时，方程有个实数根； 当时，方程有个实数根. 12．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，设，判断是否是函数的极值点并说明理由； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】(1) (2)不是，理由见详解 (3)证明见详解 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义直接计算即可； （2）由极值点定义，结合三角函数的有界性判断导函数在附近的符号即可； （3）判断折线段的范围结合与的大小即可得证. 【详解】（1）由条件可得， ，∴曲线在处的切线方程为， 即； （2）不是函数的极值点，理由如下： ，， 当时，易知，即， 当时，易知，即， 时，， 故当时，有，所以不是函数的极值点； （3）由题意可得， 当时，， 即， 当时，， 即， 故折线段的端点都在函数上， 考虑交点个数是否无穷，在时显然为有限个， 当时，折线段构成的折线图在两函数之间，如图所示， 下面讨论与在时的交点个数， 令，则， 令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， ①当时，，即时，始终的上方， 此时始终的上方，故与折线段构成的折线图没有交点； ②当时，，此时与相切， 故与折线段构成的折线图至多有一个交点； ③当时，，且时，，时，， 即及使得， 故此时与有两个交点，不妨设， 则当时，，在的上方， 故与折线段构成的折线图有有限个交点； 综上，，都有与折线段构成的折线图有有限个交点.    13．（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知． (1)若是函数的驻点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，， 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）根据驻点的定义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合函数的单调性求得当时，，转化问题为存在，且，使得成立，设，，且，进而利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，， 则， 因为是函数的驻点， 所以，解得. （2）由，， 则， 令，得或， 当时，， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，，令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）当时，， 由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以当时，， 由题意，对于任意的，， 即为存在，且，使得成立， 设，，且，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以要使成立，则，. 14．（25-26高二下·上海青浦·期中）记.已知函数和的定义域都为，若存在、、、，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕” (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，，若和在上“次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“次缠绕”，求的取值范围. 【答案】(1)“次缠绕”，理由见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）结合题设新定义，找到和时，，则得到其为“次缠绕”； （2）转化为互异的两个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可求解； （3）转化为互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可求解. 【详解】（1）函数与“次缠绕”，理由如下： 因为对任意，有，当且仅当和时，等号成立， 所以由“次缠绕”定义可知和在上“次缠绕”. （2）设， 因为和在上“次缠绕”，所以存在互异的两个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的两个零点， 由， 当时，，则在上单调递增，不满足题意； 当时，令，得，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减，又时，， 要使有两个零点，则，解得， 此时存在，使得成立，当且仅当时等号成立， 综上所述，的取值范围为. （3）设， 因为和在上“次缠绕”，所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的三个零点， 注意到，因此是的一个零点，， ①当时，，则在上单调递增，是的唯一零点，不满足题意； ②当时，，则在上单调递减，是的唯一零点，不满足题意； ③当时，令，即，存在两根， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 所以，因为， 设，因为，所以在上单调递减， 所以，即，所以存在，使得， 又，所以存在，，使得成立， 即时，和在上“次缠绕”， 综上所述，的取值范围为. 15．（24-25高二下·上海·阶段检测）若函数存在极值，并且其导函数的极值点是的零点，则称函数具有性质. (1)判断函数和是否具有性质，并说明理由； (2)设函数，求证：函数不具有性质； (3)若函数具有性质，记函数和的所有极值之和为，求证：“”是“”的充分非必要条件. 【答案】(1)不具有，不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】（1）根据题意可对函数和的单调性及极值点判断，即可求解； （2）对函数求导可得，再令后分别讨论，，和时的情况，从而可证明求解. （3）由题可求出，可得极值点，且一定有两变号零点从而求出的极值点，从而可证其充分性，再利用举反例即可证明非必要性，从而可求解证明. 【详解】（1）恒成立，函数无极值点， 则不具有性质； 恒成立，函数无极值点， 则不具有性质. （2）， 设， 当时，恒成立，不具有极值点； 当时， ①分子的判别式为，则此时恒成立，函数不具有极值点； ②当时，则，此时，无极值点； ③当时，设在上严格增，不具有极值点； ④当时，由得，， 若函数具有性质， 则， 即， 设，则， 易知在上严格增， 而当时， 所以无解，故函数不具有性质； 综上所述，函数不具有性质. （3）充分性：由题可得， 令，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 又由，得， 则一定有两变号零点，设为， 则， 所以 又因为的极值点是， 所以，又，所以，所以充分性成立； 必要性：当时，，所以必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分非必要条件. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数综合解答压轴题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01利用导数证明不等式 题型02利用导数研究不等式恒成立问题 题型03利用导数研究能成立问题 题型04利用导数研究函数的零点 题型05利用导数研究方程的根 题型06利用导数解决实际应用问题 题型07导数新定义 题型08导数中的极值偏移问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数型不等式证明 掌握构造函数、放缩、极值点偏移、凹凸性；能转化为单峰函数最值问题。 压轴难点；多为 “f (x)>g (x)”；构造能力决定得分高低。 恒成立 / 存在性（不等式） 会分离参数、最值转化；能构造函数、分类讨论；理解 “任意 / 存在” 逻辑。 高频压轴；“∀x，f (x)≥g (x)” 为主；分离参数优先，复杂则分类。 函数零点 / 方程根的个数 会转化为 F (x)=0；用单调性 + 极值 + 端点极限判零点个数；数形结合辅助。 高频压轴；常考 “2 个零点 / 3 个零点”；极值符号、趋势分析是关键。 导数 + 新定义 / 跨模块综合 读懂新定义；能迁移导数工具到数列、不等式、解析几何；综合建模。 上海特色压轴；常结合数列、对数 / 指数、三角函数；信息量大、建模难。 极值与最值（闭区间） 理解极值（局部）与最值（整体）；会列表判极值、端点 + 极值比大小求最值。 高频解答题，中偏难；极值判断、最值比较易丢步骤分。 知识点01 . 函数单调性判定 在定义域内严格递增 在定义域内严格递减 ，对应点为驻点，驻点不一定是极值点 知识点02 . 实际优化应用 核心思路：根据实际问题建立目标函数，确定定义域，利用导数求函数最值，结合实际意义取舍结果，常用于面积、体积、利润、效率等最值问题。 知识点03 . 函数极值与极值点 必要条件：若可导函数 在 处取极值，则 第一充分条件（符号判定法） 导数左正右负： 为极大值点，对应极大值 导数左负右正： 为极小值点，对应极小值 导数左右符号不变： 非极值点 知识点04 . 期末综合压轴题型 含参讨论：参数影响函数单调性、极值、最值，是中档核心题型 恒成立与存在性问题：转化为函数最值问题求解参数范围 零点问题：利用单调性、极值分析方程根的个数、图像交点 导数不等式证明：构造新函数，借助单调性与极值放缩证明 题型一 利用导数证明不等式 【典例1】．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； 【变式1】．（23-24高二下·上海金山·期末）设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 【变式2】．（23-24高二下·上海·期中）若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系. (1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系； (2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围； (3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：. 【变式3】．（24-25高二下·上海浦东新·期末）牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中．    (1)当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 题型二 利用导数研究不等式恒成立问题 【典例1】．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 【典例2】．（24-25高二下·上海松江·期末）若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. (1)判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； (2)若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; (3)若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【典例3】．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为D．若存在非空集合和，使得对任意的，，都有，且成立，则称函数具有“AX”性质． (1)若，，．试判断是否具有“AX”性质； (2)若，，．求证：具有“AX”性质； (3)若，，A中元素的最小值为．求所有使具有“AX”性质的集合A的并集． 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【变式2】．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 【变式3】．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【变式4】．（24-25高二下·上海·期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 题型三 利用导数研究能成立问题 【典例1】．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式1】．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式2】．（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【变式3】．（23-24高二上·上海·期末）已知函数． (1)当时，求在处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)记函数的图像为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由． 题型四 利用导数研究函数的零点 【典例1】．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【典例2】．（25-26高二上·上海·期末）已知定义域为的函数，为其导函数，若对任意都有恒成立，则称函数为“导大”函数． (1)判断函数是否为“导大”函数，并说明理由； (2)若“导大”函数有零点，且有最大值，求函数的最大值； (3)若“导大”函数有且仅有2026个零点，求函数的极大值点的个数的最小值． 【变式1】．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【变式2】．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知，. (1)求的最大值； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【变式3】．（23-24高二下·上海·期末）已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，求曲线在点处的切线方程； (2)设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【变式4】．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 题型五 利用导数研究方程的根 【典例1】．（25-26高二下·上海·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线的斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【变式2】．（22-23高二下·上海松江·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 【变式3】．（2023·上海宝山·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 题型六 利用导数解决实际应用问题 【典例1】．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【变式1】．（22-23高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．    (1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数； (2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 【变式2】．（22-23高二下·上海·期末）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【变式3】．（23-24高二上·上海·期末）（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.      题型七 导数新定义 【典例1】．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【变式1】．（2023·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． (1)求证：函数不是“增函数”； (2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围； (3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 【变式2】．（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 【变式3】．（2024·上海奉贤·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 题型八导数中的极值偏移问题 【典例1】．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【变式1】．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）已知，． (1)当时，求函数的极小值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若当时，函数，有最小值，证明：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·上海·期中）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数． (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？ (3)若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 2．（25-26高二下·上海·期中）定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个函数. (1)分别判断，是否为函数，并说明理由； (2)已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明. 3．（25-26高二下·上海松江·期中）已知定义域均为D的函数，，S是的非空子集．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“S关联函数”． (1)求的所有关联函数； (2)若是其自身的一个关联函数，求实数m的取值范围； (3)若函数是其自身的关联函数，证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 4．（25-26高二下·上海·期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； (3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 5．（24-25高二下·上海·阶段检测）若函数在处取得极值，且，（常数），则称是函数的“相关点”． (1)若函数存在“相关点”，求的值； (2)若函数（常数）存在“1相关点”，求k的值； (3)设函数的表达式为（常数a、b、且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数a的取值范围． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26高二下·上海黄浦·阶段检测）如图是一张边长为3的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 7．（24-25高二下·上海静安·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)写出利润y关于半径的函数关系式，并写出定义域； (2)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ 8．（23-24高二下·上海·期中）已知函数 (1)若，求函数的严格减区间 (2)若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围 (3)若，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由 9．（25-26高二下·上海·期中）已知为常数，且， ，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数在处的切线过原点，求的值； (3)对于正实数，比较与的大小. 10．（25-26高二下·上海·期中）记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 12．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，设，判断是否是函数的极值点并说明理由； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 13．（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知． (1)若是函数的驻点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 14．（25-26高二下·上海青浦·期中）记.已知函数和的定义域都为，若存在、、、，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕” (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，，若和在上“次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“次缠绕”，求的取值范围. 15．（24-25高二下·上海·期中）若函数存在极值，并且其导函数的极值点是的零点，则称函数具有性质. (1)判断函数和是否具有性质，并说明理由； (2)设函数，求证：函数不具有性质； (3)若函数具有性质，记函数和的所有极值之和为，求证：“”是“”的充分非必要条件. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $