8.1.2 样本相关系数学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学学案聚焦样本相关系数的核心知识点，涵盖定义、正负相关关系及线性相关程度。课堂导入从已学散点图定性分析切入，过渡到定量描述，构建从直观到抽象的学习支架，系统梳理成对数据相关性分析脉络。 该学案通过选择、多选题结合散点图与实际数据，引导学生用数学眼光观察数据关联，用数学思维推理相关程度，用数学语言表达统计规律。习题层次分明，解析详尽，有效提升数据分析能力与逻辑推理素养，助力深度学习。

第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.2 样本相关系数 学案 一、学习目标 1.结合实例，了解样本相关系数的定义. 2.会通过相关系数比较变量的相关性. 2、 基础梳理 1.样本相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中和的均值分别为和，则有，称r为变量x和变量y的样本相关系数. 2.样本相关系数与正、负相关的关系：样本相关系数r的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关. 3.样本相关系数与线性相关程度的关系：样本相关系数r的取值范围为. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 三、巩固练习 1.对于样本相关系数r，下列说法中正确的是( ) A.r越大，线性相关程度越强 B.越小，线性相关程度越强 C.越大，线性相关程度越弱 D.，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱 2.如图1,2分别表示样本容量均为7的A、B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为( ) A. B. C. D.无法判断 3.变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3，2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U与V相对应的组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）. 为变量Y与X之间的样本相关系数，为变量U与V之间的样本相关系数，则( ) A. B. C. D. 4.某同学将收集到的六组数据制成如图所示的散点图，并通过计算得到其经验回归直线的方程为，其样本相关系数为，决定系数为.经过残差分析确定点F为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再利用剩下的五组数据计算得到其经验回归直线的方程为，其样本相关系数为，决定系数为.以下结论中不正确的是( ) A. B. C. D. 5.对于回归分析,下列说法错误的是( ) A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,则因变量不能由自变量唯一确定 B.线性相关系数可以是正的也可以是负的 C.在回归分析中,如果,说明与之间完全线性相关 D.样本相关系数可以是任意实数 6.（多选）下列说法中正确的有( ) A.在对分类变量X和Y进行独立性检验时，随机变量的值越大，则“X与Y有关”可信程度越小 B.在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y增加0.1个单位 C.两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D.在回归分析模型中，若决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好 7. （多选）下面各图中，散点图与相关系数r符合的有( ) A. B. C. D. 8. （多选）下列说法中正确的是( ) A.对于独立性检验,的值越大,说明两事件的相关程度越大 B.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则的值分别是和0.3 C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中,,则 D.通过回归直线及回归系数,可以精确反映变量的取值和变化趋势 答案以及解析 1.答案：D 解析：对于选项A，越大，线性相关程度越强，A错误； 对于选项B,越小，线性相关程度越弱，B错误； 对于选项C,越大，线性相关程度越强，C错误； 对于选项D,，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，D正确. 故选D. 2.答案：C 解析：由题图1可知，散点几乎在一条直线上，且成正相关，，由题图2可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关, .A组成对数据的线性相关程度比B组强些，，故选C. 3.答案：B 解析：由变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）,（13,5），可得变量Y与X之间成正相关，因此； 由变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），可得变量U与V之间成负相关，因此.故. 4.答案：B 解析：由题图可知两变量正线性相关，故，且，故，故A中结论正确，B中结论不正确.经计算可得，在去除点F前，，去除点F后，.又经验回归直线必经过点（3.5,2.5），所以，故C中结论正确.经验回归直线必经过点（3,2），所以，所以，故D中结论正确.故选B. 5.答案：D 解析：对于A,在回归分析中,变量间的关系非函数关系,所以因变量不能由自变量唯一确定,A中说法正确；对于B,,正相关,,负相关,B中说法正确；对于C,在回归分析中,如果,说明与之间完全线性相关,C中说法正确；对于D,相关系数的范围是,D中说法错误.故选D. 6.答案：CD 解析：由题意得，根据的值越大，分类变量的有关联的可信度就越大，所以A是错误的；根据经验回归方程中回归系数的含义，可知在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y平均增加0.1个单位，B是错误的；根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的相关性就越强，所以C是正确的；根据回归分析的基本思想可知决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D是正确的.故选CD. 7.答案：ACD 解析：对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以相关系数，A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以相关系数，B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，C正确；对于D，散点图中，x,y之间的相关关系非常不明显，所以相关系数，D正确.故选ACD. 8.答案：ABC 解析：对于A,根据独立性检验的性质知,的值越大,说明两个事件的相关程度越大,故A正确； 对于B,由,两边取自然对数,可得, ,则,因为,所以则故B正确； 对于C,由于回归直线过点,故C正确； 对于D,通过回归直线及回归系数,可预测变量的取值和变化趋势,故D错误.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $