暑假作业14 导数的应用（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 导数的应用 1．利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． 2．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 3．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是(    ) A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 2．如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 3．设，若函数有小于零的极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知长方体在球的内部，球心在平面上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．18 二、多选题 7．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间有（   ） A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D． 8．已知函数，则（    ） A．有3个零点 B．在原点处的切线方程为 C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为4 三、填空题 9．函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求在区间上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间上的 ; ②将函数的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 10．已知函数在处有极大值，则 四、解答题 11．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）比较与的大小，并加以证明． 一、单选题 1．函数的最大值为 A． B．1 C． D． 2．已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 3．已知函数，则（    ） A．点是图像的对称中心 B．是的极小值点 C．当时， D．当时， 三、填空题 4．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为 . 5．已知函数． (1)若函数在是增函数，求实数的取值范围； (2)当时，令，求在上的最大值． 6.(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2－4x，试问是否存在实数a，使得f(x)在[1，a]上单调递增？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)已知函数f(x)＝(a>0)，判断函数f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 导数的应用 1．利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． 2．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 3．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是(    ) A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据导数正负判断函数的单调性，根据单调性即可求出其最值． 【详解】函数y求导得：， ∴在上，，函数y单调递增； 在上，，函数y单调递减； 在上，，函数y单调递增． 又时， 时， 时， 时， ∴函数y在[－3，3]上的最大值为32，最小值为0． 故选：B． 2．如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 【答案】C 【分析】根据导数的正负依次判断单调性即可. 【详解】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0， 在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间上小于0， 在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误. 故选：C. 3．设，若函数有小于零的极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有小于零的极值点即导数等于零有负数解. 【详解】因为有小于零的极值点，且， 由，得，故.由，解得.综上，， 故选：B ． 4．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）． 【详解】，令，得， 时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点， 由题意得，所以. 故选：D. 5．若，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切二倍角公式得到，换元后得到，求导得到单调性和极值，最值情况. 【详解】， 因为，而在上单调递增， 故，令，则． 所以．令得或（舍去）． 极大值 所以的极大值也为最大值为，即的最大值为． 故选：A． 6．已知长方体在球的内部，球心在平面上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】A 【分析】设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的体积为，利用导数求最大值. 【详解】设长方体的高为h， 设a，则， 所以， 若要长方体体积最大，则平面内接与长方体， 所以得， 即得， 所以长方体的体积为， 设，其中， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，亦即最大值， 则. 因此该长方体的体积的最大值为. 故选：A 二、多选题 7．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间有（   ） A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D． 【答案】AC 【分析】利用导数求得的单调递增区间. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间递增. 故选：AC 8．已知函数，则（    ） A．有3个零点 B．在原点处的切线方程为 C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A：令直接解方程即可；对于B：求导，利用导数的几何意义求切线方程；对于C：确定奇偶性即可；对于D：求导，确定单调性，根据单调性求最值. 【详解】对于A，，则，正确； 对于B，的图象在原点处的切线方程为，错误； 对于C，由得为定义在上的奇函数，可知的图象关于点对称，正确； 对于D，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值为0，错误． 故选：AC． 三、填空题 9．函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求在区间上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间上的 ; ②将函数的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【答案】 极值 【分析】略 【详解】略 10．已知函数在处有极大值，则 【答案】3 【分析】根据导数与函数极值点的关系，即可求解. 【详解】，， 因为函数在处取得极大值，所以， ，得或，且 当时，，在区间和单调递增， 当时，，在区间单调递减， 所以当时函数取得极大值，即，即. 故答案为：3 四、解答题 11．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）比较与的大小，并加以证明． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2），证明见解析． 【分析】（1）求导函数，由得增区间，由得减区间； （2）由（1）知，计算可得． 【详解】解：（1）的定义域为，． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）． 证明如下： 由（1）知，，当且仅当时，等号成立， 所以， 即，即， 则，而， 所以． 一、单选题 1．函数的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】：∵f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]， ∴f′（x）=2x•ex+1+x2•ex+1=xex+1（2+x）， 当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0． 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0． ∴当x=0时，原函数有极小值为f（0）=0； 而当x=-2时，f（x）= 当x=1时，f（x）=e2． ∴函数f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]的最大值为e2． 故选C 2．已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的单调性，得到导函数的正负，再解不等式即可求解. 【详解】由函数的图象可得，当，时，， 当时，. 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为， 故选：A. 二、多选题 3．已知函数，则（    ） A．点是图像的对称中心 B．是的极小值点 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用导数判断出单调性，作出的大致图象，利用任意三次函数的图象均为中心对称图形，且对称中心为点可判断A；由单调性可判断BCD. 【详解】由题可得，令，得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，，， 且当时，，当时，， 所以可作出的大致图象如图所示： 选项A：设，则，令，得， 又，所以点是图象的对称中心，故A正确； 选项B：易知是的极小值点，故B正确； 选项C：当时，，又在上单调递减， 在上单调递增，所以当时，，， 所以，故C错误. 选项D：当时，，又在上单调递增， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 4．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导可得解析式，令，利用导数，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. 【详解】由题知，且， 令，则， ①若，当时，， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增； 所以. 因此不可能是的极大值点. ②若，令， 当时，， 所以即在上单调递增. 又因为，， 因此存在满足：，所以当时，， 所以在上单调递减，， 所以当时，； 当时，； 所以在上单调递增；在上单调递减； 综上，当是的极大值点时，. 故答案为： 5．已知函数． (1)若函数在是增函数，求实数的取值范围； (2)当时，令，求在上的最大值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式，并求解即得. （2）求出函数及导数，再按正数的取值情况分类讨论求出最大值. 【详解】（1）函数，求导得， 由在是增函数，得，， 而函数在上单调递减，则当时，，于是， 所以实数的取值范围. （2）当时，，求导得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 而，因此当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，的最大值为；当时，的最大值为； 当时，的最大值为. 6.(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2－4x，试问是否存在实数a，使得f(x)在[1，a]上单调递增？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)已知函数f(x)＝(a>0)，判断函数f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由． 解：(1)假设存在实数a，使得f(x)在[1，a]上单调递增， 则f′(x)＝x2＋2ax－4≥0对x∈[1，a]恒成立，即a≥－对x∈[1，a]恒成立． 当x∈[1，a]时，y＝－为减函数， 则＝－＝， 所以a≥， 又a>1， 所以实数a的取值范围为. (2)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下： 因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 令g(x)＝－ln x＋＋1， 则g′(x)＝－－＝－<0， 故g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为g(1)＝a＋1>0，g(ea＋1)＝－ln ea＋1＋＋1＝a<0， 所以存在m∈(1，ea＋1)，使得g(m)＝0， 当x∈(0，m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，m)上单调递增， 当x∈(m，＋∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减， 故函数f(x)在定义域内不是单调函数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$