专题01 平面直角坐标系（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题01 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用有序数表示位置或路线 题型二 利用坐标确定点的位置 题型三 象限内和坐标轴上点的特征 题型四 点到坐标轴的距离 题型五 图形在坐标轴上的对称 题型六 点的坐标与图形面积 题型七 用坐标表示地理位置 题型八 坐标的平移问题 题型九 坐标的对称问题 题型十 点在坐标内的变化规律 题型十一 坐标系中的动点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系与象限划分 能识别坐标系组成要素，准确判断点所在象限 基础必考题，以选择、填空题为主，易错点是分不清象限顺序，误将坐标轴上的点归入象限 点的坐标基本概念 能规范读写点的坐标，根据坐标完成描点操作 入门基础考点，难度低，常见错误为横、纵坐标书写顺序颠倒 特殊位置点的坐标特征 能结合象限、坐标轴、平行线、角平分线的特点判断坐标规律 高频核心考点，常结合参数求值考查，易混淆不同位置点的坐标特点 对称点的坐标变化规律 能熟练求出点关于坐标轴、原点的对称点坐标 常规重点题型，计算类题目居多，易错点是坐标符号变换出错 坐标与距离计算 能运用公式求解点到坐标轴的距离、两点间距离 重难点考点，各类题型均会涉及，易错点是计算距离时遗漏绝对值 点与图形的平移变换 能依据平移规律求出变换后的对应点坐标 必考综合考点，常搭配几何图形考查，易错点是平移方向与坐标加减规则记反 图形变换与平面直角坐标系建立 能完成图形对称、放缩的坐标变换，结合图形合理建立坐标系 拔高题型，多作为小题压轴或解答题小问，侧重考查数形结合思想 知识点01 确定平面上物体的位置 1.行列定位法 依靠“第几排、第几列”描述位置，该方法具有有序性，一般先表述列（横向），再表述行（纵向），顺序不可颠倒。 2.方位角+距离定位法 以某一点作为参照点，结合方位角（方向）和距离确定位置。示例：A岛在观测点北偏东40°方向，距离30海里。 3.经纬度定位法 利用经度、纬度两组数值，确定地球表面任意一点的位置。 知识点02 平面直角坐标系的概念与构成 1.定义 在同一平面内，由两条有公共原点、互相垂直的数轴组成平面直角坐标系。 2.组成部分 原点：两条数轴的交点，记作。 横轴（轴）：水平方向数轴，规定向右为正方向。 纵轴（轴）：竖直方向数轴，规定向上为正方向。 象限：坐标轴将平面划分为四个区域，按逆时针依次分为四个象限。 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 3.补充规定 坐标轴上的所有点，不属于任何一个象限。 知识点03 点的坐标 1.坐标定义 在平面内任取一点，分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数依次为、。叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标。有序数对即为点的坐标，记作。 2.读写规则 遵循先横后纵的顺序，括号包裹两个数，中间用逗号分隔。例如：横坐标为，纵坐标为，记作。 3.根据坐标描点 已知坐标，先在轴找到数值，作轴的垂线；再在轴找到数值，作轴的垂线，两条垂线的交点就是该坐标对应的点。 知识点04 特殊位置点的坐标特征 1.各象限内点的符号特征 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 2.坐标轴上的点 轴上的点：纵坐标为，坐标形式。 轴上的点：横坐标为，坐标形式。 原点：横、纵坐标均为，坐标。 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，即为定值。 平行于轴的直线：直线上所有点横坐标相等，即为定值。 4.象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线（直线）：点的横坐标与纵坐标相等，即。 第二、四象限角平分线（直线）：点的横坐标与纵坐标互为相反数，即。 5.关于坐标轴、原点对称的点 点关于轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标为。 点关于轴对称的点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标为。 点关于原点对称的点：横、纵坐标都互为相反数，坐标为。 知识点05 坐标与距离计算 1.点到坐标轴的距离 点到轴的距离：等于纵坐标的绝对值，即。 点到轴的距离：等于横坐标的绝对值，即。 2.两点间距离 两点连线平行于轴：设两点坐标为、，两点距离。 两点连线平行于轴：设两点坐标为、，两点距离。 平面内任意两点：设两点坐标为、，由勾股定理得距离公式： 知识点06 坐标与图形变换 1.点的平移变换 平移规律：右加左减，上加下减。 左右平移（横坐标变化，纵坐标不变）：点向左平移个单位，坐标变为；向右平移个单位，坐标变为。 上下平移（纵坐标变化，横坐标不变）：点向上平移个单位，坐标变为；向下平移个单位，坐标变为。 2.点的对称变换 对称规则同前文特殊点坐标特征：关于轴对称、关于轴对称，直接按照对应规则改写坐标即可。 3.平面图形的变换 多边形、几何图形的平移、对称变换，只需对图形所有顶点依次做坐标变换，再依次连接各顶点，即可得到变换后的图形。 4.建立平面直角坐标系的方法 选择原则：结合图形特点，选取计算简便的建系方式。 常用思路：以图形顶点为原点；以图形对称轴为坐标轴；以图形某条边所在直线为坐标轴。 补充说明：同一图形在不同坐标系中，各点坐标会发生改变，但图形的形状、大小、各部分相对位置保持不变。 5.图形的放缩变换 将多边形所有顶点的横、纵坐标同时乘同一个正数，图形形状保持不变。 边长变化：各边长度变为原来的倍（放大，缩小）。 面积变化：图形面积变为原来的倍。 题型一 用有序数表示位置或路线 【例1】如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则．点A、B的位置可以分别表示为，，则表示为的点为（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【变式1-1】若将正整数按图所示的规律排列．若用有序数对表示第a排，从左至右第b个数，例如表示的数是9，则表示的数是______． 【变式1-2】如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【变式1-3】如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 题型二 利用坐标确定点的位置 【例3】如图，方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为__________． 【例4】有甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是”．丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是”．若以乙为坐标原点，甲、丙的坐标分别是（已知三人建立坐标时，轴、轴的正方向相同）（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】已知轴，A的坐标为，，则点B的坐标是____． 【变式2-2】一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 象限内和坐标轴上点的特征 【例5】已知点在y轴的负半轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】如图，被墨迹盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 点到坐标轴的距离 【例7】点到轴的距离为________． 【例8】点在轴的左侧，到轴、轴的距离分别是和，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到轴与轴的距离之和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，且点在第二象限，则点的坐标为______． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 题型五 图形在坐标轴上的对称 【例9】已知，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例10】若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】点与点关于y轴对称，则________． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，若点和关于轴对称，则点的坐标为_________． 题型六 点的坐标与图形面积 【例11】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【例12】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【变式6-2】茅麓中学位于金坛的点O处，该校学生要到尧塘点C处购买花木．他们先向东走了到达A处，又向北走了到达B处，又折向东走了到达C处，若以O为原点，过O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，以1为单位长度建立直角坐标系． (1)在直角坐标系里，标出旅游路线； (2)可得点C的坐标是 ；与x轴是什么关系？ ． (3)求两地的距离； (4)若O、C两点的位置不变，在x轴上求点P，使得的面积是的面积的，试写出点P的坐标． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，交轴于点，点在第一、三象限的角平分线上，轴． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)若是轴上的一动点，且的面积是面积的，求点的坐标． 题型七 用坐标表示地理位置 【例13】小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（     ） A．健德门 B．东直门 C．会城门 D．宣武门 【例14】北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，如图是其中四星的位置示意图，建立平面直角坐标系，若天权的坐标为，天璇的坐标为，则天玑的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂：“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【变式7-2】如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，则叶柄“底部”点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为________． 题型八 坐标的平移问题 【例15】如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 【例16】如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 题型九 点在坐标内的变化规律 【例17】如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例18】如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为___________，点的坐标为___________． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为______． 题型十 坐标系中的动点问题 【例19】在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例20】在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 【变式10-1】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为．下列说法正确的是（     ） A．当时，点B是线段的中点 B．存在唯一一个m的值，使得 C．不存在m，使得 D．无论m取何值，线段的长度恒为定值 【变式10-2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·贵州贵阳·一模）从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26七年级下·贵州遵义·期中）2026年2月17日晚，遵义乌江寨在开场的无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26七年级下·甘肃定西·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·26七年级下·四川广安·期中）蒋老师为了确定班上同学的位置，用有序数对表示同学的位置，如表示第排第列的位置，小颖的位置是“第排第列”，则用有序数对记为________． 5．（2025·26七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为______． 6．（2025·26七年级下·福建南平·阶段检测）以二元一次方程组的解为坐标的点在第______象限． 7．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 8．（2025·26七年级下·湖北恩施·期中）根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 9．（2025·26七年级下·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中画出三角形； (2)把三角形先向下平移个单位，再向左平移个单位得到三角形（点，，的对应点分别为点，，），画出三角形． 10．（2025·26八年级下·河北沧州·期中）如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 2．（2025·26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 3．（2025·26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)直接写出的长为______； (2)点为轴上的一点，使为等腰三角形，求点的坐标． 4．（2025·26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）我国“北斗”卫星导航系统的信号覆盖模型中，规定把一个等边三角形信号区域先沿轴翻折，再向右平移个单位称为次信号优化变换．如图，已知等边三角形信号区的顶点、的坐标分别是、，把经过连续次这样的信号优化变换得到，则点的对应点的坐标是_______． 3．（2025·26七年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． (1)若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求的值； (3)若点Q是点的“级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值． 4．（2025·26七年级下·广西河池·期中）如图是某社区分布图的一部分，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．火车站的坐标是，汽车站的坐标是，根据上面的信息，解答下列问题： (1)超市的坐标是_____； (2)医院的坐标为，且横坐标比纵坐标小5，求的值及医院的坐标，并在图中标出医院的位置． (3)市场的坐标为，且，若该点到轴的距离是到轴距离的2倍，求市场的坐标，并在图中标出市场的位置． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用有序数表示位置或路线 题型二 利用坐标确定点的位置 题型三 象限内和坐标轴上点的特征 题型四 点到坐标轴的距离 题型五 图形在坐标轴上的对称 题型六 点的坐标与图形面积 题型七 用坐标表示地理位置 题型八 坐标的平移问题 题型九 坐标的对称问题 题型十 点在坐标内的变化规律 题型十一 坐标系中的动点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系与象限划分 能识别坐标系组成要素，准确判断点所在象限 基础必考题，以选择、填空题为主，易错点是分不清象限顺序，误将坐标轴上的点归入象限 点的坐标基本概念 能规范读写点的坐标，根据坐标完成描点操作 入门基础考点，难度低，常见错误为横、纵坐标书写顺序颠倒 特殊位置点的坐标特征 能结合象限、坐标轴、平行线、角平分线的特点判断坐标规律 高频核心考点，常结合参数求值考查，易混淆不同位置点的坐标特点 对称点的坐标变化规律 能熟练求出点关于坐标轴、原点的对称点坐标 常规重点题型，计算类题目居多，易错点是坐标符号变换出错 坐标与距离计算 能运用公式求解点到坐标轴的距离、两点间距离 重难点考点，各类题型均会涉及，易错点是计算距离时遗漏绝对值 点与图形的平移变换 能依据平移规律求出变换后的对应点坐标 必考综合考点，常搭配几何图形考查，易错点是平移方向与坐标加减规则记反 图形变换与平面直角坐标系建立 能完成图形对称、放缩的坐标变换，结合图形合理建立坐标系 拔高题型，多作为小题压轴或解答题小问，侧重考查数形结合思想 知识点01 确定平面上物体的位置 1.行列定位法 依靠“第几排、第几列”描述位置，该方法具有有序性，一般先表述列（横向），再表述行（纵向），顺序不可颠倒。 2.方位角+距离定位法 以某一点作为参照点，结合方位角（方向）和距离确定位置。示例：A岛在观测点北偏东40°方向，距离30海里。 3.经纬度定位法 利用经度、纬度两组数值，确定地球表面任意一点的位置。 知识点02 平面直角坐标系的概念与构成 1.定义 在同一平面内，由两条有公共原点、互相垂直的数轴组成平面直角坐标系。 2.组成部分 原点：两条数轴的交点，记作。 横轴（轴）：水平方向数轴，规定向右为正方向。 纵轴（轴）：竖直方向数轴，规定向上为正方向。 象限：坐标轴将平面划分为四个区域，按逆时针依次分为四个象限。 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 3.补充规定 坐标轴上的所有点，不属于任何一个象限。 知识点03 点的坐标 1.坐标定义 在平面内任取一点，分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数依次为、。叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标。有序数对即为点的坐标，记作。 2.读写规则 遵循先横后纵的顺序，括号包裹两个数，中间用逗号分隔。例如：横坐标为，纵坐标为，记作。 3.根据坐标描点 已知坐标，先在轴找到数值，作轴的垂线；再在轴找到数值，作轴的垂线，两条垂线的交点就是该坐标对应的点。 知识点04 特殊位置点的坐标特征 1.各象限内点的符号特征 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 2.坐标轴上的点 轴上的点：纵坐标为，坐标形式。 轴上的点：横坐标为，坐标形式。 原点：横、纵坐标均为，坐标。 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，即为定值。 平行于轴的直线：直线上所有点横坐标相等，即为定值。 4.象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线（直线）：点的横坐标与纵坐标相等，即。 第二、四象限角平分线（直线）：点的横坐标与纵坐标互为相反数，即。 5.关于坐标轴、原点对称的点 点关于轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标为。 点关于轴对称的点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标为。 点关于原点对称的点：横、纵坐标都互为相反数，坐标为。 知识点05 坐标与距离计算 1.点到坐标轴的距离 点到轴的距离：等于纵坐标的绝对值，即。 点到轴的距离：等于横坐标的绝对值，即。 2.两点间距离 两点连线平行于轴：设两点坐标为、，两点距离。 两点连线平行于轴：设两点坐标为、，两点距离。 平面内任意两点：设两点坐标为、，由勾股定理得距离公式： 知识点06 坐标与图形变换 1.点的平移变换 平移规律：右加左减，上加下减。 左右平移（横坐标变化，纵坐标不变）：点向左平移个单位，坐标变为；向右平移个单位，坐标变为。 上下平移（纵坐标变化，横坐标不变）：点向上平移个单位，坐标变为；向下平移个单位，坐标变为。 2.点的对称变换 对称规则同前文特殊点坐标特征：关于轴对称、关于轴对称，直接按照对应规则改写坐标即可。 3.平面图形的变换 多边形、几何图形的平移、对称变换，只需对图形所有顶点依次做坐标变换，再依次连接各顶点，即可得到变换后的图形。 4.建立平面直角坐标系的方法 选择原则：结合图形特点，选取计算简便的建系方式。 常用思路：以图形顶点为原点；以图形对称轴为坐标轴；以图形某条边所在直线为坐标轴。 补充说明：同一图形在不同坐标系中，各点坐标会发生改变，但图形的形状、大小、各部分相对位置保持不变。 5.图形的放缩变换 将多边形所有顶点的横、纵坐标同时乘同一个正数，图形形状保持不变。 边长变化：各边长度变为原来的倍（放大，缩小）。 面积变化：图形面积变为原来的倍。 题型一 用有序数表示位置或路线 【例1】如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则．点A、B的位置可以分别表示为，，则表示为的点为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点的位置表示为，点的位置表示为 ， ∴有序数对的第一个数表示点所在的圈数，第二个数表示点所在的度数 ， ∴表示的点在第2圈，的方向上 观察图形可知，点在第2圈，的方向上， ∴表示为的点为 ． 【例2】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 【变式1-1】若将正整数按图所示的规律排列．若用有序数对表示第a排，从左至右第b个数，例如表示的数是9，则表示的数是______． 【答案】 【详解】解：观察排列规律可得：第排有个正整数， 前n排的正整数总个数就是 则前排的总个数：， 那么第32排第14个数就是． 【变式1-2】如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)从点到点应记为． 【分析】 【详解】（1）解：图中； 故答案为：； （2）解：点的位置如图所示． （3）解：，， ，， 从点到点应记为． 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点，解决本题的关键是理解题意，明确每一个坐标的对应点． 【变式1-3】如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【答案】(1)光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区． （2）如图所示，图中黑粗线即为所求． 题型二 利用坐标确定点的位置 【例3】如图，方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】 【详解】解：由已知可知若以点为原点建立平面直角坐标系，则点在点向右2个单位，向下1个单位处，如下图 . 故答案为： 【例4】有甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是”．丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是”．若以乙为坐标原点，甲、丙的坐标分别是（已知三人建立坐标时，轴、轴的正方向相同）（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：如图所示，以乙所在位置为平面直角坐标系的原点，建立平面直角坐标系，根据甲、丙与乙的位置关系，确定甲和丙的位置，所以甲、丙的坐标分别是，． 【变式2-1】已知轴，A的坐标为，，则点B的坐标是____． 【答案】或 【详解】解：轴，点的坐标为，， 点的纵坐标为， 若点在点的左侧，则点的横坐标为，此时点的坐标为； 若点在点的右侧，则点的横坐标为，此时点的坐标为． 【变式2-2】一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__． 【答案】 【详解】解：设第四个顶点的坐标为，已知三个顶点坐标分别为，，，观察可得点与点的纵坐标相等，两点连线平行于轴， 点与点的横坐标相等，两点连线平行于轴， 根据长方形的性质，第四个顶点的横坐标与的横坐标相等，纵坐标与的纵坐标相等， 因此得，， 即第四个顶点的坐标为． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于x轴， ∴． 题型三 象限内和坐标轴上点的特征 【例5】已知点在y轴的负半轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 【例6】已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴，解得：， ∴此点的坐标为：， 即此点坐标为， ∴此点在第二象限，故B正确． 【变式3-1】如图，被墨迹盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：被墨迹盖住的点的坐标在第二象限，只有在第二象限， 即被墨迹盖住的点的坐标可能为． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 【变式3-3】若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∴，， ∴点在第三象限. 题型四 点到坐标轴的距离 【例7】点到轴的距离为________． 【答案】7 【详解】解：点到轴的距离为． 【例8】点在轴的左侧，到轴、轴的距离分别是和，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵点在轴的左侧， ∴点的横坐标小于 ∵点到轴、轴的距离分别是和， ∴的横坐标为，纵坐标为或，即或 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到轴与轴的距离之和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值， ∴点到轴与轴的距离之和是． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，且点在第二象限，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为：； ∵点在第二象限， ∴点． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ， ， 点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等， ∴． 解得． 当时，， 点的坐标为． 题型五 图形在坐标轴上的对称 【例9】已知，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴， 解得，； ∴点的坐标为， 根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数， 可得点关于x轴对称的点的坐标为. 【例10】若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标为， ∵第四象限内点的纵坐标小于，该对称点在第四象限， ∴， ∴． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标是． 【变式5-2】点与点关于y轴对称，则________． 【答案】1 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，若点和关于轴对称，则点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：点和关于轴对称， 两点纵坐标相等，可得，解得， 将代入点的横坐标，得， 点的坐标为． 题型六 点的坐标与图形面积 【例11】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 【例12】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 【变式6-2】茅麓中学位于金坛的点O处，该校学生要到尧塘点C处购买花木．他们先向东走了到达A处，又向北走了到达B处，又折向东走了到达C处，若以O为原点，过O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，以1为单位长度建立直角坐标系． (1)在直角坐标系里，标出旅游路线； (2)可得点C的坐标是 ；与x轴是什么关系？ ． (3)求两地的距离； (4)若O、C两点的位置不变，在x轴上求点P，使得的面积是的面积的，试写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，平行 (3) (4)或 【分析】 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：延长交y轴于D，连接，则， ， C的坐标是，轴． 故答案为：，平行； （3）解： 在中，， 两地的距离为； （4）解：连接，设，则， 的面积是的面积的， ， ， ， P的坐标是或． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，交轴于点，点在第一、三象限的角平分线上，轴． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)若是轴上的一动点，且的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵点在第一、三象限的角平分线上，点， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵轴，，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是面积的， ∴， 设点P的坐标为，则， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 题型七 用坐标表示地理位置 【例13】小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（     ） A．健德门 B．东直门 C．会城门 D．宣武门 【答案】B 【详解】解：∵永定门的坐标为，西直门的坐标为， ∴ 图中网格小正方形的边长为1个单位长度，且轴为中轴线，轴为过永定门的水平线． 观察图象，结合平面直角坐标系的原点及单位长度，则： 健德门的大致坐标，A选项错误； 东直门的大致坐标，B选项正确； 会城门的大致坐标，C选项错误； 宣武门的大致坐标，D选项错误． 【例14】北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，如图是其中四星的位置示意图，建立平面直角坐标系，若天权的坐标为，天璇的坐标为，则天玑的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由天权的坐标为，天璇的坐标为，建立平面直角坐标系，如图所示， 则天玑的坐标为． 【变式7-1】中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂：“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【答案】(1)见详解 (2)典籍之光的坐标，节气食肆的坐标 (3)见详解 【分析】 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图； （2）解：根据坐标系可得：典籍之光的坐标，节气食肆的坐标； （3）解：汉服体验中心的位置如图． 【变式7-2】如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，则叶柄“底部”点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则叶柄“底部”点C的坐标为． 【变式7-3】敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为________． 【答案】 【详解】解：根据题意建立直角坐标系如下： ∴三危山景区的坐标为． 题型八 坐标的平移问题 【例15】如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，则的值是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵，，，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ． 【例16】如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵点，关于轴对称，点，的对应点分别为点，， ∴点，横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， ∵点的坐标为，沿轴正半轴方向平移，点，在轴上， ∴当点在内部时，． 【变式8-1】在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：已知点原坐标为， 将点向右平移个单位长度，横坐标变为， 再向下平移个单位长度，纵坐标变为， ∴平移后点的坐标为． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达的位置， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达点的位置， 点的坐标为， 点的坐标为    题型九 点在坐标内的变化规律 【例17】如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， ，，，， ，…… 观察各个点的坐标，发现每4个点一组呈现规律性变化． ∵， ∴观察点，，，……的坐标规律发现： 当下标时， ，坐标， 又， ． 【例18】如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为___________，点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：、、、，……， 由此发现：下标为偶数的点的坐标规律为， ∵， ∴，即； ∵、、、，……， ∴下标为奇数的点的坐标规律为， ∵， ∴点的坐标为，即． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，…按这样的运动规律．点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象得：，，，， ∴点P的横坐标和序号相同，纵坐标以1，0，，0，为一个循环变化， ∵ ∴点的纵坐标为0 ∴点的坐标是． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：由图可知，，，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 题型十 坐标系中的动点问题 【例19】在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 【例20】在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 【答案】 或 【详解】解：（1）∵点， ∴，，可得， 根据关联点定义，得， ∴点的坐标为． （2）∵点的关联点的坐标为， ∴，， 分两种情况讨论： 当时， ，即 ，解得， ∴点， ∵，横坐标相同，线段在直线上， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 当时， ，即 ，解得， ∴点， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 综上所述， 或． 【变式10-1】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为．下列说法正确的是（     ） A．当时，点B是线段的中点 B．存在唯一一个m的值，使得 C．不存在m，使得 D．无论m取何值，线段的长度恒为定值 【答案】B 【详解】解：∵点，，，轴，点纵坐标为， ∴横坐标与相同，． 验证选项A： 当时，，， 中点横坐标为，点横坐标为， ∵ ，∴ 不是线段的中点，A错误； 验证选项D： ，长度随变化，不是定值，D错误； 验证选项C： ，若，则， 两边平方得，整理得，解得，存在满足条件的，C错误； 验证选项B： ，若，则， 两边平方得，整理得，解得，只有唯一一个解， ∴ 存在唯一一个满足条件，B正确． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 【答案】B 【详解】解：∵ 轴，，的纵坐标为， ∴ 的横坐标与相同，即， ∴，， 对选项A：若在第三象限，则，得， 若，则，时，，解得，不满足，不存在这样的，不符合题意； 对选项B：若，则，两边平方得：，整理得，因式分解得，解得或，符合题意； 对选项C：若在轴上，则横坐标，解得，存在这样的，可以在轴上，不符合题意； 对选项D：由选项C可知，可以取，不符合题意． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为，的面积为10 (2)存在，点D的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； （2）解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·贵州贵阳·一模）从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立网格如图： ∴“文昌阁”的坐标可以表示为． 2．（2025·26七年级下·贵州遵义·期中）2026年2月17日晚，遵义乌江寨在开场的无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴横坐标变化为，纵坐标变化为， 即平移规律为横坐标减3，纵坐标减4． ∴点平移后的对应点的坐标是，即． 3．（2025·26七年级下·甘肃定西·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：根据题意得，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0， ∵， ∴点的纵坐标是0． 4．（2025·26七年级下·四川广安·期中）蒋老师为了确定班上同学的位置，用有序数对表示同学的位置，如表示第排第列的位置，小颖的位置是“第排第列”，则用有序数对记为________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，有序数对中，第一个数代表排数，第二个数代表列数， ∵小颖的位置是第排第列， ∴对应的有序数对为． 5．（2025·26七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：点在x轴上， ，解得． P点横坐标为． 故点P坐标为． 6．（2025·26七年级下·福建南平·阶段检测）以二元一次方程组的解为坐标的点在第______象限． 【答案】四 【详解】解：方程组， 解得：， 所以以二元一次方程组的解为坐标的点为， 这个点在第四象限． 7．（2026·山东淄博·一模）如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵， ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 8．（2025·26七年级下·湖北恩施·期中）根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得，机器人从运动到，收到的指令为； （2）解：如图，即为所求． 9．（2025·26七年级下·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中画出三角形； (2)把三角形先向下平移个单位，再向左平移个单位得到三角形（点，，的对应点分别为点，，），画出三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，，，把先向下平移个单位，再向左平移个单位得到三角形， ∴，，， 如图，即为所求． 10．（2025·26八年级下·河北沧州·期中）如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见详解；景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为， (2)①见详解；景点“大象馆”的坐标为；②7 【分析】 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为，． （2）解：①景点“大象馆”的位置如图所示： 景点“大象馆”的坐标为． ②由景点“大象馆”到“南门”的距离为7个单位长度． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“长距”为， ，为“等距点”， 点的“长距”为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ，解得或， 点在第三象限， 点的横坐标，即， ． 2．（2025·26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 【答案】1 【详解】解：∵长方形的顶点坐标分别是，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)直接写出的长为______； (2)点为轴上的一点，使为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)5 (2)点坐标为或或或 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵， ∴，， 根据勾股定理，得； （2）解：为等腰三角形， ①当时，如图，作轴， ， 点坐标为， ②当时，如图 ， 点坐标为，点坐标为； ③当时，如图， 作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接， ， 设，作轴， 在中， ， 解得，， 点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 4．（2025·26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，，，． 【分析】 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， ∴，； （2）解：由题意可得，，， ∴； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 综上，，，，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形和都是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“L”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：A． 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）我国“北斗”卫星导航系统的信号覆盖模型中，规定把一个等边三角形信号区域先沿轴翻折，再向右平移个单位称为次信号优化变换．如图，已知等边三角形信号区的顶点、的坐标分别是、，把经过连续次这样的信号优化变换得到，则点的对应点的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 点、的坐标分别是、， ， 是等边三角形， ，， ， 点的坐标为，即， 第一次翻折后点的对应点的坐标为，再向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为， 第二次翻折后的对应点的坐标为，再向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为， 第三次翻折后对应点的坐标为，再向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为， ， 由规律可知，每次信号优化变换对应点的横坐标加，纵坐标转换为原来纵坐标的相反数， 经过连续次这样的信号优化变换横坐标为，纵坐标转化为， 把经过连续次这样的信号优化变换得到，则点的对应点的坐标是． 3．（2025·26七年级下·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． (1)若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求的值； (3)若点Q是点的“级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为，即． （2）解：由题意得，， 解得，， 所以； （3）解：因为点的“级关联点”为Q， ， ∴， ①当点Q位于x轴上时，， 解得； ②当点Q位于y轴上时，， 解得． 综上，m的值为或． 4．（2025·26七年级下·广西河池·期中）如图是某社区分布图的一部分，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．火车站的坐标是，汽车站的坐标是，根据上面的信息，解答下列问题： (1)超市的坐标是_____； (2)医院的坐标为，且横坐标比纵坐标小5，求的值及医院的坐标，并在图中标出医院的位置． (3)市场的坐标为，且，若该点到轴的距离是到轴距离的2倍，求市场的坐标，并在图中标出市场的位置． 【答案】(1) (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】 【详解】（1）解：由图可得，超市的坐标是； （2）解：由题意知，， 解得， 医院的坐标为，即， （3）解：市场的坐标为，且， ， 该点到轴的距离为，到轴的距离为， 该点到轴的距离是到轴距离的2倍， ， 解得， 市场的坐标为， 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $