专题02 函数（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题02 函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数的三种表示方法 题型九 函数图象识别 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量与变量的区分 能在具体变化过程中正确区分常量与变量 基础送分考点，多以选择题、填空题形式考查，题型简单 函数的概念与判断 能依据定义准确判断两个变量是否构成函数关系 高频基础考点，易错点为忽略“自变量取一个值，函数有唯一值对应”这一核心条件 自变量的取值范围 能根据解析式类型和实际问题，正确求出自变量的取值范围 核心必考题型，各类题型均有涉及，易错点为分式忽略分母不为零、二次根式忽略被开方数非负 函数的三种表示方法及函数图像绘制 能掌握解析法、列表法、图像法，并能用描点法规范画出简单函数图像 常规考查内容，图像相关题目居多，命题侧重识图、读图能力 函数的实际应用 能结合函数知识分析实际问题，建立函数关系并求解作答 综合拔高考点，常作为解答题出现，侧重考查从图表、解析式中提取信息的能力 知识点01 常量与变量 在某一个变化过程中，数值可以发生改变的量叫做变量；数值始终固定不变的量叫做常量。 常量和变量是相对而言的，划分标准由具体问题场景决定。在实际问题里，多个变量之间通常存在相互关联、相互制约的关系。 知识点02 函数的相关概念 1.函数定义 在一个变化过程中，存在两个变量和。对于自变量取值范围内的任意一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，此时称为自变量，是的函数。 2.函数的判断要点 判断两个变量是否具备函数关系，需要满足两个条件：一是过程中存在两个变量；二是自变量取每一个确定值时，函数都有唯一的值与之对应。 3.自变量的取值范围 自变量的取值需要结合式子形式和实际场景综合确定，常见情况如下： 整式形式的函数，自变量取值为全体实数； 解析式分母中含有自变量时，要求分母； 解析式含有二次根式且根号内为自变量时，要求被开方数； 实际应用类问题，自变量取值必须符合现实意义，例如长度、人数等取值大于0。 4.函数值 当自变量在取值范围内取确定值时，对应的唯一函数结果，就叫做当时的函数值。 知识点03 函数的表示方法 函数主要有三种表示形式，三种形式之间可以相互转化。 1.解析法 利用数学代数式来表示自变量与函数之间的对应关系。该方法简洁清晰，方便进行计算和推导。 2.列表法 通过表格依次列出自变量和对应函数值。特点是数据直观，能够直接读取对应数值。 3.图像法 在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数值为纵坐标，描点连线得到函数图像。该方法形象直观，可以清晰看出函数的整体变化趋势。 4.描点法绘制函数图像步骤 列表：选取若干个自变量的值，计算出对应的函数值； 描点：在平面直角坐标系中，依次描出坐标为的点； 连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线将所有点顺次连接起来。 知识点04 函数的初步应用 1.核心应用方向 用函数刻画实际问题中的数量关系；从函数解析式、表格、图像中提取有效信息；借助函数完成数值预测、大小比较、结果判断；求解实际问题中最值类问题，例如费用最省、速度最快、数量最多或最少等。 2.解题基本步骤 找变量：区分问题中的常量与变量，确定自变量和对应的函数； 列关系：根据题意列出函数解析式、对应表格，或绘制函数图像； 定范围：结合式子要求与实际情况，确定自变量的取值范围； 求结果：结合函数相关知识计算、分析并作答。 题型一 用表格表示变量间的关系 【例1】已知二元一次方程． x … 0 1 2 … y … … (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图象上有一点，求m的值． 【例2】某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【变式1-1】如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（    ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【变式1-2】下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 【变式1-3】水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 题型二 用关系式表示变量间的关系 【例3】某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【例4】如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 【变式2-1】如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是___________． 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 【变式2-2】跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【变式2-3】汽车开始行驶时油箱内有油50升，如果每小时耗油4升，则油箱内余油量升与行驶时间t小时的关系是________． 题型三 用图象表示变量间的关系 【例5】如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【例6】如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（    ） A．钓鱼线的拉力 B．鱼受到的浮力 C．水面高度 D．钓鱼者对鱼竿的作用力 【变式3-1】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（   ） A． B． C． D． 题型四 函数的概念 【例7】水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【例8】新情境 素有“天下第一关”之称的山海关是国家级景区，门票售价为每人50元．某旅游团有游客x名，共支付门票费用为y元，则下列说法错误的是（    ） A．50为常量 B．x是常量 C．y是变量 D．y与x的关系式为 【变式4-1】下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【变式4-2】“高处不胜寒”，间接说明温度随着海拔的升高而降低，即海拔高度越大，气温就越低．在这一变化过程中，自变量是（    ） A．海拔高度 B．水平地面 C．气温 D．时间 【变式4-3】如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 题型五 函数解析式 【例9】若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【例10】A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【变式5-1】已知长方形的周长为，它的长为，宽为，则与之间的函数关系式为_________． 【变式5-2】等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 【变式5-3】去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数与等待时间的关系如下表，则可以反映与之间的关系的式子是________． 等待时间 舒适度指数 题型六 求自变量的取值范围 【例11】在函数 中，自变量x的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【例12】下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【变式6-1】下列函数中，自变量x的取值范围是的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数中的自变量x的取值范围是_______． 【变式6-3】关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 题型七 求自变量的值或函数值 【例13】根据图中的程序，当输入时，输出结果________． 【例14】把一个长，宽的长方形的宽增加，长不变，长方形的面积随x的变化而变化． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若增加宽度后的长方形的面积为，求x的值． 【变式7-1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【变式7-2】如图是我国某个湖泊最深处的某一截面图，一支潜水队测出了该湖泊水面下任一点A的压强p（单位：）与其距离水面的深度h（单位：m）的几组数据，整理得出下表： 距离水面的深度 10 15 20 25 30 水面下任一点A的压强 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)请根据已知数据求该湖泊水面的大气压强为多少？ (3)请求出处的压强值． 【变式7-3】在学习地理时，我们知道：“在海拔高度千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度（千米） 气温 根据表格，回答以下问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______； (2)写出海拔高度千米以内，气温与海拔高度的关系式：_______； (3)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为时，求气温是多少？ 题型八 函数的三种表示方法 【例15】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【例16】九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【变式8-1】某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【变式8-3】小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 题型九 函数图象识别 【例17】下列图象中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例18】下列图象不能反映是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A． B． C． D． 题型十 从函数的图象获取信息 【例19】某款手机电池的电量与充电时间的关系如图所示，根据图象可推断出（     ） A．充电时间在时，充电时间越长，电池电量越大 B．充电至所需时间约为总充电时间的一半 C．电池电量从增加到所需时间比从增加到少 D．电池电量与充电时间的关系是一次函数关系 【例20】某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往6公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以5公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进0.5小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距（     ） A． B． C．1.5 km D．2 km 【变式10-1】甲、乙、丙、丁四人在学校举行的运动会中参加100m短跑比赛，在某一时刻，将四人已跑路程（y）与所用时间（x）的对应点在平面直角坐标系中表示出来，如图所示，则四人中平均速度最慢的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式10-2】如图甲，在中，点从点出发向点运动，设线段的长为，线段的长为y，y与x的函数图象如图乙所示，点是图象上的最低点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的最小值为1 D． 【变式10-3】小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 题型十一 用描点法画函数图象 【例21】小华同学根据函数的学习经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例22】已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象： x ... ... y ... ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是___________． 【变式11-1】描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律． … … … … (1)求函数自变量的取值范围； (2)请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围． 【变式11-2】如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【变式11-3】让我们一起用描点法探究的图像和性质，并解决相关问题： ①列表： 0 1 2 3 4 5 6 5 1 -1 1 3 ②描点；③连线． (1)求出表格中、的值； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图像； (3)观察图像，当________时，随的增大而减小． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26八年级下·辽宁鞍山·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为长方形的面积；变量为长，宽 B．常量为长方形的面积、宽为，变量为长 C．常量为长方形的面积、长为，变量为 D．常量为长、宽，变量为长方形的面积 2．（2026·河南濮阳·二模）奶茶的香甜源于添加的果糖，过量摄入果糖容易导致肥胖．生物小组查阅资料发现，某生物团队对60只健康状况相同、体重相同的小鼠进行为期28天的喂养实验．A组（30只）小鼠正常喂养，B组（30只）小鼠加入果糖喂养．如图是小鼠体重增长率y（单位：）与喂养天数t（单位：天）的函数关系．下列说法错误的是（     ） A．随着喂养天数的增加，A组小鼠的体重增长率越来越大 B．在喂养的过程中，B组小鼠的体重大于A组小鼠的体重 C．喂养7天，两组小鼠的体重相差最大 D．果糖喂养7天小鼠体重的增长量大于正常喂养28天小鼠体重的增长量 3．（2025·26八年级下·河南鹤壁·期末）我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 4．（2026·海南海口·二模）如图1在一水平放置的正方形左侧有一个等腰，其顶点，在同一水平线上，，且点与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点运动到边中点时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的对应关系如图2所示，则正方形的边长为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．（2025·26八年级下·福建漳州·期中）如图，一个函数的图象由线段，曲线，线段组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知等腰三角形周长为25，底边长y关于腰长x的函数解析式为_______，自变量x的取值范围是______． 7．（2025·26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，是一位病人某天（0时~24时）体温随时间的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________； (2)这个病人该天最高体温是________，最低体温________； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧的总时长为________小时． 8．（2021·22九年级上·云南红河·期末）在2021年东京奥运会上，我国跳水梦之队在跳水项目中一共斩获了7枚金牌，取得了优秀的成绩．跳水运动员在下落过程中可近似看作是自由落体运动．自由落体运动是指物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动，物体下落的高度（单位：m）随物体下落的时间（单位：s）满足关系式（取），若我国某跳水运动员从距离水面10米的高度开始下落（忽略空气阻力），落至水面所需要的时间为________s． 9．（2025·26九年级下·湖北孝感·阶段检测）如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 10．（2025·26八年级下·全国·课后作业）要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·湖北·模拟预测）向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数． (1)自变量x的取值范围是______； (2)下表中m＝______； x … 0 0.5 1.5 2 3 5 … y … 1 2 4 8 8 m 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象能得到什么信息？ 3．（2025·26七年级下·河南郑州·阶段检测）综合与实践． 【主题】探究游泳池换水过程中的数学问题． 【实践背景】某游泳池在一次换水前存水立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时立方米的速度将水放出，当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少． 【数据记录】该游泳池的存水量变化情况如下表： 放水时间（小时） 存水量（立方米） 【问题解决】 (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)根据上表反映的规律写出与之间的关系式为 （不要求写出的取值范围）； (3)放水小时后，该游泳池内还有存水吗？放水小时呢？ 4．（2025·26八年级下·吉林·期中）2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： (1)机器人小松比机器人小江先出发________； (2)机器人小江提速后的速度为________； (3)求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山东潍坊·二模）定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，每个点的横坐标与前一个点横坐标的差都等于0.2），则的值等于_____． 2．截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 3．下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示离开家的时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上． (1)小明从家到食堂用的时间是________分钟，平均速度是_______千米/分钟； (2)小明在食堂吃早餐用的时间是______分钟； (3)食堂到图书馆的距离是________千米； (4)小明读报用的时间是________分钟； (5)图书馆到小明家的距离是________千米，小明从图书馆回家的平均速度是________千米/分钟． 4．综合应用 (1)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． (2)现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数的三种表示方法 题型九 函数图象识别 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量与变量的区分 能在具体变化过程中正确区分常量与变量 基础送分考点，多以选择题、填空题形式考查，题型简单 函数的概念与判断 能依据定义准确判断两个变量是否构成函数关系 高频基础考点，易错点为忽略“自变量取一个值，函数有唯一值对应”这一核心条件 自变量的取值范围 能根据解析式类型和实际问题，正确求出自变量的取值范围 核心必考题型，各类题型均有涉及，易错点为分式忽略分母不为零、二次根式忽略被开方数非负 函数的三种表示方法及函数图像绘制 能掌握解析法、列表法、图像法，并能用描点法规范画出简单函数图像 常规考查内容，图像相关题目居多，命题侧重识图、读图能力 函数的实际应用 能结合函数知识分析实际问题，建立函数关系并求解作答 综合拔高考点，常作为解答题出现，侧重考查从图表、解析式中提取信息的能力 知识点01 常量与变量 在某一个变化过程中，数值可以发生改变的量叫做变量；数值始终固定不变的量叫做常量。 常量和变量是相对而言的，划分标准由具体问题场景决定。在实际问题里，多个变量之间通常存在相互关联、相互制约的关系。 知识点02 函数的相关概念 1.函数定义 在一个变化过程中，存在两个变量和。对于自变量取值范围内的任意一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，此时称为自变量，是的函数。 2.函数的判断要点 判断两个变量是否具备函数关系，需要满足两个条件：一是过程中存在两个变量；二是自变量取每一个确定值时，函数都有唯一的值与之对应。 3.自变量的取值范围 自变量的取值需要结合式子形式和实际场景综合确定，常见情况如下： 整式形式的函数，自变量取值为全体实数； 解析式分母中含有自变量时，要求分母； 解析式含有二次根式且根号内为自变量时，要求被开方数； 实际应用类问题，自变量取值必须符合现实意义，例如长度、人数等取值大于0。 4.函数值 当自变量在取值范围内取确定值时，对应的唯一函数结果，就叫做当时的函数值。 知识点03 函数的表示方法 函数主要有三种表示形式，三种形式之间可以相互转化。 1.解析法 利用数学代数式来表示自变量与函数之间的对应关系。该方法简洁清晰，方便进行计算和推导。 2.列表法 通过表格依次列出自变量和对应函数值。特点是数据直观，能够直接读取对应数值。 3.图像法 在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数值为纵坐标，描点连线得到函数图像。该方法形象直观，可以清晰看出函数的整体变化趋势。 4.描点法绘制函数图像步骤 列表：选取若干个自变量的值，计算出对应的函数值； 描点：在平面直角坐标系中，依次描出坐标为的点； 连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线将所有点顺次连接起来。 知识点04 函数的初步应用 1.核心应用方向 用函数刻画实际问题中的数量关系；从函数解析式、表格、图像中提取有效信息；借助函数完成数值预测、大小比较、结果判断；求解实际问题中最值类问题，例如费用最省、速度最快、数量最多或最少等。 2.解题基本步骤 找变量：区分问题中的常量与变量，确定自变量和对应的函数； 列关系：根据题意列出函数解析式、对应表格，或绘制函数图像； 定范围：结合式子要求与实际情况，确定自变量的取值范围； 求结果：结合函数相关知识计算、分析并作答。 题型一 用表格表示变量间的关系 【例1】已知二元一次方程． x … 0 1 2 … y … … (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图象上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据表格可知，当时，， 当时，， ∴二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、； （3）解：把代入得， 解得：． 【例2】某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 【变式1-1】如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（    ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】C 【详解】解：在此次加油过程中，油量不断增加，金额随之变化，故油量和金额是变量；单价固定不变，故单价是常量. 【变式1-2】下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 【答案】5.4 【详解】解：分析表格数据可得，通话时间每增加，话费增加元，即每分钟通话费用为元． 当通话时间为时，需支付话费为元． 【变式1-3】水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 题型二 用关系式表示变量间的关系 【例3】某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总存油量流出油量，总存油量为升， ∴． 【例4】如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得： 1节链条的长度为， 2节链条的总长度为， 3节链条的总长度为， …， ∴n节链条的总长度为， ∴y与n之间的关系式为． 【变式2-1】如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是___________． 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 【答案】 【详解】解：观察图形可知：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； … ∴． 【变式2-2】跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【答案】A 【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t． 【变式2-3】汽车开始行驶时油箱内有油50升，如果每小时耗油4升，则油箱内余油量升与行驶时间t小时的关系是________． 【答案】，其中 【详解】解：由题意可知，原有油量为升，行驶时间为小时，每小时耗油升， ∴小时的总耗油量为升， ∵根据余油量原有油量总耗油量， ∴， 由题意可知，且， ∴． 题型三 用图象表示变量间的关系 【例5】如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵容器形状为下宽上窄， ∴随着注水时间的增加，容器内水面的横截面积逐渐减小， ∵单位时间内注水量保持不变， ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 【例6】如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（    ） A．钓鱼线的拉力 B．鱼受到的浮力 C．水面高度 D．钓鱼者对鱼竿的作用力 【答案】A 【详解】解：当鱼还在水中时，钓鱼线的拉力不变； 随着鱼上浮，钓鱼线的拉力逐渐变大； 当鱼浮出水面时，钓鱼线的拉力不变． ∴钓鱼线的拉力与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述． 【变式3-1】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 【变式3-2】如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 【变式3-3】清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，去程是匀速行驶20分钟，此阶段y随x的增大而增大，图象是从原点出发的上升线段； 活动历时40分钟，学生位置不变，此阶段y随x的增大保持不变，图象为水平线段； 返程用时比去程多20分钟，即返程用时40分钟，且原路返回，所以返程下降段在x轴上的水平长度更长，线段比去程上升段更平缓， 只有A选项符合题意． 题型四 函数的概念 【例7】水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【答案】B 【详解】解：由圆的周长公式得与的关系式为， ∵圆周率是固定不变的常数，为常量，圆的半径随水波扩大不断变化，周长随变化也不断变化，和都是变量，且对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数， ∴A、C、D选项说法正确，B选项说法错误． 【例8】新情境 素有“天下第一关”之称的山海关是国家级景区，门票售价为每人50元．某旅游团有游客x名，共支付门票费用为y元，则下列说法错误的是（    ） A．50为常量 B．x是常量 C．y是变量 D．y与x的关系式为 【答案】B 【详解】解：∵门票单价50元固定不变， ∴50是常量，A说法正确； ∵旅游团的游客人数可以变化，总费用随的变化而变化， ∴和都是变量，因此B说法错误，C说法正确； ∵总费用=单价×游客人数， ∴与的关系式为，D说法正确． 【变式4-1】下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 【变式4-2】“高处不胜寒”，间接说明温度随着海拔的升高而降低，即海拔高度越大，气温就越低．在这一变化过程中，自变量是（    ） A．海拔高度 B．水平地面 C．气温 D．时间 【答案】A 【详解】根据题意，气温随海拔高度的变化而变化， ∵海拔高度是主动变化的量，气温是随之变化的量， ∴自变量是海拔高度． 【变式4-3】如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【详解】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的高度h都有唯一值与之对应，所以h是V的函数，符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，注水量V都有唯一值与之对应，所以V是h的函数，符合题意； 所以正确的是①③④． 题型五 函数解析式 【例9】若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，， 整理得：， 即． 根据题意可得：， 将代入， 得：， 解得， 又∵， ∴， ∴y与x的函数解析式是，自变量x的取值范围是． 【例10】A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【答案】 【详解】解：由题意可得，李明骑行的路程为， ∵A，B两地总路程为，为李明与B地的距离， ∴ ， 根据题意得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 【变式5-1】已知长方形的周长为，它的长为，宽为，则与之间的函数关系式为_________． 【答案】/ 【详解】解：由长方形周长公式可得， 等式两边同除以得， 移项得． 【变式5-2】等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：由周长公式可得， 整理得． 底边长度大于， ， 解得． 又三角形两边之和大于第三边， ， 即， 将代入不等式得， 解得． 综上可得，． 【变式5-3】去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数与等待时间的关系如下表，则可以反映与之间的关系的式子是________． 等待时间 舒适度指数 【答案】 【详解】解：观察表格数据计算得：，即与的乘积为定值， ∴， ∴． 题型六 求自变量的取值范围 【例11】在函数 中，自变量x的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意 ， 解得 ， 即自变量的取值范围是． 【例12】下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、是正比例函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项B、是一次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项D、是二次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． 选项C、是分式，∵分式的分母不能为0，∴，自变量的取值范围是，不是全体实数． 【变式6-1】下列函数中，自变量x的取值范围是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，解得，不符合要求； B、，解得，不符合要求； C、，解得，不符合要求； D、，解得，符合要求． 【变式6-2】函数中的自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：由题意得，且， 解得． 【变式6-3】关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【答案】C 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， 解得， 因此选项C正确． 题型七 求自变量的值或函数值 【例13】根据图中的程序，当输入时，输出结果________． 【答案】7 【详解】解：由图可知，， ∴当时，. 【例14】把一个长，宽的长方形的宽增加，长不变，长方形的面积随x的变化而变化． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若增加宽度后的长方形的面积为，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：当时，， 解得. 【变式7-1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，输入的x值是时，， 输入的x值是2时，， ， ． 【变式7-2】如图是我国某个湖泊最深处的某一截面图，一支潜水队测出了该湖泊水面下任一点A的压强p（单位：）与其距离水面的深度h（单位：m）的几组数据，整理得出下表： 距离水面的深度 10 15 20 25 30 水面下任一点A的压强 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)请根据已知数据求该湖泊水面的大气压强为多少？ (3)请求出处的压强值． 【答案】(1)距离水面的深度h，水面下任一点A的压强p (2)该湖泊水面的大气压强为 (3) 【分析】 【详解】（1）解：依题意，自变量是距离水面的深度h，因变量是水面下任一点A的压强p． （2）解：由表格可知，， 即h每增加，压强增加， ∴当时，， ∴该湖泊水面的大气压强为． （3）解：由（2）得h每增加，压强增加， ∴当时，， ∴处的压强值为． 【变式7-3】在学习地理时，我们知道：“在海拔高度千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度（千米） 气温 根据表格，回答以下问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______； (2)写出海拔高度千米以内，气温与海拔高度的关系式：_______； (3)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为时，求气温是多少？ 【答案】(1) 海拔高度，气温 (2) (3) 当气温为时，海拔高度是8千米；当海拔高度为时，气温是． 【分析】 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是海拔高度，因变量是气温； （2）解：由题意得，海拔高度千米以内，h每增加1千米，气温就下降， 则气温t与海拔高度h的关系式：； （3）解：当时，即， 解得； 海拔高度超过千米，气温几乎不变， 当海拔高度为时，气温与海拔高度为时相同， 将代入，则， 答：当气温为时，海拔高度是8千米；当海拔高度为时，气温是． 题型八 函数的三种表示方法 【例15】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【例16】九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 【变式8-1】某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 【变式8-2】为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 【变式8-3】小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①②③见详解 【分析】 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，      （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． ③证明：设， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数增减性的证明方法是解题的关键． 题型九 函数图象识别 【例17】下列图象中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意； B、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意； C、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意； D、由图象可得，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，符合题意． 【例18】下列图象不能反映是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A. 对于每一个的值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，故本选项不符合题意； B. 对于每一个的值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，故本选项不符合题意； C. 对于每一个的值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，故本选项不符合题意； D. 存在某个的值，对应了三个值（作垂直于轴的直线可与图象有三个交点），不符合函数定义中“唯一确定”的要求，故本选项符合题意． 【变式9-1】下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，并不是有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意． 【变式9-2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数； B．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数； C．对于的每一个确定的值，不一定有唯一确定的值与其对应，不能表示y是x的函数； D．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数． 【变式9-3】下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A符合函数的概念， 而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”. 题型十 从函数的图象获取信息 【例19】某款手机电池的电量与充电时间的关系如图所示，根据图象可推断出（     ） A．充电时间在时，充电时间越长，电池电量越大 B．充电至所需时间约为总充电时间的一半 C．电池电量从增加到所需时间比从增加到少 D．电池电量与充电时间的关系是一次函数关系 【答案】A 【详解】解：观察图象可知，在充电时间的范围内，图象从左向右呈上升趋势，即意味着随着充电时间的增加，电池电量也在不断增加，故A正确； 由图象得，充满电所需的总时间为， 总充电时间的一半是， 观察图象，当充电时间为时，对应的电池电量约为，故B错误； 观察图象可得，电池电量从增加到所需时间约为，从增加到所需时间约为， ∵， ∴电池电量从增加到所需时间比从增加到多，故C错误； 由图象可得电池电量与充电时间的关系不是一次函数关系，故D错误． 【例20】某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往6公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以5公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进0.5小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距（     ） A． B． C．1.5 km D．2 km 【答案】B 【详解】解：∵甲队前0.5小时的速度为， ∴甲队0.5小时后的速度为， ∵乙到达集合点所用的时间为（小时）， ∴甲队出发后（小时）乙队才出发， 当甲出发时间时，甲队前进的路程为，乙队前进的路程为， ∴当甲出发时间时，甲乙两队相距． 【变式10-1】甲、乙、丙、丁四人在学校举行的运动会中参加100m短跑比赛，在某一时刻，将四人已跑路程（y）与所用时间（x）的对应点在平面直角坐标系中表示出来，如图所示，则四人中平均速度最慢的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】如图，先分别连接原点与甲、乙、丙、丁四个点，再找一条垂直轴的网格线，与丁点所在直线交点在最下方，即相同时间内丁已跑路程最小， 所以平均速度最慢的是丁． 【变式10-2】如图甲，在中，点从点出发向点运动，设线段的长为，线段的长为y，y与x的函数图象如图乙所示，点是图象上的最低点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的最小值为1 D． 【答案】C 【详解】解：∵点从点出发向点运动， ∴当时，与点重合，结合图象可知，A选项正确，不符合题意； 当时，点与点重合时，，此时，即，B选项正确，不符合题意； 从图乙可以看出当时，最短，即，此时，在中利用勾股定理求出，故C选项错误，符合题意； 当时，由中，可知，所以，D选项正确，不符合题意． 【变式10-3】小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【答案】3 【详解】解：由函数图象可知，小王走完全程1200米用了12分钟．小王的速度（米/分钟） 爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家． 说明爸爸往返一共用了：（分钟）． 因为往返速度一样，所以爸爸单程（家到公园）用了：（分钟）． 爸爸的速度 （米/分钟） 设第一次相遇时小王走了分钟，依题意得： 解得：，． 设第二次相遇时小王走了分钟，依题意得：， 解得： 两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 题型十一 用描点法画函数图象 【例21】小华同学根据函数的学习经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】 【详解】解：根据图象可知，函数图象与直线有个交点， 方程的实数根有个， 故选：D． 【例22】已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象： x ... ... y ... ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）解：列表： x ... 0 1 2 3 4 ... y ... 3 0 0 3 ... 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知：当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式11-1】描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律． … … … … (1)求函数自变量的取值范围； (2)请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)若时，的取值范围是． 【分析】 【详解】（1）解：求函数自变量的取值范围为； （2）解：列表： 0 1 2 3 2 1 0 描点，连线，图象如下， （3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小． 当时，，即当时，． 答：若时，的取值范围是． 【变式11-2】如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【答案】(1)列表见解析 (2)函数图像见解析 【分析】 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 【变式11-3】让我们一起用描点法探究的图像和性质，并解决相关问题： ①列表： 0 1 2 3 4 5 6 5 1 -1 1 3 ②描点；③连线． (1)求出表格中、的值； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图像； (3)观察图像，当________时，随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵将分别代入中得： ，， ∴； （2）解：∵， ①当时：， ②当时：， ③当时：， ∴图象如下： ； （3）解：由（2）知，观察图象可知当时，随的增大而减小， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26八年级下·辽宁鞍山·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为长方形的面积；变量为长，宽 B．常量为长方形的面积、宽为，变量为长 C．常量为长方形的面积、长为，变量为 D．常量为长、宽，变量为长方形的面积 【答案】A 【详解】解：∵长方形的面积固定为，在变化过程中数值保持不变， ∴长方形的面积是常量， ∵长和宽的数值可以发生变化，满足， ∴和是变量． 2．（2026·河南濮阳·二模）奶茶的香甜源于添加的果糖，过量摄入果糖容易导致肥胖．生物小组查阅资料发现，某生物团队对60只健康状况相同、体重相同的小鼠进行为期28天的喂养实验．A组（30只）小鼠正常喂养，B组（30只）小鼠加入果糖喂养．如图是小鼠体重增长率y（单位：）与喂养天数t（单位：天）的函数关系．下列说法错误的是（     ） A．随着喂养天数的增加，A组小鼠的体重增长率越来越大 B．在喂养的过程中，B组小鼠的体重大于A组小鼠的体重 C．喂养7天，两组小鼠的体重相差最大 D．果糖喂养7天小鼠体重的增长量大于正常喂养28天小鼠体重的增长量 【答案】C 【详解】解：A、由图可知，随着喂养天数的增加，A组小鼠的体重增长率越来越大，正确，但不符合题意； B、由图可知，在喂养的过程中，B组小鼠的体重大于A组小鼠的体重，正确，但不符合题意； C、由图可知，7天以后两组小鼠的体重差仍然在增大，所以选项C错误，符合题意； D、由图可知，果糖喂养7天小鼠体重的增长量大于正常喂养28天小鼠体重的增长量，正确，但不符合题意． 3．（2025·26八年级下·河南鹤壁·期末）我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：根据函数图象提供的信息逐项分析判断如下： 起跑后1小时内，乙已经超过甲，故①错误； 在1小时的时候乙跑了10千米，甲不到10千米，故②错误； 在2小时处乙跑在甲前面，从函数图象可知，短时间内甲不可能超过乙，由此可估计乙比甲先到达终点，故③正确； 甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，可知两人都跑了21.0975公里，故④正确； 综上所述：正确的有③④． 4．（2026·海南海口·二模）如图1在一水平放置的正方形左侧有一个等腰，其顶点，在同一水平线上，，且点与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点运动到边中点时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的对应关系如图2所示，则正方形的边长为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：由图象得，当时，点与的中点重合， 当时，点B运动到的中点， ∴， ∴正方形的边长为6． 5．（2025·26八年级下·福建漳州·期中）如图，一个函数的图象由线段，曲线，线段组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图象，函数在的最低点是点， 则此函数在的最小值是． 6．（2025·26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知等腰三角形周长为25，底边长y关于腰长x的函数解析式为_______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意得：底边长y关于腰长x的函数解析式为， 根据三角形三边关系可得：，且， ∴． 7．（2025·26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，是一位病人某天（0时~24时）体温随时间的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________； (2)这个病人该天最高体温是________，最低体温________； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧的总时长为________小时． 【答案】(1)时间 (2)； (3)10 【分析】 【详解】（1）解：根据图象可知：自变量是时间； （2）解：根据图象可知：这个病人该天最高体温是，最低体温是； （3）解：根据图象可知：若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是4时∼14时． 则这位病人发烧时间为：（小时）， 这位病人发烧的总时长为小时． 8．（2021·22九年级上·云南红河·期末）在2021年东京奥运会上，我国跳水梦之队在跳水项目中一共斩获了7枚金牌，取得了优秀的成绩．跳水运动员在下落过程中可近似看作是自由落体运动．自由落体运动是指物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动，物体下落的高度（单位：m）随物体下落的时间（单位：s）满足关系式（取），若我国某跳水运动员从距离水面10米的高度开始下落（忽略空气阻力），落至水面所需要的时间为________s． 【答案】 【详解】解：将，代入得 ， 整理得， 因为下落时间， 所以． 9．（2025·26九年级下·湖北孝感·阶段检测）如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 【答案】 6 4 【分析】 【详解】解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小， ∴此时， ∴如图所示，此时点P运动的路程为， 由（1）可知，， ∴， 在中，，即． 10．（2025·26八年级下·全国·课后作业）要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：与之间的函数表达式是； （2）解：当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下： 1 2 3 4 5 6 12 6 4 3 2 （3）解：函数的图象如下： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·湖北·模拟预测）向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：容器下部较粗，上部较细，且均为圆柱体， 注水过程中，水深与注水量的关系图象应为折线， 排除A、D选项； 下部底面积大，上部底面积小 ， 在下部注水时，水深随注水量的增加上升较慢，图象斜率较小（较平缓）， 在上部注水时，水深随注水量的增加上升较快，图象斜率较大（较陡峭）， 符合题意的图象是先平缓后陡峭的折线， 故选：C． 2．（2025·26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数． (1)自变量x的取值范围是______； (2)下表中m＝______； x … 0 0.5 1.5 2 3 5 … y … 1 2 4 8 8 m 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象能得到什么信息？ 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）∵， ∴； （2）观察图表可知，图象对称轴为， ∵ 和也关于对称， ∴此时的纵坐标相同， ∴4； （3）如图所示， （4）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 3．（2025·26七年级下·河南郑州·阶段检测）综合与实践． 【主题】探究游泳池换水过程中的数学问题． 【实践背景】某游泳池在一次换水前存水立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时立方米的速度将水放出，当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少． 【数据记录】该游泳池的存水量变化情况如下表： 放水时间（小时） 存水量（立方米） 【问题解决】 (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)根据上表反映的规律写出与之间的关系式为 （不要求写出的取值范围）； (3)放水小时后，该游泳池内还有存水吗？放水小时呢？ 【答案】(1)放水时间 ；存水量 (2) (3)放水小时后，该游泳池内还有存水立方米；放水小时后该游泳池内没有存水 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 （2）解：根据题意，换水前存水立方米，以每小时立方米的速度将水放出， 则与的函数关系式为． （3）解：当时，求得（立方米），因为， 所以放水小时后，该游泳池内还有存水立方米． 当时，求得（立方米）， 因为，所以放水小时后该游泳池内没有存水． 4．（2025·26八年级下·吉林·期中）2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： (1)机器人小松比机器人小江先出发________； (2)机器人小江提速后的速度为________； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2)30 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由函数图象可知，机器人小松比机器人小江先出发； （2）解：机器人小江的原速度， ∵小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍， ∴机器人小江提速后的速度为； （3）解：∵， ∴； ∴机器人小松的速度为， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山东潍坊·二模）定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，每个点的横坐标与前一个点横坐标的差都等于0.2），则的值等于_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，点的横坐标满足， ∵，其中表示不超过的最大整数， ∴， ∵相邻点横坐标差为， ∴函数值每5个一组，一组内5个数相等，每到下一组，函数值加1， 对于，其纵坐标的取值是从到的整数，每个整数值出现5次， 故， 又， 所以． 2．截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 【答案】(1)所挂物体的质量 (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵在这个变化过程中，弹簧的长度随着所挂物体的质量的变化而变化， ∴所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为 ，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加， ∵， ∴当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长， ∴y与x之间的关系式为． ∵弹簧最大能够承受的重物， ∴自变量x的取值范围是； （3）解：将代入， 得， 所以， 所以当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 3．下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示离开家的时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上． (1)小明从家到食堂用的时间是________分钟，平均速度是_______千米/分钟； (2)小明在食堂吃早餐用的时间是______分钟； (3)食堂到图书馆的距离是________千米； (4)小明读报用的时间是________分钟； (5)图书馆到小明家的距离是________千米，小明从图书馆回家的平均速度是________千米/分钟． 【答案】(1)8，0.075 (2)17 (3)0.2 (4)30 (5)0.8，0.08 【分析】 【详解】（1）解：观察图象得：小明从家到食堂用的时间是分钟；平均速度是千米/分钟； （2）解：小明在食堂吃早餐用的时间是分钟； （3）解：食堂到图书馆的距离是，； （4）解：小明读报用的时间是分钟； （5）解：图书馆到小明家的距离是千米，小明从图书馆回家的平均速度是千米/分钟． 4．综合应用 (1)近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． (2)现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 【答案】(1)①一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 (2)①240；②160；③或 【分析】 【详解】（1）解：①设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 根据题意列一元一次不等式组得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为18，19，20， ∴共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 （2）解：①根据图象可知，甲从A到B总距离为， 因此A、B两地之间的路程为； ②甲速度：，乙速度：， 设t小时相遇，两人路程和为总路程：， 解得：， 相遇时甲走了，距B地距离为， 故经2小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为； ③设甲出发后甲、乙两人相距． 分三种情况： 相遇前，， 解得：； 相遇后且乙到达终点前，， 解得：，，不合题意，舍去； 乙到达终点后，， 解得：； 综上可知，甲出发或后甲、乙两人相距． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $