第15讲 抛物线的几何性质-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第15讲 抛物线的几何性质 1．了解抛物线的几何图形及简单几何性质．　 2．通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．　 3．运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题． 知识点一 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性 质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 在y轴右侧 在y轴左侧 在x轴上面 在x轴下面 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点二 等轴双曲线和共轭双曲线的性质 1．等轴双曲线 (1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)； (2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝． 2．共轭双曲线的性质 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距； (3)离心率不同，但两离心率倒数的平方和等于常数1． 考点一：抛物线的几何性质 例1 已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 　【总结】 求抛物线方程的步骤 [注意]　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程． 变式 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的标准方程和准线方程． 考点二：抛物线性质的应用 例2 (1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长； (2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程． 【总结】 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题； (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题； (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题； (4)焦点：解决焦点弦问题． 变式 抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________． 考点三：抛物线标准方程的实际应用 例3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000 吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 【总结】 求抛物线实际应用的5个步骤 变式 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽____ m． 考点四：焦点弦问题 例4 过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程． 【总结】 1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)； (4)＋＝； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p． 变式 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 2．在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为(　　) 3．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝－y B．x2＝－8y C．y2＝－8x D．y2＝－x 4．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________． 5．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求