21.3特殊的平行四边形复习学案——2025—2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以“知识检测-例题提升-巩固练习”分层设计，覆盖矩形、菱形、正方形性质判定，从基础概念到综合应用，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识检测|单一图形性质判定|选择填空为主，如矩形折叠原理（第2题）| |例题提升|性质判定综合应用|证明与计算结合，如菱形证矩形（例1）| |巩固练习|跨图形动态问题|含实际情境（菱形窗户）与折叠计算（第10题）|

第21章21.3特殊的平行四边形复习学案——2025—2026学年度人教版八年级数学下学期期末复习 一、复习内容： 1.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗? 2.矩形、菱形、正方形的性质与判定综合问题 二、知识检测： 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 2.如图，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为若沿把所折部分剪下来，展开是一个正方形，其数学原理是(    ) A. 正方形是轴对称图形 B. 邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 正方形被对角线分成两个全等的等腰三角形 第5题图 第3题图 第4题图 第2题图 3.如图，在菱形中，若，则菱形的周长为(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，正方形的对角线相交于点，则图中共有等腰直角三角形(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为(    )  A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第10题图 第9题图 第8题图 第7题图 第6题图 7.如图，在四边形中，对角线，互相垂直平分若使四边形是正方形，则需要再添加的一个条件为           图形中不再添加辅助线，写出一个条件即可． 8.如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的锐角的度数应为          ． 9.如图，在正方形中，延长至点，使得，连接，交于点，则的度数为          ． 10.如图，已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为          ． 11.如图，在中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接求证：四边形是菱形． 12.如图，在▱中，对角线，相交于点，． 求证：▱是矩形 点在边上，满足若，，求的长． 三、例题提升： 例1如图，菱形的对角线、交于点，，． 证明：四边形是矩形； 若，，求的长度． 例2如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 如果，求的度数． 例3如图，在矩形中，是边上一点，平分，交边于点，连接． 求证：四边形是正方形． 若，，求的长． 例4某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 四、巩固练习： 1.如图，在菱形中，与相交于点，，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 第6题图 第5题图 第4题图 第3题图 第1题图 2.下列说法错误的是(    ) A. 正方形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 3.如图，在正方形中，是对角线上一点，连结，，延长交边于点若，则  (    ) A. B. C. D. 4.如图，是线段上的一点，分别以，为边在同侧作正方形，若，两正方形的面积和为，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.对于四边形，给出下列组条件：；；，；其中能得到“四边形是矩形”的有          填序号 8.如图，在正方形中，，分别是，的中点，若，则的长是           ． 第10题图 第9题图 第8题图 9.如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是          ． 10.如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为          ． 11.如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，，交于点，连接． 求证：四边形是矩形 若，，求和的长． 12.综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以，为邻边作矩形，连接． 猜想证明：求证：四边形是正方形． 解决问题： 求的度数． 若，，请直接写出的长． 答案 知识检测： 1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.答案不唯一  8.  9. 10.  11.证明：四边形是平行四边形，．．平分，．．．，．四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形．  12.【小题】证明：四边形是平行四边形，，．，．，．▱是矩形． 【小题】四边形是矩形，且，，在中，由勾股定理，得，．，．． 例题提升： 1.，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； 四边形是菱形， ，， 由知，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ． 2.证明：四边形是矩形，  ，  ，，  垂直平分，  ，  ≌，  ，  ，  四边形是平行四边形，  ，  四边形是菱形；  四边形是矩形，  ，  ，  ，  四边形是菱形，  ，  ．  3.【小题】：证明：四边形是矩形，，． ，．四边形是矩形． 平分，． ，． ．矩形是正方形． 【小题】四边形是正方形， ．，．． ． 4.（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点G作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴同理可得：， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 巩固练习： 1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.B 7.  8.  9.  10.  11.【小题】证明：四边形是菱形， ． 是的中点， 是的中位线． ．， 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形． 【小题】四边形是菱形， ，． ． 是的中点， ． 由知四边形是矩形， ．， ． 在中，． ． 12.【小题】证明：过点作于点，作于点．四边形是正方形，，．，且．四边形为正方形，．四边形是矩形，．在和中，．．．矩形是正方形． 【小题】矩形是正方形，，．四边形是正方形，，．．．． 【小题3】或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $