暑假作业02 椭圆、双曲线、抛物线（10种题型，巩固培优）高二数学沪教版

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心知识，以定义-方程-性质为逻辑主线，通过10类题型系统覆盖椭圆、双曲线、抛物线的定义应用、方程求解及几何性质探究，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|16题|定义应用、离心率计算、焦点三角形、性质综合|定义推导方程，由方程特征生成离心率等几何性质，形成“定义-方程-性质”闭环| |双曲线|16题|定义与方程、离心率、焦点三角形、性质应用|类比椭圆定义，突出渐近线核心性质，构建“定义-渐近线-离心率”关联逻辑| |抛物线|16题|定义与方程、性质（焦半径、通径）、最值问题|基于距离相等定义，聚焦开口方向对标准方程的影响，强化几何性质的应用迁移|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 椭圆、双曲线、抛物线 【知识点1 椭圆的定义、方程与性质】 1. 定义 平面内与两个定点 距离之和等于常数 （）的点轨迹； 为线段 ； 无轨迹。 2. 标准方程 焦点在 轴： 焦点 焦点在 轴： 焦点 恒有关系： 3. 基础性质 1. 范围：（ 轴型） 1. 对称性：关于 轴、 轴、原点中心对称 1. 顶点：长轴长 ，短轴长 ；长轴顶点 ，短轴 1. 离心率：，； 越接近 0 越圆，越接近 1 越扁 1. 焦半径：（ 在椭圆上） 【知识点2 双曲线的定义、方程与性质】 1. 定义 平面内与两定点 距离之差的绝对值为常数 （）的点轨迹； 为两条射线； 无轨迹；不加绝对值仅为单支。 2. 标准方程 焦点 轴 ，焦点 焦点 轴 ，焦点 恒有关系： 3. 基础性质 1. 范围：（ 轴型），两支无限延伸 1. 对称：、 轴、原点对称 1. 顶点：实轴长 ，虚轴长 ，顶点 1. 渐近线（必考） 轴型：； 轴型： 1. 离心率：，； 越大开口越阔 1. 焦半径：分左右支带正负符号， 【知识点3 抛物线的定义、方程与性质】 1. 定义 平面内到定点 （焦点）与定直线 （准线，）距离相等的点轨迹； 为焦点到准线距离，。 2. 四种标准方程 1. 开口向右：，焦点 ，准线 1. 开口向左：，焦点 ，准线 1. 开口向上：，焦点 ，准线 1. 开口向下：，焦点 ，准线 3. 核心性质 1. 对称轴：一条对称轴，无中心对称；仅有一个顶点 1. 离心率：（固定值） 1. 焦半径：抛物线上 ，如 ： 1. 通径：过焦点垂直对称轴的弦，长度恒为 1. 常用结论：过焦点直线交抛物线 、， 【题型1 椭圆的定义与方程】 1．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 2．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用方程表示焦点在y轴上的椭圆建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 【题型2 椭圆的离心率】 1．已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 2．设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助椭圆上的点到焦点的距离的最小值及椭圆定义可得周长的取值范围，即可得、间关系，即可得离心率. 【详解】设为椭圆：（）的右焦点， 周长， 由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为， 故， 由，， 故， 当且仅当、、三点共线时取等号， 故有，，即， 则，故. 3．已知椭圆的左右焦点分别为，P是椭圆上一点，且成等比数列，则椭圆离心率的最大值为_____________． 【答案】 【详解】因为成等比数列，所以， 又，所以，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以椭圆离心率的最大值为. 4．已知椭圆的左焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为_____． 【答案】或 【分析】记右焦点为，利用倍角公式求出，再在中利用余弦定理可得. 【详解】不妨设焦距为2c，记右焦点为，易知，， 由定义知，记，显然其为锐角， 故由，解得. 在中由余弦定理得，化简得，即，可得离心率或. 【题型3 椭圆的焦点三角形问题】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 2．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 3．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 4．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 【答案】 / 【分析】设点，点，根据向量的坐标运算，结合，可得，利用点在圆上，代入化简，即可求得第一空答案；设，利用正弦定理可表示出，再结合，即可求出，从而求出，利用三角形面积公式即可求得第二空答案. 【详解】设点，点，因为是P向x轴作垂线的垂足，所以， 已知，， 可得，即， 因为点在圆上，所以将代入圆的方程可得：， 化简得，即椭圆的标准方程为；    由椭圆，可得，则， 所以椭圆的左右焦点，那么， 设，则， 在中，根据三角形内角和为π，可得， 由正弦定理得， 所以， 又，故，即， 而 ， 则，由于， 故，即， 得，结合，解得， 则，故， ， 故， 故的面积为， 故答案为：； 【题型4 椭圆的性质】 1．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 2．已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 3．已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 【答案】1 【分析】根据焦点相同可得，再由椭圆以及双曲线对称性代入交点坐标，联立方程即可得结果. 【详解】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即， 因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上， 不妨设第一象限的公共点为，则有且， 消去得，即， 解得， 故答案为：1 4．已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型5 双曲线的定义与方程】 1．已知双曲线的两条渐近线为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线渐近线设出双曲线方程，再根据经过的点求得方程. 【详解】双曲线的渐近线为，可设对应双曲线方程为：， 又双曲线经过，即，解得， 则双曲线的方程为：. 故选：C 2．设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，利用余弦定理得到关于的方程，再由焦点到渐近线的距离为，即可求解. 【详解】 因为焦点到渐近线的距离为，所以，则， 所以，因为， 所以，解得，又 所以，，所以双曲线为. 故选：A 3．已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________. 【答案】18 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解即可. 【详解】设双曲线的两个焦点分别为， 双曲线，即， 则，可得， 不妨设，则，即，解得， 且，符合题意， 所以点与另一个焦点的距离等于18. 故答案为：18. 4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 【题型6 双曲线的离心率】 1．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意得，再结合离心率公式求解即可. 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 因为直线的斜率为，且与渐近线垂直， 所以，，即， 所以双曲线的离心率. 2．已知双曲线的两条渐近线与直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为8，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为，令，得， 不妨设，则， 由的面积为8，得，解得， 所以双曲线的离心率． 3．已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【详解】由题意可得右焦点为，又因为MF垂直于轴，把代入抛物线， 可得，又因为公共点M在第一象限，所以，即，把代入 双曲线可得，，又因为，解得， 所以，即. 4．已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得. 由题意知该关于的方程有解，所以. 化简可得，即，所以，又. 所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即， 所以，所以. 所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 【题型7 双曲线的焦点三角形问题】 1．设，分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】利用向量的运算，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】 因为，所以， 则. 故选：D 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【答案】C 【分析】为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，利用三角形中位线定理得到，由求出，设直线交于点，由的角平分线为，得到，由是的角平分线得到，，结合求出和的值，从而求出的周长. 【详解】   ，，， ，， 为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点， ， ，， 设直线交于点， 点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为， ，，，， ，， ，， ，，， 是的角平分线， ，， 点为双曲线第一象限内的一点，， ，，， ，的周长为. 故选：C. 3．设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 【答案】 【分析】先求出的关系，再设，求出，再利用韦达定理求出值和，求出，各边长长度，利用内切圆的性质求出半径，作商即可. 【详解】双曲线离心率，故，得，， 右焦点，，双曲线方程可化为， 设，则，，， 由​得即， 设直线，代入双曲线方程， 整理得，由韦达定理 ​，​， 因为直线与双曲线交于右支，所以即， 结合​，代入得： ​联立解得​， 不妨令，则，， 所以， 所以，，， 则， ， . 4．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 【答案】 【分析】利用双曲线定义及勾股定理，结合切线的性质，列方程求解即可. 【详解】如图所示，设，则， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆半径为，圆心为， 则，，， 由勾股定理有，即， ， 其中， 解得 ， 故，， 故所求坐标为, 故答案为：.    【题型8 双曲线的性质】 1．已知双曲线是坐标原点，是上的一点，过的直线分别与的两条渐近线交于两点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线方程的概念，设出点的坐标，根据平面向量线性运算的坐标表示，求出点的坐标，根据渐近线方程斜率与倾斜角的关系，以及三角恒等变换，再根据正弦面积公式，求出结果即可. 【详解】由题意可知两条渐近线方程分别为， 不妨设点，其中， 可得， 由得， 得，解得， 可知，即，化简得， 设直线的倾斜角为，则，可知， 由，解得，所以， 由，可得， 则. 故选：D. 2．已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断. 【详解】由题设知，且双曲线的焦点坐标为， 对于A：由，得为双曲线，则不符合要求； 对于B：由得，，由，得为双曲线，则不符合要求； 对于C：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，符合要求； 对于D：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，不符合要求； 故选：C. 3．设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 【答案】 【分析】利用双曲线的定义求出，再利用求出，由倍角公式即可求解. 【详解】 如图：由题意得，即，设斜率为正的渐近线的倾斜角为，则，，所以该双曲线渐近线的夹角为 故答案为： 4．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 【题型9 抛物线的定义与方程】 1．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 2．已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得抛物线方程为，则，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理和即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，依题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，则抛物线的准线为，所以， 依题意直线的斜率不为，设过的直线的方程为，， 联立方程组，整理可得，由， 所以，， 又因为，所以，又， 所以， 因为， 所以 即，解得，所以直线的方程为， 故选：A. 3．已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意可设抛物线方程为，代入点坐标求解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，可设方程为， 代入点得，，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 【题型10 抛物线的性质】 1．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 2．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 3．已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先设，根据点到直线距离公式得到到的距离，再结合二次函数的性质可求出结果. 【详解】因为为抛物线上的动点， 所以可设，则到的距离为： ， 则时，，此时， 故答案为：. 4．已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】设，用向量的数量积的坐标表示得到，根据消去，得到关于的一元二次函数，即可求出． 【详解】设，则，， 从而． 因为点在抛物线上，所以， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：5 1．设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，由抛物线的定义可判断；对于B，由特殊值（位置）法可判断；对于C，设出直线，联立直线与抛物线，运用抛物线的弦长公式，结合韦达定理，即可判断；对于D，利用三角形相似证得为直角三角形，再利用三角形相似证得，结合焦半径公式即可判断. 【详解】对于A：易知为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故，故A正确； 对于B：由题可知，，若弦垂直于轴，此时为通径，， 不妨设点，则，，故B错误；    对于C：易知直线的斜率不为0，故可设直线，， 因为都在直线上，故有， 联立直线与抛物线，有，得， 由韦达定理可得， ，故C正确； 对于D：过点作准线的垂线，交于点，    由题意可知，则， 又，所以， 所以，同理可证， 又， 所以，则，故为直角三角形. 在与中，， 所以，则，即， 同理可得， 又 ， 由选项C可知，， 所以， 则，当时，等号成立，故D正确. 故选：B. 2．已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故选：B． 3．现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______． 【答案】 【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，分别为椭圆的左、右焦点，连接，延长交于点，如图， 与直线对称，则，且为的中点， 又∵为的中点，则， ∴焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，即点在以圆心为原点， 半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为． 4．已知，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据“1”的代换，结合双曲线的渐近线斜率以及二次函数的性质即可求解，或者利用三角换元，以及二次函数的性质求解. 【详解】方法一：， 由为等轴双曲线，其渐近线的斜率为， 令，则，故原式. 法二：令，，则， . 由于，， 故答案为： 5．如图，设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线，直线与轴交于点，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点.    (1)用表示点到点的距离； (2)设，若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (3)设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在曲线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得； （2）设，表示出，再根据数量积的坐标表示得到，结合解得即可； （3）设，即可求出点坐标，再由对角线互相平分表示出点坐标，代入曲线的解析式，解得即可. 【详解】（1）依题意可得：曲线的焦点为，准线为， 且，由抛物线的定义可知； （2）此时设，其中，则， ∴. 由得. 再结合，解得（负值已舍去），所以； （3）设，其中①，则. 在矩形中，，故， 所以直线的解析式为，令，可得，即. 由对角线互相平分可得，此时， 即点坐标为. 当点在曲线上时，代入曲线的解析式得， 即②. 联立① ②两式消去得，解得或（舍去）， 所以（负值已舍去），故存在点满足题意. 6．椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线准线上求出的值，得到抛物线焦点坐标，根据抛物线的焦点也是椭圆焦点得到的值，结合点在椭圆上及求解即可. （2）根据抛物线的定义，结合两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）抛物线的准线的方程为：. 因为点在抛物线的准线上，所以，解得. 故抛物线方程为，焦点为. 因为抛物线的焦点也是椭圆焦点，所以. 因为点在椭圆上，所以， 又，所以. 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，抛物线方程为，准线方程为，焦点.    根据抛物线的定义可知，，则. 根据几何性质，当，，三点共线时，取得最小值，即最小值为. 已知，， 根据两点间距离公式可得，， 因此的最小值为. 7．如图，设常数，已知椭圆方程为.    (1)求离心率的值； (2)设，椭圆上有一点，已知点为圆的圆心，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点，且都不与重合； ①设两条切线的斜率分别为、，求的取值范围； ②是否存在圆使得为直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据离心率的公式即可求解， （2）根据相切可得圆心到直线的距离等于半径，得到，进而根据韦达定理，即可求解①，联立直线与椭圆的方程，求解的坐标，进而求解的斜率，分类讨论垂直关系即可求解②. 【详解】（1）由椭圆，可得， 得到 ，故， 即离心率为. （2）当时，椭圆方程为， 由题意得圆的圆心为，半径为， ①设切线方程为，则 ，即， 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得，. 解得且，则或， 故或，即或， ②联立方程 ，得， 设，则， 同理可得 ， 则，由于，故,    若，则，解得， 此时，解得， 结合或，故， 若，则，解得， 此时，解得， 结合或，故， 综上可得，存在圆使得为直角三角形，且. 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围． (3)是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，由为正三角形，得到，求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）设椭圆上的任意一点，得到，由恒成立，化简得到恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，列出不等式，即可求解； （3）假设存在椭圆上两点关于直线对称，得到直线的方程为，联立方程组，利用，求得，再由在直线上，求得，进而得到结论. 【详解】（1）解：由椭圆的左右焦点分别为，，可得， 又由为正三角形，且，可得，即， 所以，所以椭圆的方程为. （2）解：设椭圆上的任意一点，则满足，即， 因为，可得， 将代入得， 由恒成立，即恒成立， 整理得恒成立， 令，可得的开口向上，对称轴为， 当时，即时，在上单调递增， 可得最小值为，解得，矛盾，舍去； 当时，即时，在上递减，在上递增， 可得最小值为，解得，矛盾，舍去； 当时，即时，在上单调递减， 可得最小值为，恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. （3）解：假设存在椭圆上两点关于直线对称， 可得，所以的斜率为，可设直线的方程为， 又由的中点在直线上，可得， 联立方程组，整理得， 则，解得， 由，可得，则， 因为，可得，解得， 此时不满足， 所以不存在满足条件的点，使得两点关于直线对称. 1．已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】D 【分析】根据可行数对的概念，结合特值即可求解． 【详解】对于命题（1），，取，得，， 所以对任意的，均有是集合的＂可行数对＂，所以（1）为真命题； 对于命题（2），，取， 则，而， 所以，任何满足的数对都不是集合的＂可行数对＂，所以（2）为假命题， 故选：D. 2．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点 .若双曲线的方程为，下列结论正确的是______. ①若，则； ②当过时，光由所经过的路程为； ③射线所在直线的斜率为，则； ④若，直线与相切，则. 【答案】①③ 【分析】对于①：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于②：利用双曲线的定义直接求得；对于③：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于④：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于①：若，则，因为在双曲线右支上， 所以，由勾股定理得：，二者联立解得： ，故①正确； 对于②：光由所经过的路程为： ，故②错误； 对于③：双曲线的方程为，设左、右顶点分别为，如图所示： 当与同向共线时，的方向为，此时，最小， 因为在双曲线右支上，所以所在直线的斜率为，即，故③正确； 对于④：设直线的方程为，，，消去可得： ，其中， 即，解得代入， 有，解得， 由在双曲线右支上，即，解得（舍去），所以，所以，故④错误； 故结论正确的是①③. 故答案为：①③. 3．如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 【答案】 【分析】先根据题意得出Q的轨迹是以P为焦点、直线AB为准线的抛物线，进而得出曲线E的方程，然后建立坐标系求出点Q处的切线方程进而求出点N，从而求出，再利用导数工具研究其最值问题即可求解. 【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，， 所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上， 如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，直线AB：，所以抛物线方程为：，即， 则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为， 所以抛物线在Q点处切线方程为， 则令，， 所以由题意，且 ， 所以， 故对恒成立， 所以时单调递减，又当时，， 故时，；时，， 所以时，单调递增；时，单调递减， 所以，则， 所以的面积的最小值为， 故答案为：. 4．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入椭圆、双曲线方程求解； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以； （2）设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为； （3）直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以. 5．已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． (1)求证：在一条直线上，并求该直线的方程； (2)对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）先由渐近线与定点求出双曲线方程，再求切线方程并得交点，利用向量关系证明点列共线且在直线上； （2）根据条件证明面积成等比数列，求出前项和，再用裂项相消放缩法证明倒数和小于. 【详解】（1）因为直线为双曲线的一条渐近线，因此设双曲线的方程为， 又双曲线经过点，因此，解得， 因此双曲线的方程为； 显然过且与双曲线相切的直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即， 联立，得 因此,解得， 因此直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，则， 联立得，则， 因为，因此，因此， 因为，所以，即三点共线且方程为：， 由于，因此， 又因为，因此， 因为，所以共线，因此共线， 故共线且轨迹方程为. （2）因为，，且，设直线的方程为， 又过点，因此，得，因此的方程为， 到直线的距离为，则， 因为共线，且，因此， ， 因此，则， 设，直线， 联立得，即， 联立得，即， 因此，， 即， 因此， 又因为，因此， 因此，， 因为， 因此， 因此 因为，所以， 即，得证. 6．已知抛物线与椭圆有一个公共焦点. (1)当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程. (2)若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为. （i）已知是曲线上的动点，求的最小值； （ii）已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 【答案】(1)， (2)（i）5；（ii）证明见解析 【分析】（1）待定系数代入两点求解即可； （2）（i）结合抛物线定义，转化为共线时最小即可； （ii）分情况讨论，由抛物线、椭圆方程代入计算，反证法即可证明. 【详解】（1）设椭圆的方程, 代入和可得， 解得， 则椭圆的方程为， 其焦点，则，， 则抛物线的方程为. （2）（i）联立，解得，， 设抛物线的准线为， 过作于，则， 故当时， 有最小值. （ii）由题意， 设，则有， 且均不为3，故至多有一个大于， 故至少有两个点在抛物线上. 假设三个点均在抛物线上，则 则，则， 即， 同理 则方程的两根为， 则， 同理可得，则两两异号，矛盾， 则只有两个点在抛物线上. 若两点在抛物线、一点在椭圆： 设在抛物线上，在椭圆上， 由， 则， 又， 代入椭圆，得， 化简得， 设，， 由于开口向下，且， 则， 则，同号，且与异号， 故有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 7．在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. (1)已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； (2)射线的方程，如果双曲线经“伸缩变换”后得到双曲线，若射线与双曲线、分别交于两点、，且，求双曲线的方程； (3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得，若，，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题中给的新定义可求得结果； （2）先根据伸缩变换得到双曲线方程，再联立方程求得两点坐标，根据两点间的距离公式可求得结果； （3）先根据变换得到表达式，根据累乘法可求得结果. 【详解】（1）由条件得，得； （2）、关于原点“伸缩变换”，对作变换， 得到， 解方程组得点的坐标为； 解方程组得点的坐标为； ， 化简后得，解得，， 因此双曲线的方程为或； （3）对作变换 得抛物线，得， 又，，即， 则， 则，即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 椭圆、双曲线、抛物线 【知识点1 椭圆的定义、方程与性质】 1. 定义 平面内与两个定点 距离之和等于常数 （）的点轨迹； 为线段 ； 无轨迹。 2. 标准方程 焦点在 轴： 焦点 焦点在 轴： 焦点 恒有关系： 3. 基础性质 1. 范围：（ 轴型） 1. 对称性：关于 轴、 轴、原点中心对称 1. 顶点：长轴长 ，短轴长 ；长轴顶点 ，短轴 1. 离心率：，； 越接近 0 越圆，越接近 1 越扁 1. 焦半径：（ 在椭圆上） 【知识点2 双曲线的定义、方程与性质】 1. 定义 平面内与两定点 距离之差的绝对值为常数 （）的点轨迹； 为两条射线； 无轨迹；不加绝对值仅为单支。 2. 标准方程 焦点 轴 ，焦点 焦点 轴 ，焦点 恒有关系： 3. 基础性质 1. 范围：（ 轴型），两支无限延伸 1. 对称：、 轴、原点对称 1. 顶点：实轴长 ，虚轴长 ，顶点 1. 渐近线（必考） 轴型：； 轴型： 1. 离心率：，； 越大开口越阔 1. 焦半径：分左右支带正负符号， 【知识点3 抛物线的定义、方程与性质】 1. 定义 平面内到定点 （焦点）与定直线 （准线，）距离相等的点轨迹； 为焦点到准线距离，。 2. 四种标准方程 1. 开口向右：，焦点 ，准线 1. 开口向左：，焦点 ，准线 1. 开口向上：，焦点 ，准线 1. 开口向下：，焦点 ，准线 3. 核心性质 1. 对称轴：一条对称轴，无中心对称；仅有一个顶点 1. 离心率：（固定值） 1. 焦半径：抛物线上 ，如 ： 1. 通径：过焦点垂直对称轴的弦，长度恒为 1. 常用结论：过焦点直线交抛物线 、， 【题型1 椭圆的定义与方程】 1．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【题型2 椭圆的离心率】 1．已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左右焦点分别为，P是椭圆上一点，且成等比数列，则椭圆离心率的最大值为_____________． 4．已知椭圆的左焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为_____． 【题型3 椭圆的焦点三角形问题】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 2．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 3．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 4．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 【题型4 椭圆的性质】 1．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 3．已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 4．已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【题型5 双曲线的定义与方程】 1．已知双曲线的两条渐近线为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________. 4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【题型6 双曲线的离心率】 1．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 2．已知双曲线的两条渐近线与直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为8，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．3 D．5 3．已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 4．已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【题型7 双曲线的焦点三角形问题】 1．设，分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．5 D．10 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 3．设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 4．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 【题型8 双曲线的性质】 1．已知双曲线是坐标原点，是上的一点，过的直线分别与的两条渐近线交于两点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（   ） A． B． C． D． 3．设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 4．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【题型9 抛物线的定义与方程】 1．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为_____. 【题型10 抛物线的性质】 1．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 4．已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______． 1．设抛物线的焦点为，过的直线交于，过且垂直于的直线交于，过点作准线的垂线，垂足为，则错误的是（） A． B． C． D． 2．已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______． 4．已知，则的取值范围为_____. 5．如图，设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线，直线与轴交于点，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点.    (1)用表示点到点的距离； (2)设，若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (3)设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在曲线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 6．椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 7．如图，设常数，已知椭圆方程为.    (1)求离心率的值； (2)设，椭圆上有一点，已知点为圆的圆心，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点，且都不与重合； ①设两条切线的斜率分别为、，求的取值范围； ②是否存在圆使得为直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围． (3)是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1．已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 2．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点 .若双曲线的方程为，下列结论正确的是______. ①若，则； ②当过时，光由所经过的路程为； ③射线所在直线的斜率为，则； ④若，直线与相切，则. 3．如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 4．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 5．已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． (1)求证：在一条直线上，并求该直线的方程； (2)对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 6．已知抛物线与椭圆有一个公共焦点. (1)当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程. (2)若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为. （i）已知是曲线上的动点，求的最小值； （ii）已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 7．在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. (1)已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； (2)射线的方程，如果双曲线经“伸缩变换”后得到双曲线，若射线与双曲线、分别交于两点、，且，求双曲线的方程； (3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得，若，，求数列的通项公式. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $