暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（拔尖篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（拔尖篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 【解题思路】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，进而即可得结果． 【解答过程】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系， 依题意可设抛物线方程为，代入点， ∴，， 将代入可得，所以水面宽度为． 故选：C． 3．（5分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【解答过程】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【解答过程】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：A. 5．（5分）（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【解答过程】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A. 6．（5分）（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，求出点的轨迹方程，设过点的直线与椭圆交于，，求出所以直线的斜率，求出直线的方程. 【解答过程】设，则， 所以点的轨迹方程为， 设过点的直线与椭圆交于，， 所以，所以， 因为为中点，所以，， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：B. 7．（5分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【解答过程】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D的正误. 【解答过程】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 对于A，设，故， 故，而， 设直线与所成的角为，则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，此方程在上无实数解， 故直线与所成的角不可能是，故A正确. 对于B，当时，结合A中分析可得，故， 故，而，设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，故到平面的距离为， 故B正确. 对于C，当时，又B的分析可得，故， 故，故C正确. 对于D，当时，结合的分析可得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，， 设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 故，故二面角的平面角的正弦值为， 故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【解题思路】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【解答过程】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD. 10．（6分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）抛物线的焦点为点F，过点F的直线L交C于A，B两点，P为准线上一点，O为坐标原点，记的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．为等边三角形时，点的横坐标为3 B． C． D． 【解题思路】对于A，可通过反推计算推出矛盾即可判断；对于BCD，设直线方程为：，联立抛物线方程，结合焦半径、弦长公式及点到线的距离公式逐项判断即可. 【解答过程】    对于A，若的横坐标为3，则纵坐标为，取， 则，则，易得，，故A错误； 对于B，由题意可设直线方程为：，，联立抛物线方程，消去可得： ，所以，， 所以，， 由焦半径公式可知：，故B正确； 对于C：由B知：， O到直线的距离， 所以，取，此时，故C错误； 对于D，由C可知：正确； 故选：BD. 11．（6分）（24-25高二上·山东济南·期中）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（    ）    A．平面 B．，，，四点共面 C．点到平面的距离为 D．若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 【解题思路】画出“阿基米德体”对应的正方体，由图可判断AB选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量来判断CD选项. 【解答过程】“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.    A选项：由图可知平面，A选项正确； B选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，∴，∴，，，四点共面，B选择正确；    C选项：如图建立空间直角坐标系，    ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即， ， ∴点到平面的距离，故C选项错误； 设且 ，所以， 设与的夹角为， 所以 当时，令， 因为当且仅当，即时取等号， 所以，即 当时，， 所以直线与直线所成角的余弦值范围为，故D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【解题思路】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为 ． 【解题思路】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【解答过程】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以，， 故椭圆C的方程为． 故答案为：． 14．（5分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，为侧面的中心，点分别为直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 ． 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，求出平面的法向量以及的坐标，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以， 令可得,取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【解题思路】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案； （2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为； （2）因为， 又与互相垂直，所以， 解得. 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论； （2）利用动点转移法可求点的轨迹方程. 【解答过程】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 17．（15分）（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【解题思路】（1）根据抛物线过点代入方程求出，即可得到抛物线方程，及焦点坐标； （2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）因为点在抛物线上， 所以，解得，所以抛物线方程为，焦点为 （2）设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线过原点，不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 18．（17分）（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 19．（17分）（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据过点，且离心率，由，且求解. （2）易知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由 求解；           （3）分别由，求得点P，Q的坐标，结合（2）得到点，到直线的距离相等证明即可. 【解答过程】（1）因为过点，且离心率， 所以，且，           即解得，，           所以的方程为. （2） 如图，， 显然直线的斜率存在，设直线.           联立得，消去并整理，得，           所以，得. 设，，则，.（*）           因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ，       ，     将（*）代入，得为定值. （3）设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得.           由（2）可知，           所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（范围：选择性必修第一册全册）（拔尖篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（5分）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 3．（5分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 10．（6分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）抛物线的焦点为点F，过点F的直线L交C于A，B两点，P为准线上一点，O为坐标原点，记的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．为等边三角形时，点的横坐标为3 B． C． D． 11．（6分）（24-25高二上·山东济南·期中）立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（    ）    A．平面 B．，，，四点共面 C．点到平面的距离为 D．若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 13．（5分）（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为 ． 14．（5分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，为侧面的中心，点分别为直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17．（15分）（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 18．（17分）（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19．（17分）（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$