专题04 四边形（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题04 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 多边形的基本概念 题型二 多边形的对角线问题 题型三 多边形内角和问题 题型四 正多边形 题型五 多边形内角和与外角和综合 题型六 平面镶嵌 题型七 平行四边形的判定 题型八 平行四边形的性质 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 题型十 矩形的判定 题型十一 矩形的性质 题型十二 矩形与折叠问题 题型十三 菱形的判定 题型十四 菱形的性质 题型十五 正方形的判定 题型十六 正方形的性质 题型十七 （特殊）平行四边形的存在性问题 题型十八 三角形中位线定理 题型十九 中点四边形 题型二十 梯形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形相关概念、内角和与外角和 能熟记多边形相关概念，熟练运用内角和、外角和公式进行计算 基础必考小题，易错点为记错内角和公式、对角线条数计算公式 平行四边形的性质与判定 能运用平行四边形的性质解题，依据判定定理证明四边形为平行四边形 核心高频考点，选择、填空、解答题均会考查，常结合线段、角度计算与证明出题 矩形的性质与判定 能掌握矩形特有性质，灵活选用判定方法完成推理与计算 重点考查内容，常与直角、对角线结合命题，易错点为混淆矩形与平行四边形判定条件 菱形的性质、面积与判定 能运用菱形性质推理，熟练使用两种面积公式计算，正确判定菱形 中档常考题型，对角线相关计算、面积计算为热点，易错点为忽略对角线互相垂直的性质 正方形的性质与判定 能综合运用正方形的性质，结合多种判定方法完成证明 综合难点考点，融合平行四边形、矩形、菱形知识，题型综合性强 三角形中位线定理 能理解并运用中位线定理进行线段推理与长度计算 基础工具类考点，常穿插在几何证明、计算题中考查 梯形、等腰梯形及梯形中位线 能区分梯形与平行四边形，掌握等腰梯形性质、判定及中位线定理 常规考点，多以填空、简单证明题形式出现，易错点为梯形概念辨析不清 知识点01 多边形 一、多边形相关概念 1.多边形的边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边。 2.多边形的顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 3.多边形的内角：多边形相邻两边在内部组成的角，叫做多边形的内角。 4.多边形的外角：多边形的一条边与它邻边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角。 5.多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 补充说明 1.任意多边形的边数、顶点数、内角个数数量相等。 2.求解多边形相关问题时，常连接对角线，将多边形问题转化为三角形问题解答。 3.对角线条数规律：从边形的一个顶点可引出条对角线，这些对角线能把边形分割成个三角形；边形对角线总条数公式：。 二、正多边形性质 1.正边形共有条对称轴。 2.对称性：当边数为奇数时，正边形仅为轴对称图形；当边数为偶数时，正边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心为多边形的中心。 三、多边形内角和与外角和定理 1.边形内角和公式：（，且为整数）。 2.多边形外角和定理：任意多边形的外角和恒等于，外角和大小与边数无关。 知识点02 平行四边形 一、平行四边形的性质 1.边：两组对边分别平行且相等。几何语言：因为四边形是平行四边形，所以，，，。 2.角：两组对角分别相等。几何语言：因为四边形是平行四边形，所以，。 3.对角线：对角线互相平分。几何语言：因为四边形是平行四边形，所以，。 二、平行四边形的判定 1.定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。几何语言：因为，，所以四边形是平行四边形。 2.边的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3.角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4.对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 知识点03 矩形 一、矩形的性质 矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 1.边：两组对边平行且相等。几何语言：因为四边形是矩形，所以，，，。 2.角：四个内角均为直角，即。几何语言：因为四边形是矩形，所以。 3.对角线：对角线互相平分且长度相等。几何语言：因为四边形是矩形，所以。 二、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点04 菱形 一、菱形的性质 菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 1.边：四条边长度全部相等。几何语言：因为四边形是菱形，所以。 2.对角线：对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。几何语言：因为四边形是菱形，所以，平分与，平分与。 二、菱形面积公式 1.底乘高：底高。 2.对角线乘积的一半：若菱形两条对角线长分别为、，则面积。 三、菱形的判定 1.四条边都相等的四边形是菱形。 2.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点05 正方形 一、正方形的性质 正方形是特殊的矩形与菱形，兼具平行四边形、矩形、菱形的全部性质。 1.边：四条边相等，两组对边分别平行。 2.角：四个内角都是直角。 3.对角线：对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角。 4.补充性质：一条对角线可将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角为；两条对角线可将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 5.面积计算：设边长为，面积；设对角线长为，面积。 二、正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.矩形进阶判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 3.菱形进阶判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 知识点06 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两条边中点的线段，叫做三角形的中位线。 2.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且长度等于第三边的一半。 知识点07 梯形 一、梯形基本概念 1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做底，长度较短的为上底，长度较长的为下底；不平行的两边叫做腰；两底之间的垂线段叫做梯形的高；腰与底边的夹角叫做底角。 2.概念区分：平行四边形两组对边都平行，梯形仅有一组对边平行；梯形中互相平行的一组对边长度不相等。 二、等腰梯形 1.定义：两条腰长度相等的梯形，叫做等腰梯形。等腰梯形属于特殊梯形，具备梯形所有性质。 2.性质：同一底上的两个内角相等；两条对角线长度相等。 3.判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。 三、梯形的中位线 1.定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。 2.中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上底与下底，且长度等于上下两底和的一半。若梯形上底为，下底为，中位线长为，则。 题型一 多边形的基本概念 例1．以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（     ） A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【答案】B 【详解】解：对于选项A，原命题“四边形是多边形”是真命题，逆命题为“多边形是四边形”，是假命题，不符合要求； 对于选项B，原命题“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，也是真命题，符合要求； 对于选项C，原命题“两边分别相等的两个直角三角形全等”是假命题，若一个直角三角形的两条直角边，与另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，两个三角形不全等，不符合要求； 对于选项D，原命题“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”是假命题，只有两直线平行时同位角才相等，不符合要求． 变式1-1．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 变式1-2．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【答案】C 【分析】 【详解】解：中心对称图形需绕一点旋转180度后与自身重合，正多边形中，边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的则不是， A．等边三角形（正三边形）边数为3（奇数），不是中心对称图形，不符合题意； B．正五边形边数为5（奇数），不是中心对称图形，不符合题意； C．正六边形边数为6（偶数），是中心对称图形，符合题意； D．正七边形边数为7（奇数），不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 变式1-3．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明． 【答案】还剩下3个或4个或5个角，见解析 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 综上，还剩下3个或4个或5个角． 题型二 多边形的对角线问题 例2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 【答案】21 【详解】解：从一个顶点可以引出条对角线， 这个多边形的边数为， 该正多边形的边长为， 这个正多边形的周长为． 变式2-1．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 变式2-2．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 变式2-3．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)这个多边形的边数为． 【分析】 【详解】（1）解：完成下表如下： （2）解：∵三边形的对角线条数可表示为 ， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为 ， 六边形对角线条数可表示为 ， 七边形对角线条数可表示为 ， ， ∴边形对角线条数可表示为； （3）解：设多边形的边数为， 根据题意，得 ，即， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 答：这个多边形的边数为． 题型三 多边形内角和问题 例3．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，，， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 变式3-1．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 四边形的内角和为，且 ． 变式3-2．如图，在四边形中，，平分，点E在边上，且．求证：． 【答案】证明：∵在四边形中， ∴ ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴． 【详解】略 变式3-3．如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分， (1)求的度数， (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵在四边形中，，与互为补角， ∴， ∵平分， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 题型四 正多边形 例4．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：正五边形的内角为． 则在圆环内侧形成的正边形的一个内角为． 设围成这一圆环共需要个正五边形， 该正边形的一个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴． 图中已排出4个正五边形，还需要个这样的正五边形． 变式4-1．如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：六边形是正六边形， 正六边形的每个外角，每个内角， ， ， ， ， 由题意可得：， ， ． 变式4-2．如图，正三角形（图和正五边形（图2）的边长相同．点为的中心，用5个相同的拼入正五边形中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为__________． 【答案】/48度 【详解】解：如图，图1先求出正三角形内大钝角的度数是， ， ， 正五边形的每一个内角， 图3中的五角星的五个锐角均为：． 故答案为：． 变式4-3．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2． （1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是____________； （2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为____________． 【答案】 26 7 【分析】 【详解】解：（1）有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为． 故答案为：26； （2）按下图拼接，图案的外轮廓的周长为，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为7． 故答案为：7． 题型五 多边形内角和与外角和综合 例5．在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____． 【答案】或 【详解】解：设多边形边数为，这个外角度数为，根据多边形外角的性质可得． 边形内角和为，与该外角相邻的内角度数为，根据题意得： 整理得： 解得：，即． 为正整数， 或 变式5-1．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【详解】设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形的内角和为 又∵边形的内角和公式为 ∴列方程得 两边同除以得 解得 ∴这个多边形是八边形． 变式5-2．如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【答案】160 【详解】解：∵五边形的内角和为：，， ∴， ∴． 变式5-3．已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为． (1)求这个正多边形木架的边数． (2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值． 【答案】(1)10 (2)7 【分析】 【详解】（1）解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意得：， 解得：， ， 故这个正多边形木架的边数为10． （2）解：∵三角形具有稳定性， ∴要使该正多边形木架不变形，需要将这个正多边形木架变成多个三角形， ∵从多边形一个顶点出发，连接其所有不相邻的顶点，可以将多边形分割成多个三角形， ∴从十边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，将十边形分成八个三角形， 即要使该正多边形木架不变形，至少要钉上7根木条． 题型六 平面镶嵌 例6．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 【答案】 【详解】解：由图像可知，中间是由2个角，1个角和两个直角组成， ∴， 解得． 变式6-1．下列正多边形的组合中，能铺满地面的是（    ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 【答案】AC 【详解】解：根据正多边形内角公式，计算得各正多边形内角：正方形内角为，正五边形内角为，正六边形内角为，正三角形内角为，正八边形内角为． 对A选项：设用个正八边形，个正方形拼接，可得，化简得，存在正整数解，因此A可以铺满地面． 对B选项：设用个正五边形，个正八边形拼接，可得，不存在满足等式的正整数解，因此B不能铺满地面． 对C选项：设用个正六边形，个正三角形拼接，可得，化简得，存在正整数解如，因此C可以铺满地面． 变式6-2．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______． 【答案】2 【详解】解：首先，正方形的每个内角为， 根据多边形内角和公式，可得正八边形每个内角的度数为：， 由平面镶嵌的条件，同一顶点处内角和为，列方程得：， 解得． 变式6-3．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 题型七 平行四边形的判定 例7．如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形． 变式7-1．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵点B是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 变式7-2．如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】 【详解】∵， ∴． 在和中 ， ∴． ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 变式7-3．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形的性质 例8．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（     ）. A．60 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式8-1．如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长是_____． 【答案】2 【详解】解：在平行四边形中， , ∴ ∵平分， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴． 变式8-2．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：根据作图可得分别平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 变式8-3．如图，在中，对角线，相交于点，，，，点是的中点，将点沿过点的直线对折，使点落在对角线上的点处，连接，则________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形 ， ， 在中， 点是的中点 由折叠的性质可知， ∴ 又∵ ∴ 又 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 例9．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 变式9-1．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴    ∴ ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合要求． ∵C中条件无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵ ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 变式9-2．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 【答案】C 【详解】解：如图，已有条件：， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 综上：C符合题意． 变式9-3．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 题型十 矩形的判定 例10．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 变式10-1．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形． 变式10-2．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)证明． (2)若，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)证明：连接，，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)四边形为矩形； 证明：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式10-3．如图，在中，点，分别在，上，且，连，． (1)求证：； (2)若，则请添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（直接写出这个条件，不需要说明理由） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为矩形．理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； 取的中点，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 题型十一 矩形的性质 例11．将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（）按如图所示的位置放置，若，度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∵矩形纸片对边平行， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 变式11-1．如图，在矩形中，是延长线上一点，连接，，．若，则的度数是________． 【答案】/40度 【详解】解：连接交于点． 四边形是矩形， ，，互相平分， ， ． ， ， ． ． ． 变式11-2．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 是含的直角三角形，， ， 由,得， ， ． 变式11-3．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若分米，分米，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10分米 【分析】 【详解】（1）证明：矩形， ，，， ， ， ， 又， ， ． （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， 分米． 题型十二 矩形与折叠问题 例12．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 变式12-1．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________ ． 【答案】/ 【详解】解：当边与的边所在直线重合时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴． 变式12-2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 变式12-3．如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，． （1）__________； （2）若点为上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】 9 【分析】 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ． （2）如图，连接， 由题意可知是的垂直平分线， ， 当点E，P，C共线时，有最小值，即为的长， ， 的最小值为9． 题型十三 菱形的判定 例13．如图，在中，平分． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)如图： (2)证明：垂直平分， ，， ，． 平分， ， ． ∵在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式13-1．如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ 四边形为平行四边形， 又 ∵， 为的中点， ∴， ∴ 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式13-2．如图，是的对角线，于点，于点． (1)求证：； (2)连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中，    ， ． (2)不能， 理由：如图， ∵， ∴（垂线段最短）， 故当、重合时，， 而此时四边形不存在， 故添加一个条件，不能使四边形为菱形. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式13-3．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【答案】(1)证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， (2)证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型十四 菱形的性质 例14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式14-1．如图，在菱形中，，垂足为点，与交于点，连接．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 变式14-2．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 变式14-3．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵在四边形中，，，， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形的周长为， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设平行线与间的距离为h， ∴， ∴， ∴平行线与间的距离为． 题型十五 正方形的判定 例15．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，即，， ∴， 同理，可得， ∴四边形是一个平行四边形． （2）证明：∵、分别是边、上的中线，并交于点G， ∴点G是的重心． ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是一个平行四边形， ∴四边形是一个菱形， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形， ∴四边形是一个正方形． 变式15-1．如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，过点作，垂足为点， ， ∴， ∵，，， ∴ ∴四边形是矩形，， ∵两条外角平分线交于点， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 变式15-2．如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 变式15-3．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形， ∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 题型十六 正方形的性质 例16．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 【答案】(1)64 (2)解：，理由如下： 由题意得，， ∴； (3)52 【分析】 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴； （2）解：，理由略； （3）解：由，得， 故， 化为， 又∵， ∴， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴这两个正方形的面积之和为． 变式16-1．如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即． 变式16-2．如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴. 变式16-3．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点， ∴， ∴． ， ， ， 平分； (2) (3)6 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点向作垂线，垂足为点． 在和中， ， ，． 在和中， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为． 则，，． 在中， ， ， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为6． 题型十七 （特殊）平行四边形的存在性问题 例17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)不存在，理由见解析 (3)6 (4)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm， ∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm， ∵，要， ∴四边形CDPQ为平行四边形， ∴DP＝CQ， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4， 即t＝4时，PQCD； （2）不存在，理由： ∵四边形PQCD是菱形， ∴CQ＝CD， ∴2t＝10， ∴t＝5， 此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm）， 而DP≠CD， ∴四边形PQCD不可能是菱形； （3）如图，∵∠B＝90°，ADBC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即t＝18﹣2t， 解得：t＝6， ∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形； （4）由当t＝6时，四边形PQBA是矩形， ∴AP＝6cm， ∵AB＝8cm， ∴AP≠AB， ∴矩形PQBA不能是正方形， 即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 变式17-1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当运动停止时，求线段的长； (3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，24 (4)存在，或6 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点，如图所示： 四边形是矩形，则，， ， 在中，,，，则由勾股定理可得， ； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动， 点运动的时间是, 点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动， ； （3）解：若四边形为矩形，则， 由题意可知：，，， ，解得， 此时， 矩形的面积为； （4）解：存在， 理由如下： 根据题意，分两种情况： 当四边形为平行四边形，即点在点左边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 当四边形为平行四边形，即点在点右边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 综上所述，存在，或6． 变式17-2．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 变式17-3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． (1)_____．（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． (4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t (2) (3)四边形是矩形，理由见解析 (4)存在，的值为或 【分析】 【详解】（1）解：∵动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动．运动时间为t秒． ∴． （2）四边形为矩形，， ， 点是的中点， ， 由题意得：， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：． （3）四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形是矩形． （4）存在，分两种情况： ①当点在点右侧时，如图1所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ： ②当点在点左侧时，如图2所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 综上所述，的值为或时，以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形． 题型十八 三角形中位线定理 例18．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 为线段的中点，， ， ，， ， ，分别为，的中点， ． 变式18-1．在中，，，点O为的中点，平分，且点P为的中点，则的长为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴经过点O， ∴， ∵点P为的中点． ∴是的中位线， ∴． 变式18-2．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 变式18-3．如图，在中，，D，E分别是和的中点，点F在的延长线上，且，连接，， (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵D，E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点F在的延长线上，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：在中，，，， ∴， ∴， 在中，，E是的中点， ∴， 在平行四边形中，，， 则四边形的周长为． 题型十九 中点四边形 例19．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 【答案】(1)矩形 (2)四边形为菱形；证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴为平行四边形， 又∵是菱形， ∴，则， ∴为矩形． 故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 变式19-1．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． 问题解决 （1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）当图1中的四边形的对角线添加条件 时，这个中点四边形是正方形． 拓展延伸 （3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析（2）且；（3）四边形为菱形，证明见解析 【分析】 【详解】解：（1）四边形是平行四边形．理由如下： 连接，， ∵E，F分别是、的中点， ∴，，，，    ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）当且时，四边形是正方形，理由如下： 由（1）同理可得：，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （3）四边形为菱形． 证明：连接与， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，                            ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，    ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形，菱形，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 变式19-2．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 (3)菱形，矩形，正方形 【分析】 【详解】（1）证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ∴， 四边形是矩形； （3）解：当四边形为矩形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， 矩形的中点四边形是菱形； 当四边形为菱形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ，，， 四边形是矩形， 菱形的中点四边形是矩形； 当四边形为正方形时，，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是正方形， 正方形的中点四边形是正方形． 变式19-3．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型二十 梯形 例20．如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____． 【答案】 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 由勾股定理得， ∴， ∴梯形的面积为： ． 变式20-1．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________． 【答案】 【详解】解：由题意知：，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵迎水坡的坡比为，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵背水坡的坡比为，即， ∴， ∴， ∴， 则大坝横截面面积为． 变式20-2．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______． 【答案】16 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是等腰梯形， ， ． ， 是等边三角形， 的周长为12， ， ， 等腰梯形的周长． 变式20-3．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【分析】 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·广东清远·一模）若正边形的每一个内角是外角的倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设正边形的一个外角为，由题意得一个内角为， ∵多边形的内角与相邻外角互补， ∴，解得， ∵任意多边形的外角和为， ∴． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 3．（2025·26八年级下·全国·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】如图，过点作交延长线于， ，， 在上，即 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 4．（2025·26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 【答案】A 【详解】解：四边形是菱形， ，， 菱形的面积，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 5．（2025·26八年级下·北京·期中）如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 6．（2025·26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 7．（2025·26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 8．（2024·25七年级下·吉林长春·期末）如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：由平移的性质得，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 9．（2025·26八年级下·河北唐山·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 10．（2025·26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为5． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·河南周口·三模）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，与交于点，连接、，若，．则的长为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，， ∴， 在中， ， 在中， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 2．（2025·26八年级下·江苏南通·阶段检测）在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，且是等边三角形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得． 3．（2025·26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求E，H两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 4．（2025·26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）四边形中，，，． (1)如图①，若点E，F分别在，上，求证：； (2)如图②，若点E，F分别在，的延长线上，其余条件不变，请猜想线段，，之间有何数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明：如图，延长到，使，连接， 则， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由图可知，， ∴； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由图可知，， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点M，连接．（Ⅰ）的长为__________；（Ⅱ）线段的长为__________． 【答案】 【详解】解：（1）∵平行四边形中，， ∴，， ∵等腰直角三角形，， ∴， 解得或（舍去）； （2）取的中点N，连接，， ∵，，． ∴ ∴ ， 又∵ ∴ ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴； 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴在上， ∴． 2．（2025·26八年级下·北京西城·期中）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ②， 证明：取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点为T，的中点为O， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 3．（2024·25八年级下·北京大兴·期末）在正方形中，将边绕点A 逆时针旋转得到线段（点P不与点D重合），连接．过点B作直线的垂线，垂足为点Q，连接，． (1)如图，当时． ①依题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (2)当时，直接用等式表示，，的数量关系． 【答案】(1)①依题意补全图形如图所示；； ②， 证明：在上截取，连接，令、交点为，如图： ∵四边形为正方形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴即 ∴； (2) 【分析】 【详解】（1）解：①图略； 由旋转可得：，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②略 （2）解：当时，在射线上截取，连接，令，交点为，如图： ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴∴即， ∴． 4．（2025·26八年级下·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【分析】 【详解】（1）解：点M的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， 点，，， ， ， ，， ，， 能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点． （2）解：①如图，四边形是点M，P的“极美菱形”，连接与交于， 四边形是菱形， ，为中点， 点M的坐标为，点P的坐标为，点N的坐标为， 的中点的坐标为，即， ，， 四边形的面积． ②如图： 当四边形的面积为15， 由①得，解得， ， ，且， 为等腰直角三角形，， 在直线上，直线平分第一、三象限， 与轴正方向的夹角为， 点在轴上， ， 点的坐标为，同理可得点坐标为， 将，代入，分别解得，， 如图，当四边形与直线有公共点时，b的取值范围为． ③如图： 当四边形的面积为， 由①得，解得， ， ， 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ，即该“极美菱形”中较小内角的度数为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 多边形的基本概念 题型二 多边形的对角线问题 题型三 多边形内角和问题 题型四 正多边形 题型五 多边形内角和与外角和综合 题型六 平面镶嵌 题型七 平行四边形的判定 题型八 平行四边形的性质 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 题型十 矩形的判定 题型十一 矩形的性质 题型十二 矩形与折叠问题 题型十三 菱形的判定 题型十四 菱形的性质 题型十五 正方形的判定 题型十六 正方形的性质 题型十七 （特殊）平行四边形的存在性问题 题型十八 三角形中位线定理 题型十九 中点四边形 题型二十 梯形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形相关概念、内角和与外角和 能熟记多边形相关概念，熟练运用内角和、外角和公式进行计算 基础必考小题，易错点为记错内角和公式、对角线条数计算公式 平行四边形的性质与判定 能运用平行四边形的性质解题，依据判定定理证明四边形为平行四边形 核心高频考点，选择、填空、解答题均会考查，常结合线段、角度计算与证明出题 矩形的性质与判定 能掌握矩形特有性质，灵活选用判定方法完成推理与计算 重点考查内容，常与直角、对角线结合命题，易错点为混淆矩形与平行四边形判定条件 菱形的性质、面积与判定 能运用菱形性质推理，熟练使用两种面积公式计算，正确判定菱形 中档常考题型，对角线相关计算、面积计算为热点，易错点为忽略对角线互相垂直的性质 正方形的性质与判定 能综合运用正方形的性质，结合多种判定方法完成证明 综合难点考点，融合平行四边形、矩形、菱形知识，题型综合性强 三角形中位线定理 能理解并运用中位线定理进行线段推理与长度计算 基础工具类考点，常穿插在几何证明、计算题中考查 梯形、等腰梯形及梯形中位线 能区分梯形与平行四边形，掌握等腰梯形性质、判定及中位线定理 常规考点，多以填空、简单证明题形式出现，易错点为梯形概念辨析不清 知识点01 多边形 一、多边形相关概念 1.多边形的边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边。 2.多边形的顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 3.多边形的内角：多边形相邻两边在内部组成的角，叫做多边形的内角。 4.多边形的外角：多边形的一条边与它邻边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角。 5.多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 补充说明 1.任意多边形的边数、顶点数、内角个数数量相等。 2.求解多边形相关问题时，常连接对角线，将多边形问题转化为三角形问题解答。 3.对角线条数规律：从边形的一个顶点可引出条对角线，这些对角线能把边形分割成个三角形；边形对角线总条数公式：。 二、正多边形性质 1.正边形共有条对称轴。 2.对称性：当边数为奇数时，正边形仅为轴对称图形；当边数为偶数时，正边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心为多边形的中心。 三、多边形内角和与外角和定理 1.边形内角和公式：（，且为整数）。 2.多边形外角和定理：任意多边形的外角和恒等于，外角和大小与边数无关。 知识点02 平行四边形 一、平行四边形的性质 1.边：两组对边分别平行且相等。几何语言：因为四边形是平行四边形，所以，，，。 2.角：两组对角分别相等。几何语言：因为四边形是平行四边形，所以，。 3.对角线：对角线互相平分。几何语言：因为四边形是平行四边形，所以，。 二、平行四边形的判定 1.定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。几何语言：因为，，所以四边形是平行四边形。 2.边的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3.角的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4.对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 知识点03 矩形 一、矩形的性质 矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 1.边：两组对边平行且相等。几何语言：因为四边形是矩形，所以，，，。 2.角：四个内角均为直角，即。几何语言：因为四边形是矩形，所以。 3.对角线：对角线互相平分且长度相等。几何语言：因为四边形是矩形，所以。 二、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点04 菱形 一、菱形的性质 菱形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质。 1.边：四条边长度全部相等。几何语言：因为四边形是菱形，所以。 2.对角线：对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。几何语言：因为四边形是菱形，所以，平分与，平分与。 二、菱形面积公式 1.底乘高：底高。 2.对角线乘积的一半：若菱形两条对角线长分别为、，则面积。 三、菱形的判定 1.四条边都相等的四边形是菱形。 2.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点05 正方形 一、正方形的性质 正方形是特殊的矩形与菱形，兼具平行四边形、矩形、菱形的全部性质。 1.边：四条边相等，两组对边分别平行。 2.角：四个内角都是直角。 3.对角线：对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角。 4.补充性质：一条对角线可将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角为；两条对角线可将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 5.面积计算：设边长为，面积；设对角线长为，面积。 二、正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.矩形进阶判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 3.菱形进阶判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 知识点06 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两条边中点的线段，叫做三角形的中位线。 2.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且长度等于第三边的一半。 知识点07 梯形 一、梯形基本概念 1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做底，长度较短的为上底，长度较长的为下底；不平行的两边叫做腰；两底之间的垂线段叫做梯形的高；腰与底边的夹角叫做底角。 2.概念区分：平行四边形两组对边都平行，梯形仅有一组对边平行；梯形中互相平行的一组对边长度不相等。 二、等腰梯形 1.定义：两条腰长度相等的梯形，叫做等腰梯形。等腰梯形属于特殊梯形，具备梯形所有性质。 2.性质：同一底上的两个内角相等；两条对角线长度相等。 3.判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。 三、梯形的中位线 1.定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。 2.中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上底与下底，且长度等于上下两底和的一半。若梯形上底为，下底为，中位线长为，则。 题型一 多边形的基本概念 例1．以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（     ） A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 变式1-1．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-2．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 变式1-3．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明． 题型二 多边形的对角线问题 例2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 变式2-1．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 变式2-2．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 变式2-3．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 题型三 多边形内角和问题 例3．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 变式3-1．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在四边形中，，平分，点E在边上，且．求证：． 变式3-3．如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分， (1)求的度数， (2)求的度数． 题型四 正多边形 例4．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 变式4-1．如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，正三角形（图和正五边形（图2）的边长相同．点为的中心，用5个相同的拼入正五边形中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为__________． 变式4-3．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2． （1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是____________； （2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为____________． 题型五 多边形内角和与外角和综合 例5．在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____． 变式5-1．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 变式5-2．如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 变式5-3．已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为． (1)求这个正多边形木架的边数． (2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值． 题型六 平面镶嵌 例6．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 变式6-1．下列正多边形的组合中，能铺满地面的是（    ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 变式6-2．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______． 变式6-3．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 题型七 平行四边形的判定 例7．如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 变式7-1．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 变式7-2．如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 变式7-3．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 题型八 平行四边形的性质 例8．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（     ）. A．60 B．45 C．50 D．55 变式8-1．如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长是_____． 变式8-2．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式8-3．如图，在中，对角线，相交于点，，，，点是的中点，将点沿过点的直线对折，使点落在对角线上的点处，连接，则________． 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 例9．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 变式9-1．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 变式9-2．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 变式9-3．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 题型十 矩形的判定 例10．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 变式10-1．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 变式10-2．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)证明． (2)若，判断四边形的形状并证明． 变式10-3．如图，在中，点，分别在，上，且，连，． (1)求证：； (2)若，则请添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（直接写出这个条件，不需要说明理由） 题型十一 矩形的性质 例11．将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（）按如图所示的位置放置，若，度数为（     ） A． B． C． D． 变式11-1．如图，在矩形中，是延长线上一点，连接，，．若，则的度数是________． 变式11-2．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 变式11-3．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若分米，分米，求的长． 题型十二 矩形与折叠问题 例12．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 变式12-1．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________ ． 变式12-2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 变式12-3．如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，． （1）__________； （2）若点为上一个动点，则的最小值为__________． 题型十三 菱形的判定 例13．如图，在中，平分． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 变式13-1．如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C．10 D．12 变式13-2．如图，是的对角线，于点，于点． (1)求证：； (2)连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 变式13-3．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 题型十四 菱形的性质 例14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 变式14-1．如图，在菱形中，，垂足为点，与交于点，连接．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 变式14-2．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式14-3．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离． 题型十五 正方形的判定 例15．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 变式15-1．如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 变式15-2．如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 变式15-3．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 题型十六 正方形的性质 例16．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 变式16-1．如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 变式16-2．如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 变式16-3．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 题型十七 （特殊）平行四边形的存在性问题 例17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 变式17-1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当运动停止时，求线段的长； (3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 变式17-2．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 变式17-3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． (1)_____．（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． (4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型十八 三角形中位线定理 例18．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式18-1．在中，，，点O为的中点，平分，且点P为的中点，则的长为（     ） A． B． C．1 D．2 变式18-2．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 变式18-3．如图，在中，，D，E分别是和的中点，点F在的延长线上，且，连接，， (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 题型十九 中点四边形 例19．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 变式19-1．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． 问题解决 （1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）当图1中的四边形的对角线添加条件 时，这个中点四边形是正方形． 拓展延伸 （3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 变式19-2．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 变式19-3．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 题型二十 梯形 例20．如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____． 变式20-1．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________． 变式20-2．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______． 变式20-3．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·广东清远·一模）若正边形的每一个内角是外角的倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·26八年级下·全国·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 4．（2025·26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为96，则的长为（   ） A．6 B．5 C． D．3 5．（2025·26八年级下·北京·期中）如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 6．（2025·26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 7．（2025·26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 8．（2024·25七年级下·吉林长春·期末）如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为______． 9．（2025·26八年级下·河北唐山·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 10．（2025·26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·河南周口·三模）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，与交于点，连接、，若，．则的长为_____． 2．（2025·26八年级下·江苏南通·阶段检测）在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 3．（2025·26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求E，H两点之间的距离． 4．（2025·26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）四边形中，，，． (1)如图①，若点E，F分别在，上，求证：； (2)如图②，若点E，F分别在，的延长线上，其余条件不变，请猜想线段，，之间有何数量关系？直接写出结论，不需要证明． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点M，连接．（Ⅰ）的长为__________；（Ⅱ）线段的长为__________． 2．（2025·26八年级下·北京西城·期中）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 3．（2024·25八年级下·北京大兴·期末）在正方形中，将边绕点A 逆时针旋转得到线段（点P不与点D重合），连接．过点B作直线的垂线，垂足为点Q，连接，． (1)如图，当时． ①依题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (2)当时，直接用等式表示，，的数量关系． 4．（2025·26八年级下·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $