暑假作业04 空间向量与立体几何应用（6种题型，巩固培优）高二数学沪教版

**基本信息** 以空间向量为工具，系统构建从基础计算到复杂应用的立体几何解题体系，强化空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量计算|多个典例|坐标运算、法向量求法|从向量运算基础到工具准备，为后续应用奠基| |位置关系证明|多个典例|方向向量与法向量关系判定|运用向量工具转化几何位置关系，培养推理能力| |空间角度|多个典例|线线/线面/二面角公式|基于向量夹角公式，建立几何角度与代数运算的联系| |空间距离|多个典例|距离转化（点面距为核心）|通过向量投影将空间距离转化为数量积运算| |动点存在性|多个典例|参数设元与方程求解|用代数参数表示几何动点，体现数学建模思想| |角度最值|多个典例|函数值域与单调性分析|结合三角函数性质解决动态几何问题，发展数学思维|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 空间向量与立体几何应用 【知识点1 空间向量的计算】 1. 坐标基础 1. 加减： 1. 数乘： 1. 数量积： 1. 模长： 1. 夹角余弦： 2. 法向量求法 平面内取两个不共线向量 ，设法向量 赋值一个未知数，解方程组得到一组法向量。 3. 两点向量 ， 【知识点2 空间向量法证明空间位置关系】 1. 线线平行/垂直 设直线方向向量 · 平行： · 垂直： 2. 线面平行 直线方向向量 ，平面法向量 ，且直线不在平面内 3. 线面垂直 4. 面面平行 两平面法向量 5. 面面垂直 【知识点3 空间向量法求空间角度问题】 1. 异面直线夹角 （） 取两直线方向向量 2. 线面角 （） 直线方向向量 ，平面法向量 线面角是直线与平面中投影夹角， 3. 二面角 （） 两平面法向量 1. 1. 判断锐钝：看图确定二面角等于或互补于法向量夹角； 锐角二面角取绝对值，钝角直接用原式。 【知识点4 空间向量法求空间距离问题】 1. 两点距离： 2. 点到直线距离 点，直线过，方向 3. 点到平面距离（最高频） 点，平面法向量，平面内任一点 4. 平行线间距离：转化为一点到另一直线距离 5. 平行平面距离：转化为一点到另一平面距离 6. 异面直线距离 两线各取一点，方向，公垂线方向 【知识点5 空间动点存在性问题】 1. 建空间直角坐标系，设动点参数： 线段上动点：； 面上动点：设 满足平面方程； 1. 把垂直、平行、角度、长度条件全部转为向量等式； 1. 列方程解参数 ； 1. 检验参数范围， 则存在，否则不存在。 常见问法：是否存在一点使线面垂直、面面垂直、夹角为定值、长度相等。 【知识点6 空间角度最值与范围问题】 1. 把角度三角函数（、）写成含参数 的函数； 1. 根据参数取值范围（ 等），利用单调性、二次函数、均值不等式求值域； 1. 角度本身随三角函数单调变化： · 在 递减； 在 递增； 1. 典型模型：动直线与定平面线面角最值、动二面角范围、异面直线动夹角范围。 【题型1 空间向量法证明空间位置关系】 1．如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 2．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点. (1)求证：平面BDE； (2)求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值； (3)在棱PB上是否存在点F，使得平面DEF？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，． (1)求证：平面； (2)已知点是直线与平面的交点，求的值． 【题型2 空间向量法求空间角度问题】 1．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且，． (1)若平面PCD，求的值； (2)若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值． 4．如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线两侧． (1)求证：平面； (2)已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 【题型3 空间向量法求空间距离问题】 1．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 3．如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 4．如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【题型4 空间动点存在性问题】 1．在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 2．如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 3．如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. (1)求证：平面平面. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【题型5 已知空间角度求边长问题】 1．如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． (1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 2．在三棱锥中，，，． (1)若平面平面， ①证明：． ②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值． (2)若二面角的正切值为，求的长． 3．如图，在四棱锥中，为正三角形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是正三角形，平面． (1)设，求点到平面的距离； (2)若二面角的正弦值为，求的长． 【题型6 空间角度最值与范围问题】 1．如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2．已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 3．如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    4．在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在上，且，设点G是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若Q为中点，求的面积取值范围. 1．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 2．四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 4．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 5．如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． (1)求证：直线平面； (2)若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 6．如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． (1)用，，表示，并求BM的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1．如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 4．两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 5．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． (1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面． (2)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． (3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 6．如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 7．如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 8．如图，已知正六棱柱. (1)求证：平面； (2)设，某同学研究该正六棱柱六个侧面上12条面对角线之间的位置关系，发现当时，与异面且垂直.问：是否还存在不等于1的的值，使得与其余五个侧面上至少一条面对角线异面且垂直？若存在，求出所有满足条件的值，并在此条件下直接写出与异面且不垂直的面对角线与所成角的大小的所有不同值；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 空间向量与立体几何应用 【知识点1 空间向量的计算】 1. 坐标基础 1. 加减： 1. 数乘： 1. 数量积： 1. 模长： 1. 夹角余弦： 2. 法向量求法 平面内取两个不共线向量 ，设法向量 赋值一个未知数，解方程组得到一组法向量。 3. 两点向量 ， 【知识点2 空间向量法证明空间位置关系】 1. 线线平行/垂直 设直线方向向量 · 平行： · 垂直： 2. 线面平行 直线方向向量 ，平面法向量 ，且直线不在平面内 3. 线面垂直 4. 面面平行 两平面法向量 5. 面面垂直 【知识点3 空间向量法求空间角度问题】 1. 异面直线夹角 （） 取两直线方向向量 2. 线面角 （） 直线方向向量 ，平面法向量 线面角是直线与平面中投影夹角， 3. 二面角 （） 两平面法向量 1. 1. 判断锐钝：看图确定二面角等于或互补于法向量夹角； 锐角二面角取绝对值，钝角直接用原式。 【知识点4 空间向量法求空间距离问题】 1. 两点距离： 2. 点到直线距离 点，直线过，方向 3. 点到平面距离（最高频） 点，平面法向量，平面内任一点 4. 平行线间距离：转化为一点到另一直线距离 5. 平行平面距离：转化为一点到另一平面距离 6. 异面直线距离 两线各取一点，方向，公垂线方向 【知识点5 空间动点存在性问题】 1. 建空间直角坐标系，设动点参数： 线段上动点：； 面上动点：设 满足平面方程； 1. 把垂直、平行、角度、长度条件全部转为向量等式； 1. 列方程解参数 ； 1. 检验参数范围， 则存在，否则不存在。 常见问法：是否存在一点使线面垂直、面面垂直、夹角为定值、长度相等。 【知识点6 空间角度最值与范围问题】 1. 把角度三角函数（、）写成含参数 的函数； 1. 根据参数取值范围（ 等），利用单调性、二次函数、均值不等式求值域； 1. 角度本身随三角函数单调变化： · 在 递减； 在 递增； 1. 典型模型：动直线与定平面线面角最值、动二面角范围、异面直线动夹角范围。 【题型1 空间向量法证明空间位置关系】 1．如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 2．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点. (1)求证：平面BDE； (2)求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值； (3)在棱PB上是否存在点F，使得平面DEF？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在棱上存在点，使得平面，此时 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线所在的向量与平面的法向量相互垂直，并且直线不在平面内可得直线与平面平行. （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算计算出两个向量的夹角，进而得到平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值. （3）假设存在点F，则直线PB所在的向量与平面DEF的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 所以， 设平面BDE的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面BDE的一个法向量为， 所以，所以。 又平面，所以平面BDE； （2）因为侧棱底面ABCD，底面ABCD，所以， 又因为底面ABCD是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量. 由（1）知是平面的一个法向量. 设平面BDE与平面DEC的夹角为， 所以， 所以平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为. （3）因为， 所以，所以， 假设棱上存在点，使平面， 设， 则，， 由， 所以，解得， 即在棱上存在点，使得平面，此时. 3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，． (1)求证：平面； (2)已知点是直线与平面的交点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）通过平面，得，又易得在等腰三角形中，点为的中点，故，根据直线与平面垂直的判定定理可得平面； （2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，得出相关的点的坐标，求出平面的法向量为，设，由得出的坐标表示，因为点在平面内，所以，从而得到关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为，所以平面； （2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 因为， 所以， 所以； 设平面的法向量为，则 ，即，取； 设， 则， 因为点在平面内，所以， 所以，所以， 所以的值为． 【题型2 空间向量法求空间角度问题】 1．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在正方形中，由，得， ，则，， 因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又，，平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证； （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即可. 【详解】（1）略. （2）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线，，两两垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设（），则，， ，， 由点到直线的距离是，得，则， 而，解得，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，为锐角， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得； （2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）连接，由为中点，则，又， 则四边形为菱形，设，则为中点， 则，所以三角形是直角三角形，且；    （2）当时，是边长为的等边三角形， 又因为梯形的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 3．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，且，． (1)若平面PCD，求的值； (2)若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量垂直，利用向量的坐标运算求解； （2）（ⅰ）设，利用向量的坐标运算或是利用向量的线性运算即可求解；（ⅱ）利用向量法求平面夹角的余弦即可. 【详解】（1）由题知平面，且， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，， 可得，，， 若平面，平面， 所以． 则，即， 即，解得． （2）（ⅰ）法一：由（1）可得，，，，， 设，连接，如图， 则. 因为点，，，共面， 所以， 则，解得， 故． 法二：设，连接，如图， 则． 因为，即，故， 因为，，，四点共面，且，不共线，所以存在，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线两侧． (1)求证：平面； (2)已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面. 取的中点，连接. 因为，所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 可知三点共线，所以， 所以平面. (2) 【分析】（1）由面面垂直得平面；取中点，由得，结合中位线可证共线，从而，故平面 ； （2）建系，利用已知长度求出各点坐标，分别计算平面与平面的法向量，代入夹角公式计算可得结果. 【详解】（1）略. （2） 由（1）知平面，平面，所以. 又因为，， 则以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 连接，由（1）知平面 ，平面， 所以 ，，又， 所以. 又， 所以，，. 因此，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【题型3 空间向量法求空间距离问题】 1．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， 又，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由及为中点，利用等腰三角形“三线合一”得；结合平面及，得到，从而由线面垂直判定定理证得平面； （2）以平面为基础，构造出二面角的平面角；利用已知边长、、，通过勾股定理与面积公式求出与，进而得到余弦值； （3）将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法建立方程；结合、及，计算得到所求距离. 【详解】（1）略 （2）由(1)可得平面，平面，故， 过作于，连接，因为，平面， 所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角， 是中点，，则，； 且，， 故， ，得， 因为平面，又平面，故， 在中：， 故，即二面角的余弦值为. （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. 2．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 3．如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)连接，并分别取中点，，连接. 四棱台， 又 ， 四边形为菱形 ，平面， 所以平面，又面，所以. 又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接，并分别取中点，，易得，进而得平面，故，再根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据题意易证平面，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，结合条件求得，利用向量法求得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1） 四边形 为平行四边形， 所以，又平面，所以平面. 又 ， 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，， 则有. 设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 又平面的一个法向量为， 由已知可得， 所以，得，所以， 又， 所以点到平面的距离为. 4．如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式确定点位置，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当时，；当时，， 当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 【题型4 空间动点存在性问题】 1．在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，是线段的中点， .∵平面平面，平面平面平面， ∴平面.又∵平面，∴， ∵，即，，平面， ∴平面，∵平面 ∴ (2)(2)①；②存在实数 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，进而证明，再结合已知证明平面，最后应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数； ②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【详解】（1）略 （2）解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 2．如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，从而；由已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，可求得平面和平面的夹角的余弦值； （3）假设存在点Q满足题意，且，根据线面角的向量求法，列出方程，求解可得的值. 【详解】（1）在图1的等腰直角中，D为的中点，可得， 所以在图2中，可得． 因为，且，平面，所以平面．            又因为平面，所以． 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形 因为M为的中点，所以． 又因为，且AD，平面，所以平面．        （2）以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则． 设平面的法向量为，则        则，取，可得，所以． 设平面DAB的法向量为，则       则，取，可得，所以． 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为．        （3）假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为． 由（2）得， 设，则．       平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为． 当时，． 3．如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. (1)求证：平面平面. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，所以，由线面垂直的判定定理结合正方形的性质，可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面； （2）假设在线段上存在点，满足题意，且，建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得的值，即可判断. 【详解】（1）在直角梯形中，为的中点， 所以，四边形是正方形，所以. 所以在四棱锥中，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又正方形中，， 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知平面，，所以两两垂直. 以坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 假设在线段上存在点，满足题意，且， 则. 由与平面所成角的正弦值为，得， 所以， 化简得，所以（负值舍去）. 所以，所以. 即存在点M满足题意，且. 4．如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)存在， 【分析】（1）过作，利用线面垂直的判定定理可推出所以平面，再结合边长应用勾股定理即可； （2）取的中点为，根据线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法直线与平面所成角的正弦值列出方程即可求得. 【详解】（1） 由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． 所以. （2） 取的中点为，连接，，， 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）. 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 【题型5 已知空间角度求边长问题】 1．如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． (1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或28 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角，通过代数运算求线段长度. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由已知，四点共面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）令， 取的中点为，连接，过作，且交于， 因为，平面，所以平面， 因为是正三角形，，所以． 以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 即或28． 2．在三棱锥中，，，． (1)若平面平面， ①证明：． ②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值． (2)若二面角的正切值为，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①根据面面垂直性质定理得平面，进而得； ②根据题意，建立空间直角坐标系，设三棱锥外接球球心，进而根据球心到的距离相等得，再利用向量方法求解即可. （2）过点作棱交的延长线于，进而得点在以为圆心，为半径的圆上动，设，则，再根据二面角的向量求法求解得 ， 【详解】（1）①证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 ②根据题意，如图，建立空间直角坐标系，，，，， 设三棱锥外接球球心，则球心到的距离相等， 所以，即，解方程得：， 所以， 又因为平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 所以与平面夹角的正弦值为. （2）解：过点作棱交的延长线于， 因为，，． 所以，故点在以为圆心，为半径的圆上动， 故以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，则 平面的法向量为 则，即，令，则，，， 因为二面角的正切值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为 所以 又因为，将其代入整理得， 解得， 所以，，此时 故二面角的正切值为， 3．如图，在四棱锥中，为正三角形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，先利用余弦定理求出，结合等边三角形性质得长度，再由勾股定理证，又，与交于，推出平面，最终证得平面平面. （2）以为原点建系，由面面垂直得垂直底面且平行轴，写出坐标与相关向量，求出两平面法向量，利用面面夹角余弦公式列式化简，解出进而确定点坐标，进而求得长度. 【详解】（1）如图：取的中点，连接. 因为，所以，在中，． 由余弦定理得， 因为为等边三角形，所以， 在中，，则，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 因为， 根据圆心角与圆周角关系可判断点在以点为圆心，半径为2的圆上，所以， 三角形为正三角形，所以. 由（1）可知，平面，所以轴， 所以由题设得， 设，故， 则． 设平面的一个法向量，平面的一个法向量， 则，即， 可取， 记平面与平面的夹角为， 则， 其中 ， 所以， 原式可约分得. 两边平方：，化简得， 解得，，由图可知. 所以，所以，则． 4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是正三角形，平面． (1)设，求点到平面的距离； (2)若二面角的正弦值为，求的长． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用空间向量法求解，由题意得到平行四边形为矩形，利用勾股定理求出的值．求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出到平面的距离． （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积求出二面角的正弦值，计算得解. 【详解】（1）平面以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作轴于点． 在平行四边形中，，且． ∴平行四边形为矩形，则． ，． ． 设平面的法向量， 则，可取． 则到平面的距离为． （2）设，则． 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则 ， ， 可取． ，， 故二面角的正弦值为 ， 化简得，即或． 且，或2． 【题型6 空间角度最值与范围问题】 1．如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 2．已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 3．如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）由三角形面积公式及DC平分，可得，在中应用余弦定理，可求得，在中应用余弦定理即可求得； （2）设，用表示三棱锥的体积，并求出三棱锥的体积最大时的，从而求得此时三棱锥的外接球半径，进而求得外接球的表面积；建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，用表示直线与平面所成角的正弦值，利用基本不等式，结合同角三角函数关系式即可求得该正弦值的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 若DC平分，则，所以. 设，则， 因为，，所以. 由，得， 解得，即. 所以， 又，所以； （2）（i）设，作，垂足为O，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面BDC. 又， 所以， 当且仅当时取最大值，此时，，即BD，CD，PD两两垂直， 设三棱锥的外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为； （ii）如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 则， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，    令，则， 所以，， 设直线PC与平面PBD所成角为，则 ， 令，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为． 4．在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在上，且，设点G是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若Q为中点，求的面积取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式结合换元法即可求解； （3）由题可得，设，再根据，结合二次函数求范围即可． 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面； （2）解：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故； （3）解：由题可知， 设， ，， ，， ． 1．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 2．四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 3．如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 【答案】 或 【分析】取中点，连接，即可得到为异面直线与所成角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接， 又因为，，、分别为、的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成角（或补角）， 又因为异面直线与所成角的大小为，所以或， 在中，由余弦定理得， 当，有，解得； 当，有，解得； 因此的长为或. 4．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【分析】法一在正四棱台中，由异面直线所成角可得，再根据面面角定义计算求解即可，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 5．如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． (1)求证：直线平面； (2)若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）作底面于，得，再由题意得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）作于，连接，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中计算（求其正切值），也可建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求解（解题过程中先确定为底面对角线交点）. 【详解】（1）连接、，作底面于， 由题，底面，又底面，故， 因为四边形为平行四边形，且， 因此四边形为菱形， 平面，平面， 因此，平面; （2）解法一：作于，连接， 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角， 在直角中，由，知． 设，则由题意可知， 又底面，是底面的斜线，是在底面的射影． 因为，所以（三垂线定理），（注：可用线面垂直证明） 所以即为二面角的平面角 ，又平面平面， 因此，平面与底面所成角为或； 解法二：作于，连接 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角． 在直角中，由，知． 故为菱形的中心，即此时． 以为坐标原点，分别以、与的方向为、与轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令，则、、 则 设平面的法向量为，则， 从而得到平面的一个法向量为， 又底面的一个法向量为， 从而 所以，平面与底面的二面角是或． 6．如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． (1)用，，表示，并求BM的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平行六面体的性质，先找到的位置，再用向量加法表示，最后通过向量模长公式计算长度即可； （2）先确定和的方向向量，再通过向量数量积公式计算两向量夹角的余弦值，即可得到两异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，， 因为， 所以， 因为为与的交点，即为的中点， 所以， 所以， 即 ， 所以. （2）因为，所以， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 1．如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧，点恰好为正方形的中心，以为坐标原点，建立空间直角坐标系计算即可. 【详解】取的中点，连接，，因为底面是菱形，且， 所以. 又因为平面，平面，所以. 由于平面，所以平面. 因为与平面所成角为，所以与平面所成角也是. 由于为直线在平面上的射影，所以. 在中，，所以， 所以点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧. 当点在面对角线上时，记作，可知点恰好为正方形的中心. 取的中点，连接，则直线，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 记， 所以到直线的距离. 2．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知这三个向量共面，这意味着集合中所有点均在同一个过原点的平面上,已知点，本题即寻找一个点，当时，由点和点确定的过原点的平面不包含点. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，无法推出，故B错误； 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则当，能推出，故C正确； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误； 故选：C. 3．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解. 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先依题意作出图形，再建立空间直角坐标系，写出点坐标，设出坐标，然后利用向量法求出直线和夹角的向量表达式，求解出最大值. 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系. ，， 设，. . ，. . 当时，有最大值，最大值为. 故答案为： 5．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． (1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面． (2)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． (3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)，证明见解析. 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围. （3）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论. 【详解】（1）由题意知， 而是的中点， 所以， 又平面平面， 平面平面平面， 所以平面， （2）在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得. 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； （3），证明如下： S是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， （取不到等号）， ， ， . 6．如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【分析】（1）直接用向量表示，即可得答案； （2）根据向量数量积的运算律计算即可判断，再根据结果代入对应数值即可求得答案. （3）设平面，进而根据向量垂直关系求得，设，，求得，再根据线面角的向量求法求得，最后将的值代入即可求得. 【详解】（1）因为，所以． （2）设，， ， 所以； . （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 7．如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由等体积法可得，由平行六面体的体积减去该三棱锥的体积，即可得答案； （3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知为与的中点， 因为 ; （2）设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； （3）因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. 8．如图，已知正六棱柱. (1)求证：平面； (2)设，某同学研究该正六棱柱六个侧面上12条面对角线之间的位置关系，发现当时，与异面且垂直.问：是否还存在不等于1的的值，使得与其余五个侧面上至少一条面对角线异面且垂直？若存在，求出所有满足条件的值，并在此条件下直接写出与异面且不垂直的面对角线与所成角的大小的所有不同值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析； 【分析】（1）先判断面面平行，利用面面平行去证明线面平行； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积公式探究垂直时的大小，再求出与其余异面且不垂直的面对角线所成角的大小即可. 【详解】（1）在正六棱柱中，，， 因为，， 且面，面； 所以面面； 因为面，所以面； （2）以为原点，以垂直方向为轴，以为轴，以为轴， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，；，，， ，，；则， 在另外五个侧面的面对角线中，与异面的直线的方向向量如下， 为，， ，，； 若与以上面对角线异面且垂直， 令，无实数解；令，则， 令，则（舍去），令，则， 令，无实数解；当时，与异面且垂直； 又因为，，，； 所以，， ，由于异面直线夹角范围为, 则与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，； 综上，当时，与异面且垂直； 与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $