第14讲 概率综合应用（6题型）-2025-2026学年高一下学期数学期末重点题型归纳及过关检测（苏教版）

第14讲 概率综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、古典概型 3 知识点2、概率的基本性质 3 知识点3、相互独立事件的概念 3 知识点4、相互独立事件的性质 4 03 重难点题型 5 题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算 5 题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断 5 题型三：事件相互独立性的判定与辨析 6 题型四：古典概型的特征识别与概率计算 6 题型五：相互独立事件的概率计算 7 题型六：概率知识的综合应用 8 04 过关检测 11 知识点1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 知识点3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 知识点4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算 例1．（2026·高一·天津·期末）一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 例2．（2026·高一·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2026·高二·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 变式1．（2026·高二·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断 例4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 例5．（2026·高一·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 例6．（2026·高一·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 变式2．（2026·高一·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 题型三：事件相互独立性的判定与辨析 例7．（2026·高一·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 例8．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 例9．（2026·高三·辽宁锦州·期末）已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 变式3．（2026·高二·湖北武汉·期中）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 题型四：古典概型的特征识别与概率计算 例10．（2026·高一·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 例12．（2026·高一·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 变式4．（2026·高一·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高一·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 题型五：相互独立事件的概率计算 例13．（2026·高二·上海·期中）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 例14．（2026·高一·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______． 例15．（2026·高二·上海·阶段检测）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是___________． 变式6．（2026·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 题型六：概率知识的综合应用 例16．（2026·高一·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 例17．（2026·高二·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 例18．（2026·高一·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 变式7．（2026·高二·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 变式8．（2026·高一·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 1．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 2．（2026·高一·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．一只盒子中有红球个，白球10个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（2026·高一·北京丰台·期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（   ） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 6．（2026·高一·福建福州·阶段检测）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 7．（2026·高一·河北邢台·期末）不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 8．（2026·高二·四川成都·期中）已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 9．（2026·高一·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 10．（2026·高二·广东茂名·期中）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（    ） A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等 11．（2026·高一·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 14．（2026·高二·陕西商洛·期中）高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________. 15．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为______. 16．（2026·高一·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 17．（2026·高一·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 概率综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、古典概型 3 知识点2、概率的基本性质 3 知识点3、相互独立事件的概念 3 知识点4、相互独立事件的性质 4 03 重难点题型 5 题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算 5 题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断 6 题型三：事件相互独立性的判定与辨析 7 题型四：古典概型的特征识别与概率计算 9 题型五：相互独立事件的概率计算 11 题型六：概率知识的综合应用 13 04 过关检测 18 知识点1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 知识点3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 知识点4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算 例1．（2026·高一·天津·期末）一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 【答案】C 【解析】每枚骰子都有6种可能，所以全部的基本事件数为种． 例2．（2026·高一·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 例3．（2026·高二·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 【答案】C 【解析】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 变式1．（2026·高二·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断 例4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【解析】由题意知，所以A、B不是互斥事件， ，所以与独立，所以与独立． 故选：B． 例5．（2026·高一·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【解析】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 例6．（2026·高一·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 【答案】B 【解析】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 变式2．（2026·高一·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【解析】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 题型三：事件相互独立性的判定与辨析 例7．（2026·高一·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【解析】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确； 对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误； 对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以D错误． 例8．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【答案】A 【解析】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， ，， ， ， 所以事件与是相互独立事件. 故选：A. 例9．（2026·高三·辽宁锦州·期末）已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】由事件 A 与事件 B 相互独立，可得 由，可得，则事件与事件相互独立， 故命题“事件与事件相互独立”是“”的充要条件. 故选：D. 变式3．（2026·高二·湖北武汉·期中）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 【答案】C 【解析】 由树状图可知， ，故C正确，D错误. 对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误； 对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误； 故选：C. 题型四：古典概型的特征识别与概率计算 例10．（2026·高一·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 例11．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， 所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故． 例12．（2026·高一·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【解析】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 变式4．（2026·高一·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生， 记这3人为，其余2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都是男生有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为. 故选：A. 变式5．（2026·高一·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： ，共种情况， 其中符合所取两个数之和为5，共种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是. 故选：B 题型五：相互独立事件的概率计算 例13．（2026·高二·上海·期中）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 【答案】/ 【解析】对三个元件进行标号，如下图所示： 设事件表示“元件a接通”，事件表示“元件b接通”，事件表示“元件c接通”，且. 电路接通需要a接通，且b或c接通，即，其中，所以. 故电路接通的概率为. 例14．（2026·高一·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______． 【答案】 【解析】根据题意，则甲､乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为， 则至少有一人投中的概率； 故答案为：. 例15．（2026·高二·上海·阶段检测）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是___________． 【答案】/ 【解析】记事件为“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以． 故答案为：． 变式6．（2026·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 【答案】 【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 题型六：概率知识的综合应用 例16．（2026·高一·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【解析】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 例17．（2026·高二·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【解析】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 例18．（2026·高一·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【解析】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. （2）设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. （3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 变式7．（2026·高二·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【解析】（1）记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则． （2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 ． 所以； 所以， 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 变式8．（2026·高一·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【解析】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 1．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【解析】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 2．（2026·高一·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 3．一只盒子中有红球个，白球10个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意从中任取一个球，取得是白球的概率为， 不是白球的概率为，又概率相等，所以. 故选：A 4．（2026·高一·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 5．（2026·高一·北京丰台·期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（   ） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 【答案】D 【解析】某人连续投篮两次，共会发生： 第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中， 第一次中第二次中， 第一次不中第二次不中，共4种情况， 事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中， 所以与之互斥的就是“两次都投中”， 故选：D 6．（2026·高一·福建福州·阶段检测）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【答案】A 【解析】根据题意， 选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：A. 7．（2026·高一·河北邢台·期末）不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【解析】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间， 事件，事件， 对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：D 8．（2026·高二·四川成都·期中）已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 【答案】C 【解析】由题设，，， 所以事件与事件相互独立； 由概率的性质，有. 故选：C 9．（2026·高一·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 10．（2026·高二·广东茂名·期中）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（    ） A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等 【答案】A 【解析】事件“第一枚出现偶数点”，， 事件“第二枚出现点数超过3”，， 事件“第一枚出现偶数点，第二枚出现点数超过3”， ， 事件和事件是相互独立事件，故A正确； 可以同时发生，故不互斥，不相等，故B，D错误； “第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”， 不是对立事件，故C错误． 故选：A． 11．（2026·高一·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，包含的基本事件为: ，，，，，，，，，共种， 则两个数都是奇数包含的基本事件为， 所以两个数都是奇数的概率为. 故选：B. 12．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， 所求概率. 故选：A. 13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 【答案】0.38/ 【解析】解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为， 所以 . 故答案为：0.38. 14．（2026·高二·陕西商洛·期中）高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________. 【答案】 【解析】因（6）班每场获胜的概率为，则（7）班每场获胜的概率为，每场输掉比赛的概率为， 依题意比赛采用3场2胜制，（7）班赢得比赛的情况有“胜胜”，“胜败胜”，“败胜胜”共3种， 则其赢得比赛的概率为. 故答案为：. 15．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为______. 【答案】/ 【解析】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为、、，由题意知、、互相独立，设，， 由①知，根据③可知， 由②至少有1人回答正确的概率为，可知3名学生都不正确的概率为， 所以， 联立方程组，解得， 所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为. 故答案为： 16．（2026·高一·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 【解析】（1）因为组距为，所以， 解得. 平均数为. （2）没人满分的概率为， 所以至少一人满分的概率为. 17．（2026·高一·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【解析】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得， 解得，， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率是； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $