精品解析：山西省大同市第一中学校2026年九年级中考第二次模拟数学试卷

数学试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴这些气温中最低的是． 2. 2025年前11个月，消费品“以旧换新”政策带动销售额超万亿元，惠及超亿人次．数据万亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确万、亿的计数单位换算关系，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）进行转换． 【详解】解：万亿， 万亿． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号．如图是一款未雕刻的四棱台形印章的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：这个印章的俯视图是： ． 5. 古代一歌谣《群鸦栖树》中记载了一道经典数学题：一群乌鸦栖于树上，若每3只栖一树，则余5只无树可栖；若每5只栖一树，则空出一树．设有乌鸦x只、树y棵，根据题意可得方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，分别列方程即可得到方程组. 【详解】若设乌鸦只，树棵， 每3只栖一树，则余5只无树可栖， ， 每5只栖一树，则空出一树， ， ． 6. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，求出，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 7. 某校组织了“古韵今传·最美大同”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是9分，8分，10分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 【详解】解：嘉嘉的最终得分为（分）． 8. 如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质；连接，由，可得，由为直径，可得，依据即可求出结果． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质与判定，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方,进而代入数据，即可求解． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ 故选：D． 10. 如图，在中，，，．将绕AC的中点O按逆时针方向旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，由旋转的性质可得，点A 的运动路径为，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质可得：， 点A的运动路径为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弧长公式（求某点的弧形运动路径长度），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式：计算即可． 【详解】解：原式 ． 12. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°． 【答案】54 【解析】 【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角∠D，∠DCB的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的内角和求解∠DEC，从而利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，标注字母， 由题意得：ABEC，∠D=∠DCB==108°，∠ABC=90°， ∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°， ∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°， ∵ABEC， ∴∠α=∠DEC=54°． 故答案为：54． 【点睛】此题考查了平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，解题的关键是掌握利用平行线结合内角和定理进行计算． 13. 每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，得到小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，找出符合题意的情况，利用概率公式求解即可． 【详解】解：令志愿服务点图书馆、博物馆、养老院分别为A、B、C， 小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，画树状图如下： 则小明和小亮选择志愿服务点有9种情况，其中两人恰好选择同一志愿服务点有3种情况， 因此，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是． 14. 太原某商场开业时入驻的商店为吸引顾客，推出了各种优惠活动．某商店购进一批饰品，进价为200元，该商店决定在开业期间将商品按七五折售出．为保证这批饰品获利不低于，那么该商店至少应将其标价定为______元． 【答案】320 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出不等式求解即可． 设定价为x元，根据利润率利润进价，列出不等式求解即可． 【详解】解：设定价为x元， ， 解得：， ∴该商店至少应将其标价定为320元． 故答案为：320． 15. 如图，在中，，，为上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质结合勾股定理求出长，过点作于点H，交于点M，利用“等面积法”求出长，根据勾股定理求出长，证明，则，进而求出长，再证明，则，从而求出长． 【详解】解：、， 、、， ， ， 在中，由勾股定理得：， 过点作于点H，交于点M， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当时，原式． 17. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，，进而可得，结合可证明四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 18. 某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 90 90 90 6.33 乙组 90 b 87 12 丙组 a 90 90 c （1）填空：______，______，______； （2）根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由． （3）如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90；89.5；1.67（或） （2）选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可） （3）一致 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）对比平均数和方差，再作决策即可； （3）对比平均数和方差，再作决策即可． 【小问1详解】 解：； 将乙组成绩由小到大排列为：，则； ； 【小问2详解】 解：选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可）． 【小问3详解】 解：结果一致， ∵三位候选组员的成绩都是90分， ∴平均分不变仍为90分， 增加一名候选组员后，，，， ∵， ∴， ∴增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果一致． 19. 2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金． 【答案】每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元 【解析】 【分析】根据题意构造分式方程即可求解． 【详解】解：设每个型机器人的日租金是元，则每个型机器人的日租金是元． 根据题意，得．解得． 经检验，是原方程的根． （元）． 答：每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元． 20. 在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【解析】 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 21. 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 关联点 【概念理解】 如图，是线段上的一点（不与点重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：，， ∵点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上， （依据1），， ，， ，（依据2） ， ∴点是点关于的“关联点”． 任务： （1）材料中的依据1是指________，依据2是指________． （2）如图3，在中，，，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长． （3）已知点是点关于的“关联点”，请在下图中作出点关于的另一个“关联点”点（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可） 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形的对应边成比例 （2） （3）如图，点为所求（或点为所求） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和相似三角形的性质即可解答． （2）根据“关联点”的定义证明，继而得到，根据勾股定理和三角形等面积法即可得到答案． （3）根据与的面积相等，得到，根据“关联点”的定义得到，所以以点为圆心，的长为半径画圆，作，使得，即，与圆的交点即为所求． 【小问1详解】 解：∵点在边的垂直平分线上， ∴根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得， ∵， ∴根据相似三角形的对应边成比例，可得， 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形的对应边成比例； 【小问2详解】 解：， ， 点是点关于的“关联点”， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴， 即点在经过点，且与平行的直线上； ∵点是点关于的“关联点”，点是点关于的“关联点”， ∴， ∴， 即点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴以点为圆心，的长为半径画圆，作，与圆交于点，点为所求（或点为所求）． 22. 综合与实践 【问题情境】春日伊始，一批粉色共享单车陆续投放至某市核心商圈及地铁站出口，其凭借出众的颜值与贴心设计，迅速俘获市民青睐，成为街头一道流动的“风景线”．下面是该单车品牌商家在两个试运营点进行运营测试（点位于地铁站出口，点位于商圈核心广场），针对早高峰（）的运营收益进行了连续天的统计分析（本次统计仅针对分钟内的短途骑行订单），相关数据如下． 【数学建模】 运营点 第天（为正整数）的分钟内骑行单价、骑行次数与的关系如下表： 分钟内骑行单价（元/次） 骑行次数/次 第天 第天 第天 第天 … … … 第天 … 第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系，已知该运营点每天固定运营成本为元． 运营点 第天的利润（单位：元）与的关系可以近似的用二次函数模型刻画，其图象如下图所示： 【问题解决】 （1）运营点第天的分钟内骑行单价是________元/次（用含的代数式表示）． （2）求运营点第天的利润（单位：元）与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围；利润骑行单价骑行次数固定运营成本） （3）①求与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． ②当的值为多少时，运营点，的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）①；②当时，运营点，的利润之和最大，为元 【解析】 【分析】（1）根据表格数据变化情况可知第天的分钟内骑行单价与的函数关系为一次函数，设函数关系式为，代入已知数值可得，即可得到答案； （2）根据题意列出A运营点第天的利润与的函数关系式，整理后即可得出答案； （3）①根据函数图象中已知点代入函数关系式，利用待定系数法即可得出答案； ②根据得到的函数关系式得出的函数关系式，根据二次函数的图象和性质，以及取正整数，得出的最大值． 【小问1详解】 解：∵第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系， 根据表格内数据可知，每增加一天，每天分钟内骑行单价就下降元/次， ∴第天的分钟内骑行单价与的函数关系为一次函数， 设第天的分钟内骑行单价为元/次，关于的一次函数的表达式为， ∵当时，，当时，，代入一次函数表达式得： ，解得：， ∴一次函数表达式为， ∴A运营点第天分钟内骑行单价为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得，， 运营点第天的利润与的函数关系式； 【小问3详解】 解：①由图象可知，二次函数的图象经过点，，将其分别代入中， 得，解得， ； ②运营点，的利润之和为：， 对称轴为直线， ，取正整数， 或， 当时，， 当时，， ， 当时，运营点的利润之和最大，为元． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，，，点，分别是和的中点，连接．沿将剪开，得到纸片．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，．直线与边交于点（点不与点重合）． （1）猜想证明：如图1，判断与的数量关系，并说明理由． （2）问题解决：如图2，当直线经过点时，求的长． （3）拓展探究：在绕点旋转的过程中，直线与所在直线交于点（点不与点重合）．连接，当，，三点共线时，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：．理由如下： 如图，连接． 点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ． 由旋转的性质，得，． 在和中，， ， ． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据中点得出是的中位线，根据平行线的性质得出，证明，即可得出结论； （2）连接，证明，得出相等的角以及垂直平分线段，证明，利用对应边成比例即可求解； （3）分两种情况进行讨论，确定点在同一条直线上，然后利用勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由旋转的性质，得，． 又∵点是的中点， ∴， ∴在和中，， ， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 点，分别是，的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图所示， ∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质，得，，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵点是线段的中点， ∴， 由（1）可设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为； ②如图所示， 同①可得，，，， ∴点在同一条直线上， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 综上，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年前11个月，消费品“以旧换新”政策带动销售额超万亿元，惠及超亿人次．数据万亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号．如图是一款未雕刻的四棱台形印章的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 古代一歌谣《群鸦栖树》中记载了一道经典数学题：一群乌鸦栖于树上，若每3只栖一树，则余5只无树可栖；若每5只栖一树，则空出一树．设有乌鸦x只、树y棵，根据题意可得方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某校组织了“古韵今传·最美大同”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是9分，8分，10分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 8. 如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. D. 9. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 10. 如图，在中，，，．将绕AC的中点O按逆时针方向旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是________． 12. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°． 13. 每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 14. 太原某商场开业时入驻的商店为吸引顾客，推出了各种优惠活动．某商店购进一批饰品，进价为200元，该商店决定在开业期间将商品按七五折售出．为保证这批饰品获利不低于，那么该商店至少应将其标价定为______元． 15. 如图，在中，，，为上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 18. 某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 90 90 90 6.33 乙组 90 b 87 12 丙组 a 90 90 c （1）填空：______，______，______； （2）根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由． （3）如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论． 19. 2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金． 20. 在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 21. 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 关联点 【概念理解】 如图，是线段上的一点（不与点重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：，， ∵点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上， （依据1），， ，， ，（依据2） ， ∴点是点关于的“关联点”． 任务： （1）材料中的依据1是指________，依据2是指________． （2）如图3，在中，，，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长． （3）已知点是点关于的“关联点”，请在下图中作出点关于的另一个“关联点”点（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可） 22. 综合与实践 【问题情境】春日伊始，一批粉色共享单车陆续投放至某市核心商圈及地铁站出口，其凭借出众的颜值与贴心设计，迅速俘获市民青睐，成为街头一道流动的“风景线”．下面是该单车品牌商家在两个试运营点进行运营测试（点位于地铁站出口，点位于商圈核心广场），针对早高峰（）的运营收益进行了连续天的统计分析（本次统计仅针对分钟内的短途骑行订单），相关数据如下． 【数学建模】 运营点 第天（为正整数）的分钟内骑行单价、骑行次数与的关系如下表： 分钟内骑行单价（元/次） 骑行次数/次 第天 第天 第天 第天 … … … 第天 … 第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系，已知该运营点每天固定运营成本为元． 运营点 第天的利润（单位：元）与的关系可以近似的用二次函数模型刻画，其图象如下图所示： 【问题解决】 （1）运营点第天的分钟内骑行单价是________元/次（用含的代数式表示）． （2）求运营点第天的利润（单位：元）与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围；利润骑行单价骑行次数固定运营成本） （3）①求与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． ②当的值为多少时，运营点，的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，，，点，分别是和的中点，连接．沿将剪开，得到纸片．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，．直线与边交于点（点不与点重合）． （1）猜想证明：如图1，判断与的数量关系，并说明理由． （2）问题解决：如图2，当直线经过点时，求的长． （3）拓展探究：在绕点旋转的过程中，直线与所在直线交于点（点不与点重合）．连接，当，，三点共线时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $