暑假作业01 直线与圆的方程（10种题型，巩固培优）高二数学沪教版

**基本信息** 以“直线-圆”知识链为主线，构建“定义-方程-关系-应用”四层逻辑体系，通过类型化解法提炼培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线基础|4题型/12题|倾斜角斜率互化、5种方程形式及限制条件|从倾斜角定义到斜率公式，再到方程形式推导，形成直线表示的完整逻辑链| |圆的方程|1题型/4题|标准方程与一般方程互化、轨迹法求方程|由圆的定义生成标准方程，通过配方转化为一般方程，体现代数与几何的转化| |位置关系|2题型/8题|直线与圆：d与r比较（几何）、判别式（代数）；圆与圆：圆心距与半径关系|从点线距离拓展到线圆、圆圆位置判定，构建距离-半径关系的统一判定框架| |切线/弦长/最值|3题型/16题|切线：分类讨论（圆上/外点）；弦长：几何法（半弦长-半径-距）优先；最值：定点距离、线性、平方型分类求解|以圆的几何性质为核心，结合代数运算，形成“几何优先、代数辅助”的解题策略|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 直线与圆的方程 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1. 倾斜角 直线向上方向与 轴正半轴夹角，范围 ； 水平直线 ；竖直直线 。 1. 斜率 ； 时斜率不存在。 两点 ： 1. 位置关系判定 斜率 · 平行：（斜率都存在）； · 垂直：；一条水平一条竖直也垂直。 【知识点2 直线方程】 1. 点斜式：（无法表示竖直线） 1. 斜截式：， 为纵截距 1. 两点式： 1. 截距式：（，不过原点、不垂直坐标轴） 1. 一般式：（ 不同时为 ） 时，斜率 【知识点3 三种距离公式】 1. 两点距离： 1. 点到直线距离：点 ，直线 1. 两平行线距离：， 【知识点4 圆的定义与方程】 1. 定义：平面内到定点（圆心）距离等于定长 的点的集合。 1. 标准方程：圆心 ，半径 1. 一般方程： 配方： · ：实圆，圆心 ，半径 · ：一个点；：无轨迹 【知识点5 直线与圆的位置关系】 设圆心到直线距离 ，圆半径 1. 相离：，无交点； 2. 相切：，1 个交点； 3. 相交：，2 个交点。 代数法：联立直线与圆方程，消元得一元二次方程，判别式 相交； 相切； 相离。 【知识点6 圆与圆的位置关系】 圆心距 ，两圆半径 （） 1. 外离：； 2. 外切：； 3. 相交：； 4. 内切：； 5. 内含：。 【知识点7 圆中的切线问题】 1. 过圆上一点 切线 圆 ： 2. 过圆外一点求两条切线 设切线斜率 ，点斜式写方程，利用 列方程解 ；斜率不存在单独验证。 3. 切线长公式 圆外点 ，圆 切线长 【知识点8 圆中的弦长问题】 1. 几何法（优先）：半弦长 、圆心距 、半径 构成直角三角形 1. 代数法：联立方程，用韦达定理，弦长公式 【知识点9 圆中的最值问题】 1. 定点到圆上点距离最值 定点 ，圆心 ，半径 最大值：；最小值： 1. 线性最值 形如 ：平移直线，相切时取最值； 形如 ：看作圆上点与定点连线斜率，切线斜率为临界值。 1. 平方型最值 ：原点到圆上点距离平方，套用定点距离结论。 1. 圆心到直线距离最值、动圆参数最值均结合 与 关系分析。 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 3．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 【答案】 【分析】先由直线的法向量推导直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围，根据斜率与倾斜角的对应关系求解倾斜角. 【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数）， 将其化为斜截式即，因此直线的斜率， 设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得， 因为，故，因此. 4．若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 【题型2 直线方程】 1．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 2．设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 3．（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. 4．已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 【题型3 交点坐标与距离公式】 1．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 2．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 3．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 4．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 【题型4 对称问题】 1．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 2．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 3．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 4．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 【题型5 圆的定义与方程】 1．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 3．圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 4．若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程. 【详解】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 【题型6 直线与圆的位置关系】 1．已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题可知，圆的半径为3． 设，由题可知，．设与交于点． 由，可得，则， 因为取最小值的充要条件是取最小值，的最小值为圆心到的距离，即， 所以，解得，此时满足与圆相离． 2．自点发出的光线所在直线与圆相切，则满足条件的的斜率之和为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离相等求解. 【详解】由，整理得， 故圆心，半径， 设的方程为，则到该直线的距离. 化简得， 则该方程有两个不同的解，且. 3．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 4．已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，使得成立，故且，解得， 因此，实数的取值范围是. 解法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点，即直线与圆有交点，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【题型7 圆与圆的位置关系】 1．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 3．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 4．若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行求解即可. 【详解】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【题型8 圆中的切线问题】 1．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 2．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 3．已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【详解】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 4．圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点及圆的方程，再利用圆的性质确定点P的轨迹，进而求出方程. （2）确定点与圆的位置关系，再利用圆的切线性质求出切线方程. 【详解】（1）直线恒过定点，则圆的方程为， 而，则点在圆内，当点与点都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当点与点之一重合时，点也在此圆上， 所以点P的轨迹方程为，即. （2）由，得点在圆上，直线的斜率为， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 【题型9 圆中的弦长问题】 1．已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 【答案】(1) 证明过程见解析 (2) 【分析】（1）整理直线方程求出恒过的定点，证明定点在圆内部，即可得直线与圆恒相交； （2）当直线与定点和圆心的连线垂直时，圆心到直线距离最大，对应截得弦最短，利用垂径定理计算最小值． 【详解】（1）变形为， 令 ，解得，即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径，点到圆心的距离平方：， 故点在圆内部，因此圆与直线恒相交． （2）因为直线过圆内定点，圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小， ，由垂径定理可得最短弦长为 ． 2．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【详解】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 3．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 【题型10 圆中的最值问题】 1．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 2．在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆. (1)求直线l的方程和圆C的方程； (2)P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，进而可求出直线的方程，然后确定为圆C的直径，进而可求出圆C的方程. （2）根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）易知，依题知，直线的方程为. 是直角三角形，圆C是的外接圆，所以为圆C的直径， ∴圆心C为，半径为， ∴圆C的方程为. （2）由（1）知直线l的方程为 ∴圆心C到直线l的距离， ∴P到直线l距离的最大值为. 3．在平面直角坐标系中，圆，直线和点. (1)求圆心到直线的距离； (2)动点在圆上， ①求的最大值与最小值； ②求的取值范围.（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)①最大值8，最小值2；②. 【分析】（1）将圆方程化为标准式得圆心坐标，用点到直线距离公式求距离； （2）①计算点到圆心的距离，结合圆的半径得的最值； ②设目标式为，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离不超过半径求范围. 【详解】（1）圆的方程配方得，圆心，半径. 圆心到直线的距离. （2）①点到圆心的距离. 的最大值为，最小值为. ②设，直线与圆有交点， 圆心到直线的距离不超过半径，即. 解得，即的取值范围为. 4．已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 1．若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，根据对称性得到，进而得到点的轨迹方程，结合向量数量积的坐标表示、圆与圆的位置关系及圆上的点到定点距离的最值求解判断即可. 【详解】由，得，所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，所以. 设，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为. ①，，则. 由圆的方程可知，的范围为， 所以的取值范围是，①正确. ②当时，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆， 联立，解得或，即或. 当时，，直线的方程为，存在； 当时，，直线的方程为，存在； 故当时，符合条件的点有2个，②错误. ③当取到最大值时，，此时在延长线上，坐标为. 此时的中点为，， 所以，即，解得，③正确. 2．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 3．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 【答案】 【详解】联立解得 ∴圆的圆心坐标为． 圆心到直线的距离， 且圆的半径，圆截直线所得弦的长度为4． 由，解得． 4．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 5．经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）使用两点间的斜率公式求解； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，消元，使用韦达定理求解； （3）直线与圆相交几何法计算弦长，使用四边形的面积公式或三角形的面积公式求解. 【详解】（1）为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点； （3）设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又，令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 6．已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系，即可求得答案； （2）联立直线与，结合韦达定理及向量的数量积运算，求解即可； （3）由题意可得，从而得对无穷多的成立，由或，求解即可. 【详解】（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为， 则， 又因为圆与圆相交，所以， 解得， 所以r的取值范围为； （2）由，消去得， ，解得， 设，则有， 所以， 由， 整理得， 又因，则可得； （3）设，，因,则， 因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 则点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即， 依题意，对无穷多的成立， 所以或， 解得或， 即满足条件的点P的坐标有或. 7．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）联立两直线可求出圆心为，写出圆的方程，设切线方程为，利用点到直线的距离等于半径即可求出切线的斜率，写出切线方程. （2）设圆心为， 则圆的方程为：，设为，根据，可得圆方程：，利用两圆有公共点知，即可求解. 【详解】（1）联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为． 若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合题意； 所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或． 所以切线方程为：或. （2）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 设点，由可得，整理得， 由题意可知，圆与圆有公共点，所以， 即，解得． 所以，圆心的横坐标的取值范围是． 8．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（    ）． A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确②不正确 D．①不正确②正确 【答案】A 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有两条，需满足无根，且，此时，从而①正确；同理，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足有1根，且，不妨取，此时，故②正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有两条“直线”，需满足无根即可，且， 由于，所以只需， 故当点坐标为，此时时，满足要求， 故存在点，有且仅有两条“直线”，①正确； 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，②正确. 故选：A 2．已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，可以得到曲线的图象，根据点关于轴对称点是判断曲线的对称性，得到①，利用双曲线的渐近线判断②，结合与圆相切和双曲线的渐近线，判断③，当时，直线恒过定点，根据直线和圆相切，直线和双曲线相切，数形结合判断④. 【详解】当时，，是以为圆心，以为半径的上半圆； 当时，，表示焦点在轴，对称中心在原点的双曲线的轴下方部分； 所以曲线的图象如图所示， 设点在曲线上，则，点关于轴对称点是， 因为，所以曲线关于轴对称，①正确； 当时，直线恒过定点，因为双曲线的渐近线是， 所以当或时，与直线有个交点，当时，与直线有个交点， 所以，②正确； 当时，直线，恒过定点， 当直线与相切时，由得（舍去）， 结合双曲线的渐近线是，当时，直线与曲线有个交点，如， 当或或时，直线与曲线有个交点，如 当时，直线与曲线没有交点，如， 所以，③错误； 当时，直线恒过定点， 由得， 联立得， 由得， 所以要使得直线与曲线有个交点，则或， 即，故④正确； 故选：D. 3．已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 4．已知圆和圆内切，若直线既与圆相切，也与圆相切，则直线的斜率为______． 【答案】 【分析】根据两圆内切求出值，结合切线的性质得到直线应与过两圆圆心的直线垂直，即斜率之积为-1，代入求解即可. 【详解】圆圆心，半径；圆圆心，半径. 因为两圆内切，所以，即， 整理得，解得. 则圆圆心，半径. 设直线的斜率为. 由两圆内切且直线与两圆均相切可得，该直线应与过两圆圆心的直线垂直，    所以，即，解得. 故答案为：. 5．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 【答案】(1)平方米； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立直角坐标系，由时间关系求得的坐标满足的关系即可求出. （2）求出直线的方程，利用直线与圆的位置关系列出不等式求得的范围. 【详解】（1）以点为原点，射线分别为轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 则，设， 由狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，得，即， 则4，整理得， 因此M在以为圆心，为半径的圆及内部， 所以兔子被狼吃掉的点的区域面积平方米. （2）依题意，直线的斜率满足，直线的方程为， 由兔子要想不被狼吃掉，得直线与圆相离， 则，解得，因此，而，解得， 所以锐角的取值范围是. 6．现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，轨迹是以为圆心、为半径的圆 (2)（i）；（ii）存在，点 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【详解】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 7．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析；定值为 【分析】（1）根据题意，求得圆的方程为，分类直线的斜率不存在和斜率存在，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，根据直线的斜率之积为，求得，联立方程组，此时方程组无解；当直线的斜率存在时，设直线，利用斜率公式，列出方程求得，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得，进而得出直线过定点. （3）设直线，联立方程组，求得，同理求得点，求得，即可得证. 【详解】（1）因为圆的圆心坐标为，且该圆经过点， 可得，即圆的半径为，所以圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为，圆的半径为，可得圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式，可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. （2）解：当直线的斜率不存在时，设， 因为直线的斜率之积为，且， 可得，即， 又因为点在圆上，可得， 联立方程组，此时方程组无解，（舍去）； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 由， 整理得， 联立方程组，整理得， 所以， 代入上式，可得， 整理得，所以直线的方程为， 可得直线的方程为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点. （3）解：设直线， 联立方程组，整理得， 所以点的坐标为， 同理可得：点的坐标为， 所以，所以直线的斜率为定值. 8．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 直线与圆的方程 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1. 倾斜角 直线向上方向与 轴正半轴夹角，范围 ； 水平直线 ；竖直直线 。 1. 斜率 ； 时斜率不存在。 两点 ： 1. 位置关系判定 斜率 · 平行：（斜率都存在）； · 垂直：；一条水平一条竖直也垂直。 【知识点2 直线方程】 1. 点斜式：（无法表示竖直线） 1. 斜截式：， 为纵截距 1. 两点式： 1. 截距式：（，不过原点、不垂直坐标轴） 1. 一般式：（ 不同时为 ） 时，斜率 【知识点3 三种距离公式】 1. 两点距离： 1. 点到直线距离：点 ，直线 1. 两平行线距离：， 【知识点4 圆的定义与方程】 1. 定义：平面内到定点（圆心）距离等于定长 的点的集合。 1. 标准方程：圆心 ，半径 1. 一般方程： 配方： · ：实圆，圆心 ，半径 · ：一个点；：无轨迹 【知识点5 直线与圆的位置关系】 设圆心到直线距离 ，圆半径 1. 相离：，无交点； 2. 相切：，1 个交点； 3. 相交：，2 个交点。 代数法：联立直线与圆方程，消元得一元二次方程，判别式 相交； 相切； 相离。 【知识点6 圆与圆的位置关系】 圆心距 ，两圆半径 （） 1. 外离：； 2. 外切：； 3. 相交：； 4. 内切：； 5. 内含：。 【知识点7 圆中的切线问题】 1. 过圆上一点 切线 圆 ： 2. 过圆外一点求两条切线 设切线斜率 ，点斜式写方程，利用 列方程解 ；斜率不存在单独验证。 3. 切线长公式 圆外点 ，圆 切线长 【知识点8 圆中的弦长问题】 1. 几何法（优先）：半弦长 、圆心距 、半径 构成直角三角形 1. 代数法：联立方程，用韦达定理，弦长公式 【知识点9 圆中的最值问题】 1. 定点到圆上点距离最值 定点 ，圆心 ，半径 最大值：；最小值： 1. 线性最值 形如 ：平移直线，相切时取最值； 形如 ：看作圆上点与定点连线斜率，切线斜率为临界值。 1. 平方型最值 ：原点到圆上点距离平方，套用定点距离结论。 1. 圆心到直线距离最值、动圆参数最值均结合 与 关系分析。 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 3．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 4．若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【题型2 直线方程】 1．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 2．设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 3．（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【题型3 交点坐标与距离公式】 1．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 2．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 3．点到直线的最大距离是______． 4．两平行直线与间的距离为______． 【题型4 对称问题】 1．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 2．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 3．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 4．已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【题型5 圆的定义与方程】 1．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．圆的直径的最小值为____________． 4．若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【题型6 直线与圆的位置关系】 1．已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．自点发出的光线所在直线与圆相切，则满足条件的的斜率之和为（    ） A． B． C． D．1 3．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 4．已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【题型7 圆与圆的位置关系】 1．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 4．若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【题型8 圆中的切线问题】 1．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 2．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 3．已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 4．圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 【题型9 圆中的弦长问题】 1．已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 2．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 3．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【题型10 圆中的最值问题】 1．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 2．在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆. (1)求直线l的方程和圆C的方程； (2)P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值. 3．在平面直角坐标系中，圆，直线和点. (1)求圆心到直线的距离； (2)动点在圆上， ①求的最大值与最小值； ②求的取值范围.（直接写出答案） 4．已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 1．若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 3．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 4．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 5．经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． (1)当点B的坐标为时，求直线的方程； (2)记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； (3)求四边形的面积的取值范围． 6．已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 7．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 8．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（    ）． A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确②不正确 D．①不正确②正确 2．已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 3．已知实数满足，，，则的最大值为________ 4．已知圆和圆内切，若直线既与圆相切，也与圆相切，则直线的斜率为______． 5．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 6．现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 8．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $