专题01 导数及其应用（期末复习讲义）高二数学下学期湘教版

专题01 导数及其应用 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 导数概念与基本求导运算 题型02 函数切线问题 题型03 导数在函数单调性问题上的应用 题型04 导数在函数求极值最值上的应用 题型05 导数与不等式恒（能）成立问题 题型06三次函数与导数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念及其几何意义 1.能准确复述导数的定义，区分“平均变化率”与“瞬时变化率”； 2.能熟练运用导数的几何意义，快速求解已知切点的切线方程. 基础必考点，必考选择/填空，以基础题为主，多考查切线方程求解、导数定义的简单辨析，难度中等偏易. 导数的运算 1.能熟练掌握基本初等函数的导数公式，无遗漏、无符号错误； 2.能准确运用四则运算法则求导，能对复杂函数（如分式、乘积型）进行求导化简； 3.掌握复合函数求导方法 核心工具，贯穿全卷，所有导数大题、小题均需用到，单独考查以选择/填空为主，考查公式应用、四则运算、复合函数求导. 利用导数判断函数的单调性 1.准确掌握导数与单调性的关系，明确“导数符号决定单调性”； 2.能熟练完成“求导→解不等式（或）→结合定义域→写出单调区间”的完整步骤； 3.能利用函数单调性，快速比较两个自变量对应的函数值大小，解决简单的大小比较问题； 4.能处理“已知单调性求参数”问题，掌握“分离参数法”“分类讨论法”，准确确定参数的取值范围（不遗漏定义域限制）. 高频考点，大题必考，多以解答题形式考查，常结合函数解析式（分式、指数、对数、二次型），先求单调区间，再结合单调性求参数，难度中等. 利用导数求函数的极值与最值 1.能准确区分“极值”与“最值”，牢记极值的判断方法（导数符号变化），不混淆“导数为0的点”与“极值点”； 2.能熟练完成求极值的完整步骤，准确判断导数符号变化，求出极值点和极值，无计算错误； 3.能掌握闭区间上函数最值的求解方法，不遗漏端点函数值，准确比较极值与端点值，确定最值4.能解决“已知极值求参数”问题，结合导数方程的根的情况，分类讨论参数范围，避免漏解 核心重点，大题必考，常与单调性结合考查（先求单调区间，再求极值/最值），偶尔结合参数，难度中等偏难. 导数在不等式中的简单应用 1.能掌握“构造函数法”证明不等式，准确构造差函数（如），通过求导判断单调性、求最值，完成不等式证明； 2.能结合函数单调性，将不等式转化为与的大小关系（注意函数定义域）； 3.能处理不等式恒成立问题，熟练运用“最值法”（恒成立→最值满足条件），结合分离参数法，快速求解参数范围. 高频难点，期中常考，解答题压轴设问，常结合指数、对数函数，考查不等式证明、恒成立求参数，难度偏难，是拉开分差的关键. 知识点01 导数的定义与本质 平均变化率：函数在区间上的变化率为 瞬时变化率（导数定义）：函数在处的导数 导函数：若在区间内每一点可导，则为其导函数，记作或 知识点02 导数的几何意义 函数在处的导数等于该点切线的斜率，即 切线方程：已知切点，切线方程为 法线方程：与切线垂直的直线，斜率为（） 知识点03 核心公式与法则 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 备注 （常数） 常数的导数为0 （） 幂函数求导，指数减1，系数乘原指数 自然指数函数导数不变 （） 一般指数函数导数乘 （） 自然对数函数导数为 （） 一般对数函数导数乘 正弦导数为余弦 余弦导数为负正弦 2.导数的四则运算法则 和差法则： 数乘法则：（为常数） 乘积法则： 商法则：（） 3.复合函数求导法则 若，，则复合函数的导数为： 知识点04 利用导数判断函数单调性 1.确定函数的定义域（关键前提，忽略定义域必出错） 2.求导得，并化简（因式分解便于解不等式） 3.解不等式，得单调递增区间；解，得单调递减区间 4.结合定义域，写出最终单调区间（区间之间用“，”或“和”连接，不能用） 知识点05 利用导数求函数的极值与最值 极值求解步骤： 1.求定义域，求导 2.求的根（驻点），以及不存在的点 3.用驻点划分定义域，判断在各区间的符号 4.根据符号变化判定极值：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点；符号不变→无极值 5.计算极值点对应的函数值，得极值 闭区间最值求解步骤： 1.求开区间内的极值点及极值 2.求闭区间端点的函数值、 3.比较极值与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值 知识点06 三次函数的图像与性质 三次函数一般形式：（） 图像与性质： 参数特征 图像趋势 极值情况 单调性规律 左低右高（时；时） 有两个极值点（极大值+极小值）当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 左高右低（时；时） 有两个极值点当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 图像与x轴相切 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 图像与x轴仅有一个交点 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 极值判定（三次函数核心） 求导得，计算判别式 若：有两个不等实根（） 当时：为极大值点，为极小值点，极大值，极小值 当时：为极小值点，为极大值点，极小值，极大值 若：恒正或恒负，函数无极值 题型一 导数概念与基本求导运算 解｜题｜技｜巧 1.定义秒杀技巧：极限式完全匹配导数定义式，无需极限运算，直接读取对应点导数值；物理题型：平均变化率=平均速度，瞬时导数=瞬时速度； 2.函数求导提速技巧：多项式优先拆分、分式提前化简、乘积函数优先观察结构；复合函数逐层剥离，杜绝漏层、符号写错； 3.避错技巧：对数函数自带定义域、常数项导数直接为0，做题优先圈画常数与真数。 【典例1】(24-25高二上·北京朝阳区·期末)建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【典例2】(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高二上·浙江温州·期末)已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【变式3】(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二上·浙江宁波九校·期末)下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高二上·河南许昌·期末)已知函数满足，则______. 【变式6】(24-25高二上·山西阳泉·期末)当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 题型二 函数切线问题 解｜题｜技｜巧 模型一：点在曲线上（切点已知）技巧：定点=切点→求导代x→得斜率→点斜式写方程，三步秒杀； 模型二：点在曲线外（切点未知）技巧：设切点→写切线方程→代入已知定点→解方程求切点→回代切线； 拔高技巧：公切线问题：两条曲线切线斜率相等、切线方程重合，联立切点方程组求解； 【典例1】(24-25高二下·北京延庆区·期末)已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【典例2】(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高二上·湖北武汉重点中学·期末)设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·安徽合肥第一中学·)已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 【变式4】(23-24高二下·广东中山第一中学·期末)若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 题型三 导数在函数单调性问题上的应用 解｜题｜技｜巧 前置技巧：定义域优先原则，对数、分式、根式函数定义域第一步书写，占1分踩分点； 无参函数技巧：导函数因式分解→直接判根→结合定义域划分区间； 含参函数核心技巧：导函数为二次型，讨论顺序：二次项系数→判别式Δ→两根大小关系； 单调性反求参数技巧：单调递增⇔导数≥0恒成立，优先参数分离，避开分类讨论； 格式技巧：单调区间分开书写，禁止并集连接，扣分重灾区。 【典例1】(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【典例2】(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期末)已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 【典例3】(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二·河北石家庄第二中学·期末)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【变式2】(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 【变式4】(24-25高二下·内蒙古集宁一中·期末)已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型四 导数在函数求极值最值上的应用 解｜题｜技｜巧 极值判定核心技巧：导数为0只是必要条件，左右变号才是极值；左正右负极大值、左负右正极小值； 已知极值求参技巧：导数为0求参数→带回原函数检验极值真实性，不检验直接扣分； 闭区间最值秒杀技巧：极值点函数值+左右端点函数值，四值对比取最值，无需额外分析； 易错技巧：开区间函数无最值，仅存在极值；端点不取，最值只能在极值点取得。 【典例1】(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)（多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【典例2】(23-24高二上·江苏扬州·期末)已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【变式1】(24-25高二上·江苏连云港·期末)函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【变式2】(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知函数在处取得极大值，则实数的值是___. 【变式4】(24-25高二上·山西晋中·期末)已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【变式5】(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 题型五 导数与不等式恒（能）成立问题 解｜题｜技｜巧 单变量不等式证明技巧：移项构造新函数→化简新函数→求导判单调性→代入端点最值完成证明，固定模板； 恒成立优先级技巧：参数能分离，优先分离参数转化为新函数最值问题；参数不能分离，分类讨论导函数最值； 恒成立/能成立口诀技巧：任意恒成立看整体最值，存在能成立看局部最值； 应试提速技巧：期末基础压轴不考放缩，纯构造函数即可解题，无需超纲方法。 【典例1】(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【典例2】(24-25高二下·河南南阳六校·期末)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【变式1】(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 【变式2】(24-25高二下·海南海口·期末)（多选）若对恒成立，则k的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族·期末)设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高二下·广东深圳高级中学·期末)已知函数，在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知函数，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型六 三次函数与导数综合 解｜题｜技｜巧 极值个数秒杀技巧：三次函数导函数为二次函数，直接计算判别式Δ，无需列表分析单调性； 无极值速解技巧：题目已知三次函数无极值⇔导函数二次式Δ≤0，直接列不等式求解参数； 图像趋势技巧：首项系数定走势，a>0右下左上、a<0左下右上，快速判断零点、最值； 【典例1】(24-25高二下·广东肇庆·期末)（多选）若函数，下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．是的极小值点 C．没有最大值也没有最小值 D．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 【典例2】(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)（多选）函数，则下列结论正确的是（   ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则 【变式1】(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【变式2】(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)（多选）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 【变式3】(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)（多选）已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．函数有且仅有一个零点 C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高二上·山东滨州·期末)已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 4．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)若函数在处取得极小值，则_____． 5．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)若是函数极值点，则______. 6．(24-25高二上·山西·期末)已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 8．(24-25高二下·广东湛江第二中学·期末)（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高二下·广西百色·期末)已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 2．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 3．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 4．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 5．(24-25高二上·贵州黔西南州金成实验学校·期末)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 6．(24-25高二下·河南郑州中牟县·期末)已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数，，. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 8．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数及其应用 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 导数概念与基本求导运算 题型02 函数切线问题 题型03 导数在函数单调性问题上的应用 题型04 导数在函数求极值最值上的应用 题型05 导数与不等式恒（能）成立问题 题型06三次函数与导数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念及其几何意义 1.能准确复述导数的定义，区分“平均变化率”与“瞬时变化率”； 2.能熟练运用导数的几何意义，快速求解已知切点的切线方程. 基础必考点，必考选择/填空，以基础题为主，多考查切线方程求解、导数定义的简单辨析，难度中等偏易. 导数的运算 1.能熟练掌握基本初等函数的导数公式，无遗漏、无符号错误； 2.能准确运用四则运算法则求导，能对复杂函数（如分式、乘积型）进行求导化简； 3.掌握复合函数求导方法 核心工具，贯穿全卷，所有导数大题、小题均需用到，单独考查以选择/填空为主，考查公式应用、四则运算、复合函数求导. 利用导数判断函数的单调性 1.准确掌握导数与单调性的关系，明确“导数符号决定单调性”； 2.能熟练完成“求导→解不等式（或）→结合定义域→写出单调区间”的完整步骤； 3.能利用函数单调性，快速比较两个自变量对应的函数值大小，解决简单的大小比较问题； 4.能处理“已知单调性求参数”问题，掌握“分离参数法”“分类讨论法”，准确确定参数的取值范围（不遗漏定义域限制）. 高频考点，大题必考，多以解答题形式考查，常结合函数解析式（分式、指数、对数、二次型），先求单调区间，再结合单调性求参数，难度中等. 利用导数求函数的极值与最值 1.能准确区分“极值”与“最值”，牢记极值的判断方法（导数符号变化），不混淆“导数为0的点”与“极值点”； 2.能熟练完成求极值的完整步骤，准确判断导数符号变化，求出极值点和极值，无计算错误； 3.能掌握闭区间上函数最值的求解方法，不遗漏端点函数值，准确比较极值与端点值，确定最值4.能解决“已知极值求参数”问题，结合导数方程的根的情况，分类讨论参数范围，避免漏解 核心重点，大题必考，常与单调性结合考查（先求单调区间，再求极值/最值），偶尔结合参数，难度中等偏难. 导数在不等式中的简单应用 1.能掌握“构造函数法”证明不等式，准确构造差函数（如），通过求导判断单调性、求最值，完成不等式证明； 2.能结合函数单调性，将不等式转化为与的大小关系（注意函数定义域）； 3.能处理不等式恒成立问题，熟练运用“最值法”（恒成立→最值满足条件），结合分离参数法，快速求解参数范围. 高频难点，期中常考，解答题压轴设问，常结合指数、对数函数，考查不等式证明、恒成立求参数，难度偏难，是拉开分差的关键. 知识点01 导数的定义与本质 平均变化率：函数在区间上的变化率为 瞬时变化率（导数定义）：函数在处的导数 导函数：若在区间内每一点可导，则为其导函数，记作或 知识点02 导数的几何意义 函数在处的导数等于该点切线的斜率，即 切线方程：已知切点，切线方程为 法线方程：与切线垂直的直线，斜率为（） 知识点03 核心公式与法则 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 备注 （常数） 常数的导数为0 （） 幂函数求导，指数减1，系数乘原指数 自然指数函数导数不变 （） 一般指数函数导数乘 （） 自然对数函数导数为 （） 一般对数函数导数乘 正弦导数为余弦 余弦导数为负正弦 2.导数的四则运算法则 和差法则： 数乘法则：（为常数） 乘积法则： 商法则：（） 3.复合函数求导法则 若，，则复合函数的导数为： 知识点04 利用导数判断函数单调性 1.确定函数的定义域（关键前提，忽略定义域必出错） 2.求导得，并化简（因式分解便于解不等式） 3.解不等式，得单调递增区间；解，得单调递减区间 4.结合定义域，写出最终单调区间（区间之间用“，”或“和”连接，不能用） 知识点05 利用导数求函数的极值与最值 极值求解步骤： 1.求定义域，求导 2.求的根（驻点），以及不存在的点 3.用驻点划分定义域，判断在各区间的符号 4.根据符号变化判定极值：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点；符号不变→无极值 5.计算极值点对应的函数值，得极值 闭区间最值求解步骤： 1.求开区间内的极值点及极值 2.求闭区间端点的函数值、 3.比较极值与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值 知识点06 三次函数的图像与性质 三次函数一般形式：（） 图像与性质： 参数特征 图像趋势 极值情况 单调性规律 左低右高（时；时） 有两个极值点（极大值+极小值）当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 左高右低（时；时） 有两个极值点当且仅当 导数，时单调递增；时单调递减 图像与x轴相切 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 图像与x轴仅有一个交点 无极值（导数不变号） 函数在上单调（递增，递减） 极值判定（三次函数核心） 求导得，计算判别式 若：有两个不等实根（） 当时：为极大值点，为极小值点，极大值，极小值 当时：为极小值点，为极大值点，极小值，极大值 若：恒正或恒负，函数无极值 题型一 导数概念与基本求导运算 解｜题｜技｜巧 1.定义秒杀技巧：极限式完全匹配导数定义式，无需极限运算，直接读取对应点导数值；物理题型：平均变化率=平均速度，瞬时导数=瞬时速度； 2.函数求导提速技巧：多项式优先拆分、分式提前化简、乘积函数优先观察结构；复合函数逐层剥离，杜绝漏层、符号写错； 3.避错技巧：对数函数自带定义域、常数项导数直接为0，做题优先圈画常数与真数。 【典例1】(24-25高二上·北京朝阳区·期末)建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误；对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于，故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误；对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确.故选：D. 【典例2】(24-25高二上·陕西西安新城区·期末)若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处可导，所以 .故选：B. 【变式1】(24-25高二上·浙江温州·期末)已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 【变式2】(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】根据导数的定义，.故选：D. 【变式3】(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得平均速度是.故选：A 【变式4】(24-25高二上·浙江宁波九校·期末)下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A不正确；，B不正确； ，C不正确；，D正确.故选：D 【变式5】(24-25高二上·河南许昌·期末)已知函数满足，则______. 【答案】 【详解】由函数，可得，令，可得，即，解得.故答案为：. 【变式6】(24-25高二上·山西阳泉·期末)当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由，即，即，所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得.故选：D. 题型二 函数切线问题 解｜题｜技｜巧 模型一：点在曲线上（切点已知）技巧：定点=切点→求导代x→得斜率→点斜式写方程，三步秒杀； 模型二：点在曲线外（切点未知）技巧：设切点→写切线方程→代入已知定点→解方程求切点→回代切线； 拔高技巧：公切线问题：两条曲线切线斜率相等、切线方程重合，联立切点方程组求解； 【典例1】(24-25高二下·北京延庆区·期末)已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由已知，则，且，，由曲线在点处的切线方程为，则，解得，故选：B. 【典例2】(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，设切点为，则，切线方程为，又切线过点，，整理得， 切线方程为，则.故选：C. 【变式1】(24-25高二上·湖北武汉重点中学·期末)设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以，即，所以曲线在点处的切线的斜率是.故选：A. 【变式2】(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则， 所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即，故选：A. 【变式3】(25-26高三上·安徽合肥第一中学·)已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点，由，得，因为与曲线相切，所以，消去，得，解得，所以，设与曲线相切于点，由，得，即，解得，因为是与曲线的公共点，所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 【变式4】(23-24高二下·广东中山第一中学·期末)若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由函数，得，所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得，又，即，又，所以得的取值范围是.故选：C 【变式5】(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，设此时，，，则此时点处的切线斜率，因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小，最小距离为.故选：B. 题型三 导数在函数单调性问题上的应用 解｜题｜技｜巧 前置技巧：定义域优先原则，对数、分式、根式函数定义域第一步书写，占1分踩分点； 无参函数技巧：导函数因式分解→直接判根→结合定义域划分区间； 含参函数核心技巧：导函数为二次型，讨论顺序：二次项系数→判别式Δ→两根大小关系； 单调性反求参数技巧：单调递增⇔导数≥0恒成立，优先参数分离，避开分类讨论； 格式技巧：单调区间分开书写，禁止并集连接，扣分重灾区。 【典例1】(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为，即函数图像在点的切线斜率，所以，由，解得或， 即函数的单调递增区间是，.故选：D. 【典例2】(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期末)已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由函数，可得，因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解，设，可得，所以函数在单调递增，所以，所以.故答案为：. 【典例3】(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（），则.令得，所以函数在区间单调递增.因为，所以，即，即，所以. 故选：B. 【变式1】(25-26高二·河北石家庄第二中学·期末)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【详解】因为函数的导函数为，令，即得， 所以函数的单调递增区间是.故选：B. 【变式2】(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 在上恒成立，令，.(当且仅当时等号成立).所以.故选：D. 【变式3】(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【详解】函数在定义域为R，求导得，依题意，，即恒成立，而，则，所以实数的取值范围是.故答案为： 【变式4】(24-25高二下·内蒙古集宁一中·期末)已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增，则，因此；令函数，求导得，令，求导得，由，得，则，即，函数在上单调递增，，，函数在上单调递增，，因此，所以.故选：B 【变式5】(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】即，即,令，则，依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减，又因为，所以等价于，由单调性可得，即.故答案为：B. 题型四 导数在函数求极值最值上的应用 解｜题｜技｜巧 极值判定核心技巧：导数为0只是必要条件，左右变号才是极值；左正右负极大值、左负右正极小值； 已知极值求参技巧：导数为0求参数→带回原函数检验极值真实性，不检验直接扣分； 闭区间最值秒杀技巧：极值点函数值+左右端点函数值，四值对比取最值，无需额外分析； 易错技巧：开区间函数无最值，仅存在极值；端点不取，最值只能在极值点取得。 【典例1】(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)（多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确．故选：BC． 【典例2】(23-24高二上·江苏扬州·期末)已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得，所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以．即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 【变式1】(24-25高二上·江苏连云港·期末)函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【详解】由函数，可得，当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为.故选：B. 【变式2】(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得，，令，则， 当或时，，则在和上单调递增，当时，，则在上单调递减，且时时， 要使函数既有极大值又有极小值，即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点，所以.故选：A. 【变式3】(24-25高二上·陕西榆林第一中学·期末)已知函数在处取得极大值，则实数的值是___. 【答案】3 【详解】由得，因为函数在处取得极大值，所以是方程的根，因此或，即或；①若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；此时函数在处取得极小值，不符合题意；②若，则，当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意；故答案为：3. 【变式4】(24-25高二上·山西晋中·期末)已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【详解】根据图象可知当时，，可得；当时，，可得；结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减；当时，，仅当时取等号，可得，对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增，因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误；对于C，易知当时，，当时，，即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；对于D，因为时，，由，可得，因此，即D错误.故选：A. 【变式5】(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 题型五 导数与不等式恒（能）成立问题 解｜题｜技｜巧 单变量不等式证明技巧：移项构造新函数→化简新函数→求导判单调性→代入端点最值完成证明，固定模板； 恒成立优先级技巧：参数能分离，优先分离参数转化为新函数最值问题；参数不能分离，分类讨论导函数最值； 恒成立/能成立口诀技巧：任意恒成立看整体最值，存在能成立看局部最值； 应试提速技巧：期末基础压轴不考放缩，纯构造函数即可解题，无需超纲方法。 【典例1】(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】不等式恒成立，若，恒成立，而当时，此不等式不成立；若，则，而当时，，不符合题意；因此，，不等式，令函数，求导得，函数在上递增，不等式，因此不等式在恒成立，令，即恒成立，而，则，又，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，于是，令，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为.故选：D 【典例2】(24-25高二下·河南南阳六校·期末)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为对任意的，总存在，使得，所以，，令，得或（舍去）.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故；，则，因为，所以在上恒成立，则在上单调递减，，所以，故.故答案为： 【变式1】(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】因为，，不等式，令，求导得，当且仅当取等号，在上递增，当时，，恒成立，则；当时，，由，得或，此时或；当时，，由恒成立，的取值集合为，则，此时则，因此正实数t的取值范围是或，所以的最大值为. 故选：C. 【变式2】(24-25高二下·海南海口·期末)（多选）若对恒成立，则k的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【详解】由得，所以，令，则， 令，，由题意可知恒成立．设与图象相切且与直线平行的直线为，切点，所以，，即，切点， 又因为，过点，由，解得，由恒成立得，CD正确．故选：CD 【变式3】(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族·期末)设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意不等式，令，求导得.当时，，函数在上单调递增，值域为R，不符合题意;当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，.所以原不等式恒成立的充分必要条件是（＊），即，亦即，故B错误，D正确；当时，，条件（＊）成立，但C不成立，故C错误；取，满足（＊），但，此时A不成立，故A错误.故选：D 【变式4】(24-25高二下·广东深圳高级中学·期末)已知函数，在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以为偶函数，只需考虑即可， 因为，所以，设，则，当时，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意，取，此时，则，不合题意，A不正确，综上所述，实数a的取值范围是，故选：C． 【变式5】(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)已知函数，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【详解】设，，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，的极小值为，又因为，，所以有两个零点，． 且，即得，①，若，，则的零点也为，， 且，代入①式得，所以．故选：D． 题型六 三次函数与导数综合 解｜题｜技｜巧 极值个数秒杀技巧：三次函数导函数为二次函数，直接计算判别式Δ，无需列表分析单调性； 无极值速解技巧：题目已知三次函数无极值⇔导函数二次式Δ≤0，直接列不等式求解参数； 图像趋势技巧：首项系数定走势，a>0右下左上、a<0左下右上，快速判断零点、最值； 【典例1】(24-25高二下·广东肇庆·期末)（多选）若函数，下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．是的极小值点 C．没有最大值也没有最小值 D．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，对于：的单调递减区间是，故正确；对于：由单调性可知是极大值点，故错误；对于：当时，，当时，，结合的单调性可知，既没有最大值也没有最小值，故正确；对于：在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，， 函数在区间上有两个零点，则的取值范围为.故正确. 故选：. 【典例2】(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)（多选）函数，则下列结论正确的是（   ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，有极值点，有两个不等的零点，，解得：，A错误；对于B，当时，若成立，则在上有根；在上有根，令，则与有交点，，在上单调递减，当时，；当时，；，无论取何值，与均有交点，即至少存在一个正根，B正确；对于C， ，的对称点为，的对称点在直线上，C正确；对于D，，必有极值点，知；， ，，， ， ，，，D正确.故选：BCD. 【变式1】(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 【变式2】(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)（多选）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，则，令，得到或，当或时，，当，，所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确，对于B，令，得到，显然不满足方程，所以， 令，，则，令，得到，由，得以，且，由，得或，即的增区间为，减区间为，又，当时，，当（从左侧）时，，当（从右侧）时，，当时，，图象如图，由图知，当或时，与有三个交点，即有三个零点，所以B正确，对于C，因为，由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减，所以，即，故C错误，对于D，因为，所以，整理得到，所以，解得，故D正确，故选：ABD. 【变式3】(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)（多选）已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．函数有且仅有一个零点 C．函数恰有两个极值点 D．函数在有最小值，无最大值 【答案】BC 【详解】对于A项，由已知.又函数在处取得极小值， 所以有，解得或.当时，有.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极小值，满足条件；当时，有.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去.故.A项错误；对于B项，由A知，， 且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.又，，根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上没有零点，在上没有零点.又，根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上有一个零点，在上没有零点.综上所述，函数有且仅有一个零点.故B正确；对于C项，由A可知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以，在处取得极大值，在处取得极小值.故C正确；对于D项，由A知，在上单调递增，在上单调递减.所以，在处取得最大值，无最小值.故D错误.故选：BC. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高二上·山东滨州·期末)已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，故，解得.故选：A. 2．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，设切点为，则，切线方程为，又切线过点，，整理得， 切线方程为，则.故选：C. 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由得，则当时，；则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得，所以，可知，则， 故选：C. 4．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)若函数在处取得极小值，则_____． 【答案】/ 【详解】的定义域为，,令， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以是的极小值点，所以，故答案为：. 5．(24-25高二下·福建泉州第七中学·期末)若是函数极值点，则______. 【答案】2 【详解】已知，求导得：.因为是极值点，所以，解得.当时，，，当时，，当时，， 所以是极值点，符合题意.所以.故答案为：2. 6．(24-25高二上·山西·期末)已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以.故选：A. 7．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】，，解得：或； 当时，，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，符合题意； 当时，，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不合题意； 综上所述：.故选：A. 8．(24-25高二下·广东湛江第二中学·期末)（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，则在上单调递增，故A错误，不是的极小值点，故B错误，是的极大值点，故C正确，由导函数的图像可知，所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确．故选：CD． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高二下·广西百色·期末)已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)减区间，增区间 (2)最大值为，最小值为. 【详解】（1），若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 2．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【详解】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 3．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 4．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 5．(24-25高二上·贵州黔西南州金成实验学校·期末)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 6．(24-25高二下·河南郑州中牟县·期末)已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，使得成立，则，函数，，令得，当时，单调递减，当时，，单调递增，在处取极小值，也是最小值，函数的最小值为，，则，所以.故选：A. 7．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数，，. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由题，    令得，             且时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值为.   故极小值为，无极大值. （2）由恒成立，         令，，则，     令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，使得， 即，且，则，                 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，     因为恒成立，即，即. 所以的取值范围为. 8．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. （2）. 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $