暑假作业05 等差等比数列与通项公式（8种题型，巩固培优）高二数学沪教版

**基本信息** 围绕等差等比数列与通项公式，构建“定义-公式-性质-方法-题型”五级体系，8类通项求法系统提炼，32道典例覆盖核心考法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比基础|2知识点+8题型（16题）|定义-公式-性质逻辑链，基本量运算与性质应用技巧|从概念生成到性质推导，夯实数列基础| |通项公式求法|1知识点+8题型（16题）|公式法、Sn转化等8类方法，明确适用条件与构造策略|方法阶梯递进，题型与解法精准对应，提升模型构建能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 等差等比数列与通项公式 【知识点1 等差数列的定义、核心公式及其性质】 1. 定义 （为常数，） 2. 核心公式 1. 通项：，推广式 1. 前项和： · 形式：（无常数项二次函数） 3. 核心性质 1. 下标和相等： 1. 等差中项： 1. 分段和： 仍成等差数列 1. 奇偶和 · 偶数： · 奇数：， 1. 单调性：递增；递减；常数列 【知识点2 等比数列的定义、核心公式及其性质】 1. 定义 （为非零常数，所有） 2. 核心公式 1. 通项：，推广 1. 前项和分段 3. 核心性质 1. 下标和相等： 1. 等比中项：（同号才有实数中项） 1. 分段和： 成等比（） 1. 单调性 ：递增，递减； ：递减，递增； 摆动数列；常数列 【知识点3 数列通项公式的求法】 方法 1 公式法 判定等差/等比，直接套对应通项公式。 方法 2 与 转化（必考） 算出式子后验证，能合并写统一式，不能则分段。 方法 3 累加法 适用： 方法 4 累乘法 适用： 方法 5 一阶线性构造 设，解得，为等比数列。 方法 6 指数型构造 两边同除：，构造新等差/等比。 方法 7 倒数构造（分式递推） ，取倒数变形为一阶线性递推求解。 方法 8 二阶齐次递推 解特征方程 ，根据根的三种形式写出对应通项。 【题型1 等差数列基本量的计算】 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 【答案】A 【详解】由题意可知，解得， 故. 2．已知数列满足对任意的，，都有．若，则（ ） A．18 B．22 C．24 D．29 【答案】D 【分析】第一种方法，根据定义判断出数列是等差数列，求首项，求和，计算；第二种方法，利用等差数列性质，等差数列中，若 ，则. 【详解】由条件 ，令 ， ，得： ， 即 ，则是首项为，公差 的等差数列， 已知，代入通项公式：， 解得， ， ， ； 第二种方法： ，故. ，则. 3．设为等差数列的前项和，若，，则__________． 【答案】24 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 4．等差数列的前n项和为，，且，则______． 【答案】7 【分析】利用等差数列前项和，求解公差为，从而解出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列前项和，且， ， 所以，所以，所以， 所以. 【题型2 等差数列的性质】 1．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【答案】A 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．39 D．78 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质“若，则”求出即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以， 而，所以，解得. 所以. 3．在等差数列中，已知，，，则的前项和为________． 【答案】26 【分析】根据等差数列性质求出，以及确定m，进而根据求和公式求出前4项和即可 【详解】设的公差为，则，解得， 又，所以， 所以，解得， 所以的前项和为. 4．设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 【题型3 等比数列基本量的计算】 1．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 【答案】A 【分析】根据条件求和，再根据等比数列的公式，判断选项. 【详解】由条件可知，，且， 所以， 所以，得，整理为， 解得：或（舍）， 当时，，故A正确；，故B错误； ，故C错误； 当时，数列为单调递减数列，故D错误. 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式列方程求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，7层塔共有盏灯，列方程 ， 由等比数列求和公式得：，解得. 3．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 4．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 【题型4 等比数列的性质】 1．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 2．已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用等比中项的性质计算即得. 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又因为，的等比中项，所以， 因，故. 3．已知等比数列的各项都是正数，，则______． 【答案】2 【分析】根据等比数列的下标和性质以及对数的计算公式即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知. 4．已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】42 【详解】等比数列的前n项和为,成等比数列， ， ，，， . 【题型5 求数列通项公式： 与 转化】 1．已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系变形，再利用构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 2．已知数列的前n项和为，，在①点在直线上；②对，恒成立中任选一个作为已知条件，并解答． (1)证明：数列是等比数列，并求其公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，公比为3 (2) 【详解】（1）选择条件①： 因为点在直线上， 所以， 当时，， 当时，， 所以，即， 所以， 又满足上式， 故数列是等比数列，其公比为3． 选择条件②： 由对，恒成立， 令，则，（由可联想到取特殊值法进行求解） 即， 故数列是等比数列，其公比为3． （2）由（1）可得，所以． 令，所以． 则 . 3．已知数列前项和满足，且. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入已知条件可得到是等比数列，即可求得通项； （2）利用等比数列求和公式即可求和. 【详解】（1）由，代入可得：， 所以是以为首项，3为公比的等比数列，即； （2）因为，所以. 4．设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时，也适合， 所以 （2）由（1）知，， 所以， 所以 【题型6 求数列通项公式：累加法】 1．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 2．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据已知的递推关系，用累加法求通项； （2）将第一问求出的通项代入表达式，化简后使用裂项相消求和. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． （2）因为， 所以． 3．已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； （2）， 当时，， 当时，， 综上所述：. 4．已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对已知递推式进行变形，得出，进而进行分式相加求出的通项公式； （2）先求出的通项公式，进而求出，结合的单调性证明结论． 【详解】（1），即， ， 当时，， ， 则这个等式相加得， ， ， 当时，满足该式， ． （2）证明：， ， 为递增数列， ， 综上可得，． 【题型7 求数列通项公式：累乘法】 1．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 2．已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中． (1)分别求数列和的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由可得，进而是以3为首项，3为公比的等比数列，可求出，再根据与的关系求解，数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可； （2）由题意，由等差数列的性质得，即可求出的通项公式，最后利用错位相减法求即可. 【详解】（1）由，得，而， 则数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，则， 当时，， 显然满足上式，则. 由，得：，， 以上个式子相乘，可得，即 ， 又满足上式，所以. （2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则，即为， 整理得，所以， ， 则， 两式相减得：， 所以. 3．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出，代入求出； （2）利用累乘法求通项公式. 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 4．记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 【题型8 求数列通项公式：构造法】 1．已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得，化简得，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得，利用等比数列的求和公式，求得，根据 ，得到，结合等比数列的求和公式，即可得证. 【详解】（1）解：由数列满足， 因为， 所以， 设，即， 所以，解得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：， 所以 ， 下面证明：， 因为，当为奇数时，； 当为偶数时，，所以， 又因为当时，； 当且时， ，则，所以， 若，可得，此时满足， 若且，可得， 因为，所以， 综上可得：对于任意，都有. 2．设为数列的前n项和，且．数列满足，． (1)求数列和通项公式； (2)记为数列的前n项和． （i）求； （ii）若，求n的最小值． 【答案】(1)，； (2)（i）（ii）4． 【分析】（1）利用前n项和与第n项的关系求出，根据给定的递推公式，利用构造常数列求出. （2）（i）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得；（ii）法1，确定数列的单调性并依次计算即可；法2，等价变形不等式，再构造函数并确定单调性求解. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 而，满足上式，因此； 由，得，即， 则数列是常数列，，因此， 所以数列和通项公式分别为和. （2）（i）由（1）得， ， 于是， 两式相减得， 所以. （ii）法一：由，得，则数列单调递增， 而，，，，， ，，，， 所以n的最小值为4． 法二：由，得，即， 令，则，即， 即为减函数，而，，，， 所以n的最小值为4. 3．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)证明：，且. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）变形给定等式，利用构造法，结合等比数列求出通项公式. （2）由（1）结合数列单调性得，，再按分段，利用分组求和法及等比数列前项和求解. （3）对通项变形放缩并裂项，再利用裂项求和法推理得证. 【详解】（1）在数列中，，，则， 即，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 即，则为单调递减数列，而， ，即当时，；当时，， 记的前项和为，则， 当时，； 当时，， 所以数列的前项和. （3）当且时，， 当时，；当时， ， 所以，且. 4．数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 1．已知数列的首项，且 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式，利用累加法及裂项相消法求和即得. 【详解】在数列中，由，得， 即，令，则， 由，得，当时， ，满足上式，因此， 当时，， 所以. 2．某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】A 【分析】在“等额本金还款法”下，每年偿还的本金是固定的，但利息会随着剩余本金的减少而减少。这导致每年的总还款额构成一个等差数列，根据题意算出首项和公差即可求解. 【详解】设第一年的还款金额为， 由于第一年要还本金元以及利息元，因此万元， 由于每年都会偿还万元的本金，因此每年的利息会比上一年减少元，即万元， 因此，这个等差数列的公差万元， 因此，这个等差数列的通项公式为， 则第三年的还款金额为万元，故A正确. 3．玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________. 【答案】 【分析】根据条件，利用等比数列的通项公式及圆柱的体积公式可得最矮孔洞的高，再由等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设个玉琮的圆柱形孔洞体积为，高度为，孔洞半径为， （其中，对应最矮，对应最高）， 由题知是公比的等比数列，因此， 因为最高玉琮孔洞半径，高，则， 代入，得，即最矮孔洞体积为， 又， 由圆柱体积公式得，解得， 由题知是等差数列，且， 所以数列前项和，故个玉琮高度和为. 4．已知数量充足的白色卡片分别标有连续正整数1，2，3，…的序号，按如下规则对卡片进行若干轮染色：每轮被染色的卡片序号均为连续奇数或连续偶数；若第（为任意正整数）轮染色张卡片，且被染色卡片的最大序号为m，则第轮染色张卡片，且被染色卡片的最小序号为.若第1轮仅染色序号为1的卡片，并将所有被染色的卡片按序号递增的顺序摆放，则第2026张被染色卡片在第______轮染色，其序号为______. 【答案】 11 4041 【分析】先找出每轮染色的卡片张数规律，进而得到前轮的总张数表达式，根据总张数2026反推出所在轮次，再根据该轮中卡片的序号规律（连续奇数或偶数，且最小序号与轮次的关系）计算出具体序号. 【详解】根据题意，第轮染色的卡片张数为，所以前轮总张数， 由得，因为，，所以第2026张被染色卡片在第11轮被染色， 前10轮共张，第11轮有张，第2026张是第11轮的第 张， 设第轮的最小序号为，该轮染色张数为，由于每轮染色连续奇数或连续偶数，公差为2，故最大序号 ， 由规则，下一轮的最小序号为上一轮最大序号加1， 即 ， 所以，即， 因为，累加可得 ，即， 所以， 因为是奇数，且该轮染色连续奇数，公差为2， 所以第张的序号为， 因此，第张被染色的卡片在第11轮染色，序号为. 5．（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】利用累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意，得，由累加法可得： 当时，. 也适合上式， 即 （2）由题意知， 当时，由累加法可得： ， 也适合上式， 即. 6．已知数列中，，（为常数，），且，，是公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到方程，求出，从而累加法可得通项公式，检验后得到答案； （2）裂项相消法得到，相加可得答案 【详解】（1）， 又，故，， 因为，，成等比数列，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去；故. 当时，由于，，…，， 相加可得. 又，，故. 当时，上式也成立， 所以. （2）由（1）可得，， 所以数列的前项和 . 7．设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【详解】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 8．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)证明：； (2)求的通项公式； (3)证明为定值． 【答案】(1)①，当时，②， ①减②，得． 当时，，因此． 经验证，当时，也符合关系式， 故． (2)． (3)由（2）可知， ， 又， ，为定值． 【分析】（1）由递推关系得出，代入验证得出时成立，进而证明结论； （2）由变形得出，得出是等比数列，进而列出通项公式求解； （3）先求出，再利用，代入求解． 【详解】（1）略 （2）由，可得， 数列是首项为，公比为3的等比数列， ， ． （3）略 1．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 所以数列的前项的和为， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求； 2．记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 3．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 4．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 【答案】7 【分析】通过构造辅助等比数列推导数列总和的正确递推通项，求出构造次数，归纳首个插入数的变化规律完成求解. 【详解】设第次构造后数列的总和为，单次构造新增插入数字的和为. 初始数列总和. 由插入规则，单次插入数字和为原数列所有相邻两项之和， 可得，. 联立化简得，变形为， 因此，是以为首项、为公比的等比数列， ，， 前次插入所有数字的总和满足， 结合题设，可得，，， 解得，即. 归纳首次插入数规律：第次，第次，第次，……，第次. 因此，第次构造时，. 5．在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出； （ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最大元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 6．等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2)3421 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则， 综上所述，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 等差等比数列与通项公式 【知识点1 等差数列的定义、核心公式及其性质】 1. 定义 （为常数，） 2. 核心公式 1. 通项：，推广式 1. 前项和： · 形式：（无常数项二次函数） 3. 核心性质 1. 下标和相等： 1. 等差中项： 1. 分段和： 仍成等差数列 1. 奇偶和 · 偶数： · 奇数：， 1. 单调性：递增；递减；常数列 【知识点2 等比数列的定义、核心公式及其性质】 1. 定义 （为非零常数，所有） 2. 核心公式 1. 通项：，推广 1. 前项和分段 3. 核心性质 1. 下标和相等： 1. 等比中项：（同号才有实数中项） 1. 分段和： 成等比（） 1. 单调性 ：递增，递减； ：递减，递增； 摆动数列；常数列 【知识点3 数列通项公式的求法】 方法 1 公式法 判定等差/等比，直接套对应通项公式。 方法 2 与 转化（必考） 算出式子后验证，能合并写统一式，不能则分段。 方法 3 累加法 适用： 方法 4 累乘法 适用： 方法 5 一阶线性构造 设，解得，为等比数列。 方法 6 指数型构造 两边同除：，构造新等差/等比。 方法 7 倒数构造（分式递推） ，取倒数变形为一阶线性递推求解。 方法 8 二阶齐次递推 解特征方程 ，根据根的三种形式写出对应通项。 【题型1 等差数列基本量的计算】 1．已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 2．已知数列满足对任意的，，都有．若，则（ ） A．18 B．22 C．24 D．29 3．设为等差数列的前项和，若，，则__________． 4．等差数列的前n项和为，，且，则______． 【题型2 等差数列的性质】 1．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．39 D．78 3．在等差数列中，已知，，，则的前项和为________． 4．设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【题型3 等比数列基本量的计算】 1．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 3．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 4．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【题型4 等比数列的性质】 1．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 2．已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．4 D． 3．已知等比数列的各项都是正数，，则______． 4．已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 【题型5 求数列通项公式： 与 转化】 1．已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．已知数列的前n项和为，，在①点在直线上；②对，恒成立中任选一个作为已知条件，并解答． (1)证明：数列是等比数列，并求其公比； (2)若，求数列的前项和． 3．已知数列前项和满足，且. (1)求； (2)求数列的前项和. 4．设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【题型6 求数列通项公式：累加法】 1．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 2．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 3．已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 4．已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【题型7 求数列通项公式：累乘法】 1．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 2．已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中． (1)分别求数列和的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 3．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 4．记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【题型8 求数列通项公式：构造法】 1．已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的前n项和，并证明：. 2．设为数列的前n项和，且．数列满足，． (1)求数列和通项公式； (2)记为数列的前n项和． （i）求； （ii）若，求n的最小值． 3．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)证明：，且. 4．数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 1．已知数列的首项，且 ，则 （     ） A． B． C． D． 2．某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________. 4．已知数量充足的白色卡片分别标有连续正整数1，2，3，…的序号，按如下规则对卡片进行若干轮染色：每轮被染色的卡片序号均为连续奇数或连续偶数；若第（为任意正整数）轮染色张卡片，且被染色卡片的最大序号为m，则第轮染色张卡片，且被染色卡片的最小序号为.若第1轮仅染色序号为1的卡片，并将所有被染色的卡片按序号递增的顺序摆放，则第2026张被染色卡片在第______轮染色，其序号为______. 5．（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 6．已知数列中，，（为常数，），且，，是公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 8．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)证明：； (2)求的通项公式； (3)证明为定值． 1．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 4．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 5．在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 6．等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $