专题04 数据的分析17大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 聚焦数据的分析全维度能力，以基础统计量、数据整理、综合应用为逻辑主线，覆盖极差、方差、频数分布、箱线图等核心考点，通过阶梯式题型设计培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础统计量|题型1-8（24题）|围绕极差、方差、离差平方和的计算与应用，结合稳定性判断、决策问题|从定义计算到实际应用，体现数据离散程度分析的递进| |数据整理与描述|题型9-16（24题）|涵盖频数频率、分布表/图、四分位数、箱线图，结合样本估计总体|从数据收集到图表呈现，构建数据可视化与推断的逻辑链| |综合应用|题型17（3题）|融合统计量计算、图表分析、实际决策的解答题|整合前两模块知识，培养用数学语言表达现实问题的能力|

专题04 数据的分析 题型1 求极差 题型10 根据数据填写频数、频率统计表 题型2 已知极差求未知数据 题型11 频数分布表 题型3 求方差 题型12 频数分布直方图 题型4 利用方差求未知数据的值 题型13 用样本的频数估计总体的频数 题型5 根据方差判断稳定性 题型14 由样本所占百分比估计总体的数量 题型6 利用方差做决策 题型15 求四分位数 题型7 求离差平方和 题型16 画箱线图 题型8 离差平方和的应用 题型17 数据的分析解答题 题型9 根据数据描述求频数、频率 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求极差（共3小题） 1．已知一组数据6，1，4，6，8，则这组数据的极差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．某队员在射击训练中的成绩如下（单位：环）：9，6，8，8，10，他的成绩的极差是______环． 3．如表是甲、乙两人各打靶十次的成绩情况统计表（单位：环）． 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲 9 5 7 8 7 7 8 6 7 7 乙 2 4 6 8 7 6 8 9 9 10 根据上面的统计表，制作适当的统计图表示甲、乙两人打靶成绩的变化，并回答下列问题． (1)谁成绩变化的幅度大？ (2)甲、乙两人哪一次射击的成绩相差最大？相差多少？ 题型二 已知极差求未知数据（共3小题） 4．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）． A． B．8或 C．8 D．7或 5．某地一周的日最高气温分别本周的日最高气温的极差是，则x的值可能是（    ）． A．2 B．14 C．2或14 D．8 6．已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 题型三 求方差（共3小题） 7．已知一组数据，x，0，11，的平均数是0，则这组数据的方差是________． 8．甲、乙两组学生的数学期末测试成绩(满分 100分)如下． 甲组∶85，88，90，92，95． 乙组∶80，85，90，95，100． 则方差较小的是_____组（填“甲”或“乙”）． 9．已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 题型四 利用方差求未知数据的值（共3小题） 10．数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 11．嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 12．数据，，，，的方差计算公式为，则这组数据，，，⋯，的和是______． 题型五 根据方差判断稳定性（共3小题） 13．为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 14．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 15．为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； (2)对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 题型六 利用方差做决策（共3小题） 16．为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 17．某篮球队甲、乙两队队员进行投篮训练，每人投篮20次的命中数统计如下表，则成绩好的队伍是________队． 队伍 参加人数 平均命中数 中位数 方差 甲队 30 12 11 6.5 乙队 30 12 13 4.2 18．甲、乙两人是新华初级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加兴趣小组活动的测试成绩及当地近五年数学综合素养展示的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是，；方差分别是，． 信息二：当地近五年数学综合素养展示获奖分数线（单位：分） 年份 2021 2022 2023 2024 2025 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年数学综合素养展示获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加数学综合素养展示，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 题型七 求离差平方和（共3小题） 19．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 20．数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 21．为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． 题型八 离差平方和的应用（共3小题） 22．某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 23．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 24．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九 根据数据描述求频数、频率（共3小题） 25．某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 26．某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 27．社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题： 抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B a C 0.36 D 0.18 E 0.10 合计 1 (1)填空： ，此次调查中共抽取了 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； (3)该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数． 题型十 根据数据填写频数、频率统计表（共3小题） 28．2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； (3)若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 29．随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多．王老师为了指导学生有效利用网络进行学习，调查了部分学生每天利用网络学习的时长，并绘制了如下不完整的频数分布表，利用统计结果绘制了图1、图2两幅统计图． 选项 学习时间小时 频数 A B 20 C 50 D 10 (1)频数统计表中__________，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中，求“B”选项所对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有1500名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间高于2.5小时的有多少人？ 30．水是生命之源，每一滴水都来之不易，让我们共同守护这份宝贵的资源，为未来创造更美好的生活．某校举行了水资源保护知识竞赛，为了解本次知识竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩分 频数 百分数 等级 15 中等 良好 60 良好 45 优秀 (1)求抽取的学生总人数和表中，的值； (2)请补全频数分布直方图； (3)若将抽取的学生的竞赛成绩绘制成扇形统计图，成绩为的学生评为“良好”，求被评为“良好”的学生所在扇形圆心角的度数． 题型十一 频数分布表（共3小题） 31．某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，采取抽样调查的方式，随机抽取了部分学生对他们一周内平均每天参加课外阅读活动的时间（单位：min）进行数据的收集．为了更好地将收集的数据按照观察值的大小进行分组研究，小明同学根据统计数据绘制了如下的频数、频率分布表和频数分布直方图． 请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 每天阅读时间 频数 频率 1 6 2 15 3 4 12 5 3 (1)频数、频率分布表中的______；______； (2)补全频数分布直方图； (3)被调查的这些学生每天课外阅读时间的中位数落在第______组； (4)若该校共有3600名学生，试估计该校学生每天课外阅读时间不少于的学生人数． 32．随着天气温度越来越高，某校加强了对防溺水安全知识的宣传工作，组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取名学生的成绩，整理如下： Ⅰ．成绩的频数分布表： 组别 A B C D E 成绩/分 频数 3 4 16 7 Ⅱ．成绩的扇形统计图：    Ⅲ．在这一组的成绩（单位：分）分别为：86，84，88，87，83，82，85． 根据以上信息回答下列问题： (1)________，________，本次随机抽测成绩的中位数为________分． (2)求这次测试的平均成绩．（每一组的分值取组中值，如：分数段为取55，分数段为取65，分数段为取75，分数段为取85，分数段为取95） (3)若本校1500名学生都参加本次测试，请估计成绩不低于90分的人数． 33．骑行是一项绿色健康的运动，能增强体质、锻炼心肺功能，还能放松身心，深受大众喜爱．某骑行社团为了解团员每天自行车骑行时间，随机抽取部分团员进行调查，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 时间x/分钟 频数 A组 9 B组 m C组 12 D组 3 A组团员骑行时间（单位：分钟）如下：25，30，33，35，38，39，39，39，39． 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名团员？ (2)A组团员骑行时间的中位数是________，m的值是________； (3)若该骑行社团共有150名团员，估计该社团每天骑行时间在分钟的团员有多少名． 题型十二 频数分布直方图（共3小题） 34．为纪念中国工农红军长征胜利90周年，某学校组织了以“跟着红军走长征”为主题的国防教育课程，为了检验课程效果，学校在全校随机抽取了部分学生进行国防教育知识竞赛，并对这部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分）按以下4组进行整理：优秀为；良好为；中为；合格为．所有学生成绩均不低于60分，并绘制了这部分学生竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知良好等级学生的成绩分别为85，82，86，82，88，84，89，87，84，86，84，85，83，86，85，86，88． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)本次抽取的参与竞赛的学生人数为______，扇形统计图中m的值为______，n的值为______． (2)请补全频数分布直方图． (3)此次竞赛成绩的中位数为______． (4)学校准备为这次知识竞赛成绩前10名的学生颁发奖品，小圣的成绩为91分，小新的成绩为87分，判断他们能否获得奖品，并说明理由． 35．为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项满分都是10分），并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a．40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．40家企业“设备数字化率”评分在的具体数据如下： 7.2  7.2  7.2  7.3  7.5  7.6  7.6  7.8  7.9 c．40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中，m的值为________，并将频数分布直方图补充完整． (2)将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项指标的排名更靠前？并说明理由． (3)若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有多少家． 36．年月日是我国第个“防灾减灾日”，主题是“人人讲安全、个个会应急——提高防灾减灾救灾能力”．某校为加强学生的防灾减灾救灾应急能力，举办了防灾减灾知识大赛，活动结束后，随机抽取了部分学生的知识大赛成绩（单位：分，满分：分），发现成绩均高于分，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩x/分 频数 组内总成绩/分 已知组学生人数占所抽取学生总人数的． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中______，所抽取知识大赛成绩的中位数位于______组，并补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生此次知识大赛成绩的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次知识大赛，对成绩高于分的学生发放“防灾知识达人”徽章，请你估计该校获得徽章的学生总人数． 题型十三 用样本的频数估计总体的频数（共3小题） 37．人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 38．2026年，国家多部门将“校园餐”整治作为三年整治行动的收官攻坚之年，重点强化全链条监管、资金透明化及食品安全责任落实．“校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，相关主管部门到实验学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（满分10分）： 小学部：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10； 初中部：7，9，6，9，10，7，6，9，8，9． 对两组数据进行分析、整理，得到如下： 平均数 中位数 众数 小学部 8 8 初中部 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，______； (2)先求出的值，再结合表中数据，你认为该校是小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； (3)若该校小学部有名学生，初中部有名学生，请估计该校小学部和初中部学生对“校园餐”满意度评分为分及以上的总人数． 39．为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从300名报名者中选拔“文化志愿者”，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务．现随机收集了30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息： ①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：，，，，） ②30个数据在这一组的是：65，66，66，69，67，74，71，72，73，72，73，73 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布直方图中m的值是 ，这30个数据的中位数是 分； (2)若本次面试成绩在之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为 名； (3)将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由． 题型十四 由样本所占百分比估计总体的数量（共3小题） 40．学校为了解全校学生课外体育锻炼的情况，随机调查了部分学生在一周内课外体育锻炼的次数，并绘制成如下不完整的统计表和统计图． 课外体育锻炼的次数 0 1 2 3 4次及以上 人数 14 a 34 20 6 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：_______,_______； (2)该调查统计数据的中位数是_______； (3)若学校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内课外体育锻炼“4次及以上”的人数． 41．学校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯.现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟）．平台将收集的数据分成四组，整理成如下不完整的统计表和扇形统计图： 一天运动时长频数分布表 组别 时间分 频数 9 10 12 备注：的数据如下：62，64，65，68，70，70，72，74，75，78，84，88 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中的________；在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数为________； (2)本次调查数据的中位数为________； (3)若该校学生有1600名，请估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数． 42．某校为了解八年级、九年级学生对物理实验操作技能的掌握情况，在这两个年级开展了物理实验操作技能“比武大赛”．赛后从这两个年级各随机抽取了10名学生的成绩，将成绩（x表示成绩，单位：分）分为四组：A．，B．，C．，D．，并制作了如下不完整的统计图表． 两个年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a 88.5 c 九年级 85.4 b 100 其中八年级10名学生的成绩为90，68，96，70，90，88，90，80，89，85． 九年级C组的成绩为82，85，89． 根据以上信息，解答下列问题： (1)八年级10名学生成绩的平均数________． (2)九年级10名学生成绩的中位数________，八年级10名学生成绩的众数________． (3)若成绩90分及以上为优秀，该校九年级共有500名学生，请估计这次“比武大赛”九年级成绩为优秀的学生总人数． 题型十五 求四分位数（共3小题） 43．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 44．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 45．随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 (1)填空：_______，_______，_______； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 题型十六 画箱线图（共3小题） 46．八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 47．【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 48．【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 题型十七 数据的分析解答题（共3小题） 49．为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下： a．甲种水稻稻穗谷粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202； 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219． b．乙种水稻稻穗谷粒数的折线图： c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 196.7 206 乙 197.3 195 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）； (3)若单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐种植__________种水稻（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，据此估计，优良水稻共有_________株． 50．为了了解某校九年级男生的身高情况，该校从九年级随机找来名男生进行了身高测量，根据测量结果（测量结果均为整数，单位：列出如下频数分布表： 分组 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 合计 频数 3 4           4 2      (1)填写频数分布表中未完成的部分； (2)组距是多少？组数是多少？ (3)估计该校九年级男生身高在以上（不包含的约占百分之几？ (4)画出频数分布直方图． 51．4月22日，垦利区九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如下统计图．甲同学计算出前两组的频数和是18，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的4%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15．结合统计图回答下列问题： (1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？ (2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？ (3)请把频数分布直方图补充完整． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 数据的分析 题型1 求极差 题型10 根据数据填写频数、频率统计表 题型2 已知极差求未知数据 题型11 频数分布表 题型3 求方差 题型12 频数分布直方图 题型4 利用方差求未知数据的值 题型13 用样本的频数估计总体的频数 题型5 根据方差判断稳定性 题型14 由样本所占百分比估计总体的数量 题型6 利用方差做决策 题型15 求四分位数 题型7 求离差平方和 题型16 画箱线图 题型8 离差平方和的应用 题型17 数据的分析解答题 题型9 根据数据描述求频数、频率 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求极差（共3小题） 1．已知一组数据6，1，4，6，8，则这组数据的极差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据极差的定义，找出这组数据的最大值和最小值，计算二者的差值即可得到答案． 【详解】解：∵极差是一组数据中最大数据与最小数据的差， 在数据，，，，中， 最大数据是，最小数据是， ∴极差为． 2．某队员在射击训练中的成绩如下（单位：环）：9，6，8，8，10，他的成绩的极差是______环． 【答案】4 【分析】根据极差的定义求解，先找出该组成绩中的最大值与最小值，再计算二者的差即可. 【详解】解：该组射击成绩为，，，，， 其中最大值为，最小值为， 可得极差为 . 3．如表是甲、乙两人各打靶十次的成绩情况统计表（单位：环）． 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲 9 5 7 8 7 7 8 6 7 7 乙 2 4 6 8 7 6 8 9 9 10 根据上面的统计表，制作适当的统计图表示甲、乙两人打靶成绩的变化，并回答下列问题． (1)谁成绩变化的幅度大？ (2)甲、乙两人哪一次射击的成绩相差最大？相差多少？ 【答案】(1)乙 (2)第一次，相差7环 【分析】本题考查极差，折线统计图，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，折线统计图可以直观的反映一组数据变化的幅度． （1）先画出两组数据的折线统计图，再根据谁的成绩变化幅度大实际上是比较极差的大小，因为极差反映了一组数据变化范围的大小，即可得出结论； （2）利用极差公式求即可． 【详解】（1）解：画出甲、乙打靶成绩的折线统计图如下： ∵甲中找出数据中最大的值9，最小值5，故极差是4， 乙中找出数据中最大的值10，最小值2，极差是8， ∴结合折线统计图可知，乙成绩变化的幅度大； （2）解：甲、乙两人第一次差， 第二次差， 第三次差， 第四次差， 第五次差， 第六次差， 第七次差， 第八次差， 第九次差， 第十次差， 从数据中找出成绩相差最大的是第一次，相差环． 题型二 已知极差求未知数据（共3小题） 4．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（    ）． A． B．8或 C．8 D．7或 【答案】D 【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可． 【详解】解：当x为最大值时， ， 解得； 当x为最小值时， ， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 5．某地一周的日最高气温分别本周的日最高气温的极差是，则x的值可能是（    ）． A．2 B．14 C．2或14 D．8 【答案】C 【分析】根据极差的定义：一组数据中的最大值减去最小值即为极差，进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得：或， 解得：或， ∴x的值可能是2或14， 故选：C． 【点睛】本题考查了极差的定义，熟知一组数据中的最大值减去最小值所得的结果即为极差是解本题的关键． 6．已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 【答案】3或1 【分析】此题考查了极差、求平均数，根据极差是一组数据中的最大值减去最小值的差求得x．再利用平均数的求解方法求解即可． 【详解】解：∵样本，，，的极差是6， ∴或， ∴或 ∴样本的平均数为或， 故答案为：3或1． 题型三 求方差（共3小题） 7．已知一组数据，x，0，11，的平均数是0，则这组数据的方差是________． 【答案】97.2 【分析】先利用平均数公式求出未知数x，再代入方差计算公式求出这组数据的方差． 【详解】解：由题意得：， ， 数据的方差． 8．甲、乙两组学生的数学期末测试成绩(满分 100分)如下． 甲组∶85，88，90，92，95． 乙组∶80，85，90，95，100． 则方差较小的是_____组（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】先分别计算甲、乙两组成绩的平均数，再根据方差公式计算两组方差，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：甲组成绩的平均数： 甲组方差： 乙组成绩的平均数： 乙组方差： 因为，即， 所以方差较小的是甲组． 9．已知一组数据的离差平方和计算式为 ，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为，离差平方和为，代入公式计算即可． 【详解】解：，即这组数据的方差是． 题型四 利用方差求未知数据的值（共3小题） 10．数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 11．嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 【答案】2 【分析】方差的计算公式中，各数据与平均数的差的平方的平均值即为方差，在给定的公式中，各数据均减去2后进行平方运算，表明平均数为2. 【详解】由方差定义公式 可知，公式中减去的值 即为数据的平均数. 本题中公式为 ，因此平均数 . 故答案为：2． 12．数据，，，，的方差计算公式为，则这组数据，，，⋯，的和是______． 【答案】24 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 根据方差公式得到这组数据有8个数，其平均数为3，于是得到这组数据的和． 【详解】解：根据题意得这组数据有8个数，平均数为3， 所以这组数据的和为 故答案为： 题型五 根据方差判断稳定性（共3小题） 13．为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小；据此比较方差大小即可求解． 【详解】解：， 甲种秧苗长势更整齐． 14．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 【答案】＞ 【分析】根据方差用来衡量数据波动大小，数据越分散，方差越大；数据越集中，方差越小，即可解答； 【详解】解：∵甲乙平均分相同，从点状图可见，甲的成绩分布更分散，乙的成绩分布更集中在均值附近． ∴甲的方差大于乙的方差，即． 15．为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； (2)对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 【答案】(1)8；8.35，补全统计图见解析 (2)二 (3)评分为10分的同学最多有9人 【分析】（1）求m：因为一班共人，中位数是排序后第、个数据的平均数，所以先累计各分数段人数，确定第、个数据对应的分数，计算得到m；求n：因为平均数为所有数据之和除以总人数，所以先根据统计图提取二班各评分对应的人数，计算总分后除以得到n；补全统计图时，先计算一班分的人数，再绘制对应高度的直条。 （2）判断成绩稳定性：因为方差越小数据波动越小、成绩越稳定，所以直接比较两个班的方差大小即可； （3）求分最多人数：先设7分、8分、9分、分的人数分别为变量，根据总人数为列等式；因为中位数是，所以排序后第、个数据分别为8和9，据此得到7分与8分人数之和、9分与分人数之和的范围；再结合众数为9分且人数为9人，要让分人数最多，则让8分人数尽可能少，联立关系求解最大值． 【详解】（1）解：补全统计图如图所示， ∵一班和二班各40名学生， ∴一班得分为8分的人数为（人）， ∵一班得分数据从小到大排列后，第20和第21个数分别为8，8， ∴中位数， 二班的平均分． （2）∵0.978<1.219， ∴二班成绩的方差小于一班成绩的方差， ∴二班的成绩比较稳定． （3）由题知，一班总人数为40人， ∵中位数为8.5， ∴将40名同学的成绩从小到大排列后，第20，21名同学的成绩分别为8分和9分， ∴评分为9分和10分的人数一共为20人， 又∵众数为9， ∴评分为10分的同学最多有9人． 题型六 利用方差做决策（共3小题） 16．为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】C 【分析】先由甲平均分低于乙得到m的取值范围，再由乙评分更一致说明乙方差更小，验证得到m的值． 【详解】解：∵甲平均分低于乙，甲平均分为，乙分数和为， ∴乙的平均分为， 解得：， ∵是整数， ∴，排除A、B选项； 方差越小，评分越一致，因此乙的方差需小于甲的方差， 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，符合条件； 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，不符合条件， ∴． 17．某篮球队甲、乙两队队员进行投篮训练，每人投篮20次的命中数统计如下表，则成绩好的队伍是________队． 队伍 参加人数 平均命中数 中位数 方差 甲队 30 12 11 6.5 乙队 30 12 13 4.2 【答案】乙 【分析】根据平均数相等，比较两队的中位数和方差即可得结论． 【详解】解：∵两队的平均数相等，乙队的中位数大于甲队的中位数，乙队的方差小于甲队的方差， ∴成绩好的队伍是乙队． 18．甲、乙两人是新华初级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加兴趣小组活动的测试成绩及当地近五年数学综合素养展示的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是，；方差分别是，． 信息二：当地近五年数学综合素养展示获奖分数线（单位：分） 年份 2021 2022 2023 2024 2025 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年数学综合素养展示获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加数学综合素养展示，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)，乙的成绩更稳定 (2)；在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适； (3)选甲更合适，理由：因为在两人10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更合适． 【分析】（1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖分数线的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【详解】（1）解：， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）解：当地近五年数学综合素养展示获奖分数线的平均数为， 说明略； （3）略 题型七 求离差平方和（共3小题） 19．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据离差平方和的公式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 20．数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【答案】 【详解】数据，，，，，，，，，的平均数是， 离差平方和是； 方差是． 21．为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． 【答案】组内离差平方和：24；组间离差平方和： 【分析】先分别计算每组平均数，再计算三组的总平均数，根据组内离差平方和：每个数据与组内均值的差的平方之和，组间离差平方和：各组数据的个数乘以该组平均数与总平均数的差的平方，然后求和．即可解决问题． 【详解】， ， ， ． 因此组内离差平方和． 组间离差平方和． 题型八 离差平方和的应用（共3小题） 22．某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 【答案】(1)和 (2)将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性 【分析】将数据从小到大排序后，为使组内离差平方和最小，分组在排序后数据上必然是连续的。故只需考虑将排序后的数据分成两个连续组的5种情况，分别计算其组内离差平方和． 【详解】（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115． 分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2 {75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5 {75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176 {75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5 {75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2 由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小． （2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算、分组优化及统计分组的实际意义，掌握先排序再枚举分组、计算离差平方和后比较总和是解题的关键． 23．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 24．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 题型九 根据数据描述求频数、频率（共3小题） 25．某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图的性质，频数分布直方图中各小长方形的高度比等于各组频数的比，计算第三个小长方形的频数占总人数的比例，再乘总人数即可得到结果． 【详解】解：∵总共有200名学生，各小长方形高度比为，频数分布直方图中小长方形高度之比等于对应频数之比， ∴第三个小长方形对应的频数为． 26．某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 【答案】14 【分析】根据频数，频率和总数的关系求出射中10环的频数，再利用所有分组的频数之和等于总次数，计算射中9环的频数即可． 【详解】解：由题意可知，总射击次数为． 根据频率，可得射中10环的频数为： ． 因为所有分组的频数之和等于总次数，所以射中9环的频数为： ． 27．社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题： 抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B a C 0.36 D 0.18 E 0.10 合计 1 (1)填空： ，此次调查中共抽取了 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； (3)该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数． 【答案】(1)0.2，50，见解析 (2)C (3)768人 【详解】（1）解：， 抽取学生总人数：人， ∵B组频数：， 所以频数分布直方图如图： （2）因为抽取学生总人数为50人，所以中位数为第25，26人一周参与社团活动时间的平均数，所以中位数落在C组； （3）人 答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数约为768人． 题型十 根据数据填写频数、频率统计表（共3小题） 28．2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； (3)若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 【答案】(1)，， (2) (3)估计其中达到A等级的学生共有名 【分析】本题考查的是从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）由频数分布表与扇形图可得答案． （2）由乘以扇形统计图中B的占比即可得到结论． （3）由2200乘以A的占比即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴． （2）解：扇形统计图中B对应的圆心角的度数为：． （3）解：， ∴该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有名． 29．随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多．王老师为了指导学生有效利用网络进行学习，调查了部分学生每天利用网络学习的时长，并绘制了如下不完整的频数分布表，利用统计结果绘制了图1、图2两幅统计图． 选项 学习时间小时 频数 A B 20 C 50 D 10 (1)频数统计表中__________，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中，求“B”选项所对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有1500名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间高于2.5小时的有多少人？ 【答案】(1)20，见解析 (2) (3)900人 【分析】本题考查了频数，熟练掌握频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，由频数分布表，频数分布直方图与扇形统计图获得的数据，是解题的关键． （1）用C项的人数和所占的百分比求出调查的总人数．总人数减去B、C、D项的人数，得到A项的人数，即可补全频数分布直方图； （2）乘B选项的人数的占比即得B项在扇形统计图中圆心角的度数.； （3）用1500乘学习时长高于2.5小时人数的占比即得． 【详解】（1）解：调查部分学生人数： （名）， ∴， 故答案为：20． 补全条形统计图： （2）解：总人数为100人，B选项占20人， 选项所对应扇形圆心角． （3）调查的学生中学习时长高于2.5小时人数为． （人）． 答：该校学生课外利用网络学习的时间高于2.5小时的有900人． 30．水是生命之源，每一滴水都来之不易，让我们共同守护这份宝贵的资源，为未来创造更美好的生活．某校举行了水资源保护知识竞赛，为了解本次知识竞赛成绩情况，从参赛学生中随机抽取了若干名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩分 频数 百分数 等级 15 中等 良好 60 良好 45 优秀 (1)求抽取的学生总人数和表中，的值； (2)请补全频数分布直方图； (3)若将抽取的学生的竞赛成绩绘制成扇形统计图，成绩为的学生评为“良好”，求被评为“良好”的学生所在扇形圆心角的度数． 【答案】(1)人，， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，解决本题的关键是根据频数分布表和频数分布直方图中的信息之间的关系得到未知的信息． （1）由频数分布直方图可知，成绩在“”中有15人，由频数分布表可知第一组的人数占抽取总人数的，则抽取的学生总人数为150人，根据抽取的总人数和成绩在“”中的人数占总人数的百分比计算出的值，根据成绩在“”中的人数和抽取的总人数计算出值； （2）由（1）可知第二组的人数是30人，补全统计图即可； （3）根据成绩为的学生的人数和抽取的总人数进行求解即可． 【详解】（1）解：学生总人数为：（人）； ， ； 答：学生总人数为人，，； （2）解：补全直方图如图所示： （3）解：由题意得，， 答：被评为“良好”的学生所在扇形圆心角的度数为． 题型十一 频数分布表（共3小题） 31．某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，采取抽样调查的方式，随机抽取了部分学生对他们一周内平均每天参加课外阅读活动的时间（单位：min）进行数据的收集．为了更好地将收集的数据按照观察值的大小进行分组研究，小明同学根据统计数据绘制了如下的频数、频率分布表和频数分布直方图． 请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 每天阅读时间 频数 频率 1 6 2 15 3 4 12 5 3 (1)频数、频率分布表中的______；______； (2)补全频数分布直方图； (3)被调查的这些学生每天课外阅读时间的中位数落在第______组； (4)若该校共有3600名学生，试估计该校学生每天课外阅读时间不少于的学生人数． 【答案】(1)； (2)频数分布直方图如下图所示， (3) (4)约为人 【分析】（1）根据1组的频数和频率计算出抽取的学生人数，再计算出和； （2）根据（1）中计算出的3组的频数，补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的定义进行判断即可； （4）用全校学生人数乘以4组和5组的频率之和即可． 【详解】（1）解：由统计表可知，1组的频数为，频率为， ∴抽取的学生人数为（人）， ∴，； （2）略 （3）解：由统计表可知，这60名学生课外阅读时间的数据的第30个数和第31个数都在组， ∴中位数落在组； （4）解：（人）． 答：该校学生每天课外阅读时间不少于的学生人数约为人． 32．随着天气温度越来越高，某校加强了对防溺水安全知识的宣传工作，组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取名学生的成绩，整理如下： Ⅰ．成绩的频数分布表： 组别 A B C D E 成绩/分 频数 3 4 16 7 Ⅱ．成绩的扇形统计图：    Ⅲ．在这一组的成绩（单位：分）分别为：86，84，88，87，83，82，85． 根据以上信息回答下列问题： (1)________，________，本次随机抽测成绩的中位数为________分． (2)求这次测试的平均成绩．（每一组的分值取组中值，如：分数段为取55，分数段为取65，分数段为取75，分数段为取85，分数段为取95） (3)若本校1500名学生都参加本次测试，请估计成绩不低于90分的人数． 【答案】(1)50；40；83.5 (2)分 (3)600人 【分析】（1）用D组频数及其百分比即可求出a的值；进而可求b的值，用E组人数除以总数乘以可知m的值；根据中位数的定义判断即可； （2）根据平均数的运算法则计算即可； （3）用1500乘以成绩不低于90分的百分比即可． 【详解】（1）解：； ， ， ∴； ∵， ∴中位数为第25、26个数的平均数， ∵，将这一组的成绩从小到大排列得：82，83，84，85，86，87，88， ∴第25、26个数分别为83，84， ∴中位数为分； （2）解：这次测试中的平均成绩为（分）． 答：在这次测试中的平均成绩为分； （3）解：（人）． 答：成绩不低于90分的约有600人． 33．骑行是一项绿色健康的运动，能增强体质、锻炼心肺功能，还能放松身心，深受大众喜爱．某骑行社团为了解团员每天自行车骑行时间，随机抽取部分团员进行调查，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 时间x/分钟 频数 A组 9 B组 m C组 12 D组 3 A组团员骑行时间（单位：分钟）如下：25，30，33，35，38，39，39，39，39． 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名团员？ (2)A组团员骑行时间的中位数是________，m的值是________； (3)若该骑行社团共有150名团员，估计该社团每天骑行时间在分钟的团员有多少名． 【答案】(1)一共抽取了60名团员 (2)， (3)估计该社团每天骑行时间在分钟的团员有90名 【分析】（1）由求出样本容量； （2）根据中位数的定义求解，再求出m的值即可； （3）由150乘以每天骑行时间在分钟的团员所占比例即可． 【详解】（1）解：由题意，得（名）． 答：一共抽取了60名团员． （2）解：由A组团员骑行时间（单位：分钟）：，，，，，，，，，排在中间位置的数是， 组团员骑行时间的中位数是， ． 故答案为：，． （3）解：由题意，得（名）． 答：估计该社团每天骑行时间在分钟的团员有90名． 题型十二 频数分布直方图（共3小题） 34．为纪念中国工农红军长征胜利90周年，某学校组织了以“跟着红军走长征”为主题的国防教育课程，为了检验课程效果，学校在全校随机抽取了部分学生进行国防教育知识竞赛，并对这部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分）按以下4组进行整理：优秀为；良好为；中为；合格为．所有学生成绩均不低于60分，并绘制了这部分学生竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知良好等级学生的成绩分别为85，82，86，82，88，84，89，87，84，86，84，85，83，86，85，86，88． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)本次抽取的参与竞赛的学生人数为______，扇形统计图中m的值为______，n的值为______． (2)请补全频数分布直方图． (3)此次竞赛成绩的中位数为______． (4)学校准备为这次知识竞赛成绩前10名的学生颁发奖品，小圣的成绩为91分，小新的成绩为87分，判断他们能否获得奖品，并说明理由． 【答案】(1)50，34，144 (2) (3)82 (4)小圣能获得，小新不能获得，理由如下： 由直方图和题可知，优秀学生的人数为9人，第10名的成绩为89分， 小圣的成绩为91分，属于优秀等级，故在前10名，能够获得奖品， 小新的成绩为87分，不在前10名，故不能获得奖品. 【分析】（1）利用合格的学生人数除以所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数，求出的值，用360度乘以中等人数所占的比例，求出的值； （2）根据中等学生的人数和良好的学生人数，补全直方图即可； （3）根据中位数的定义进行求解即可； （4）根据直方图作判断即可. 【详解】（1）解：； 由题意，可知，良好学生的人数为17人， ∴； 中等成绩的学生人数为， ∴； （2）略 （3）解：将数据从大到小排序后，第25个数据和第26个数据均为82， ∴中位数为82； （4）略 35．为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项满分都是10分），并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a．40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．40家企业“设备数字化率”评分在的具体数据如下： 7.2  7.2  7.2  7.3  7.5  7.6  7.6  7.8  7.9 c．40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中，m的值为________，并将频数分布直方图补充完整． (2)将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项指标的排名更靠前？并说明理由． (3)若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有多少家． 【答案】(1)7.7，理由见解析 (2)“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前，理由见解析 (3)275家 【分析】（1）40个数据按从小到大排列，中位数是第20，21个数据，在这一组的数据中第20、21个数是7.6和7.8，进而可得m的值，再求出这一组的数据数即可补全条形统计图； （2）根据两项指标的中位数进行判断； （3）用样本估计总体进行解答即可． 【详解】（1）解：40个数据按从小到大排列，中位数是第20，21个数据，在这一组的数据中第20、21个数是7.6和7.8， 所以，中位数是（分）， 这一组的数据的个数为：， 故补全频数分布直方图如图． （2）解：“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前． 理由如下：因为“设备数字化率”这一项指标评分的中位数为7.7分， ，所以7.5分排在后20名中．而“核心系统覆盖率”这一项指标评分的中位数为7.3分， ，所以7.5分排在前20名中，所以“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前． （3）解： （家）． 答：估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有275家． 36．年月日是我国第个“防灾减灾日”，主题是“人人讲安全、个个会应急——提高防灾减灾救灾能力”．某校为加强学生的防灾减灾救灾应急能力，举办了防灾减灾知识大赛，活动结束后，随机抽取了部分学生的知识大赛成绩（单位：分，满分：分），发现成绩均高于分，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩x/分 频数 组内总成绩/分 已知组学生人数占所抽取学生总人数的． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中______，所抽取知识大赛成绩的中位数位于______组，并补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生此次知识大赛成绩的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次知识大赛，对成绩高于分的学生发放“防灾知识达人”徽章，请你估计该校获得徽章的学生总人数． 【答案】(1)，， (2)分 (3)名 【分析】（1）先用组的频数除以其占比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他各组的频数可得的值，进而可补全频数分布直方图，找出排在第和第位的位置，即可得到中位数所在位置，； （2）用总分数除以总人数，即可求解； （3）用乘以成绩高于分的占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的总人数为（名）， ， 将名学生成绩从小到大进行排序，排在第和第位的都在组，因此所抽取学生竞赛成绩的中位数在组， 频数分布直方图略； （2）解：（分）， 所抽取学生此次知识大赛成绩的平均数为分； （3）解：（名）， 估计该校获得徽章的学生总人数是名． 题型十三 用样本的频数估计总体的频数（共3小题） 37．人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 【答案】(1)，， (2)八年级表现更好，理由：两个年级测试得分的平均数相同，八年级的方差更小，说明八年级成绩更稳定，因此表现更好（或：平均数相同，八年级中位数更大，整体成绩水平更高，合理即可） (3)216 【分析】（1）统计七年级得分中出现次数最多的数值即可得到a．先计算B组的百分比，再用1减去C、D、B组的百分比即可得到m． 中位数是排序后第5和第6个数据的平均数，先根据各组占比确定八年级10个数据的分组人数，再将数据从小到大排序，找到第5、6个数据求平均得到b． （2）判断哪个年级表现更好：选择平均数、中位数、众数、方差中的一个统计量，对比两个年级的对应数值，给出合理理由即可． （3）分别计算七年级、八年级样本中A组的占比，再乘对应年级总人数，求和即可． 【详解】（1）解：七年级得分中，出现次数最多（3次）， ∴； 八年级10人从小到大排序，D组1人、C组3人，B组4人， ∴第5、6个数据都在B组， B组排序为， ∴中位数． 八年级共抽取10人，B组有4人，占比， ∴； 答案：，， （2）略 （3）解：七年级抽取的10人中，A组（）有3人， ∴七年级A组总人数约为人； 八年级A组占比， ∴八年级A组总人数约为人； ∴两个年级A组总人数为人． 38．2026年，国家多部门将“校园餐”整治作为三年整治行动的收官攻坚之年，重点强化全链条监管、资金透明化及食品安全责任落实．“校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，相关主管部门到实验学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（满分10分）： 小学部：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10； 初中部：7，9，6，9，10，7，6，9，8，9． 对两组数据进行分析、整理，得到如下： 平均数 中位数 众数 小学部 8 8 初中部 8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，______； (2)先求出的值，再结合表中数据，你认为该校是小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； (3)若该校小学部有名学生，初中部有名学生，请估计该校小学部和初中部学生对“校园餐”满意度评分为分及以上的总人数． 【答案】(1)， (2)；初中部的学生对“校园餐”的满意度更高， 理由：小学部和初中部的平均数相同，但小学部的中位数和众数均小于初中部的中位数和众数， 初中部的学生对“校园餐”的满意度更高； (3)人 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； （3）用小学部和初中部的学生数分别乘以样本中大于或等于分的学生所占比例，再求和，即可得解． 【详解】（1）解：将初中部打分按照从小到大的顺序排列：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 位于第位和第位的数据为和， 中位数； 打分出现次数最多的是，共出现了次， 众数； （2）解：（分）； （3）解：（人）， 答：估计该校小学部和初中部学生对“校园餐”满意度评分为分及以上的总人数是人． 39．为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从300名报名者中选拔“文化志愿者”，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务．现随机收集了30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息： ①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：，，，，） ②30个数据在这一组的是：65，66，66，69，67，74，71，72，73，72，73，73 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布直方图中m的值是 ，这30个数据的中位数是 分； (2)若本次面试成绩在之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为 名； (3)将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由． 【答案】(1)6，70 (2)20 (3)能被录用，理由见解析 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量即可求出m的值，再根据中位数的定义求出这30名学生面试成绩的中位数即可； （2）用300乘以样本中成绩在之间的志愿者人数所占比例即可； （3）计算样本的的人数，确定第9名的成绩，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 将这30名报名者的面试成绩按照从小到大的顺序排列，处在第15和第16个数据分别为69分，71分，故中位数是分； （2）解：名， ∴300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为20名； （3）解：能被录用，理由如下： 人， 将这30名学生的面试成绩按照从大到小的顺序排列，第9个数据为74分， ∵， ∴面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者”． 题型十四 由样本所占百分比估计总体的数量（共3小题） 40．学校为了解全校学生课外体育锻炼的情况，随机调查了部分学生在一周内课外体育锻炼的次数，并绘制成如下不完整的统计表和统计图． 课外体育锻炼的次数 0 1 2 3 4次及以上 人数 14 a 34 20 6 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：_______,_______； (2)该调查统计数据的中位数是_______； (3)若学校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内课外体育锻炼“4次及以上”的人数． 【答案】(1)26，34 (2)2 (3)72人 【分析】（1）先求出总数，然后减去已知的人数即可求解，用锻炼2次的人数除以总数即可求解； （2）用中位数的定义求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）． ，即； （2）解：将该调查统计数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，位于最中间的两个数据都是2，故中位数是； （3）解：（人） 答：估计该校学生在一周内课外体育锻炼“4次及以上”的有72人． 41．学校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯.现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟）．平台将收集的数据分成四组，整理成如下不完整的统计表和扇形统计图： 一天运动时长频数分布表 组别 时间分 频数 9 10 12 备注：的数据如下：62，64，65，68，70，70，72，74，75，78，84，88 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中的________；在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数为________； (2)本次调查数据的中位数为________； (3)若该校学生有1600名，请估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数． 【答案】(1)9； (2)63 (3)估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数约为840名． 【分析】（1）用组的频数除以可得样本容量，再用样本容量减去其它三组的频数可得的值；根据组的占比即可求得组对应的圆心角的度数； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：样本容量为， ， 组对应的圆心角的度数为； （2）解：因样本容量为40，故中位数落在组，为第20，21两个数据（即62和64）的平均数， 故中位数为； （3）解：（名）， 答：估计每天运动时长在60分钟以上的学生人数约为840名． 42．某校为了解八年级、九年级学生对物理实验操作技能的掌握情况，在这两个年级开展了物理实验操作技能“比武大赛”．赛后从这两个年级各随机抽取了10名学生的成绩，将成绩（x表示成绩，单位：分）分为四组：A．，B．，C．，D．，并制作了如下不完整的统计图表． 两个年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a 88.5 c 九年级 85.4 b 100 其中八年级10名学生的成绩为90，68，96，70，90，88，90，80，89，85． 九年级C组的成绩为82，85，89． 根据以上信息，解答下列问题： (1)八年级10名学生成绩的平均数________． (2)九年级10名学生成绩的中位数________，八年级10名学生成绩的众数________． (3)若成绩90分及以上为优秀，该校九年级共有500名学生，请估计这次“比武大赛”九年级成绩为优秀的学生总人数． 【答案】(1) (2)87，90 (3)200人 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：九年级10个数据，则中位数是第5，6个数据的平均数， 九年级A组有个数据，九年级B组数据有个数据，而C组的数据为82，85，89，故第5，6个数据是85，89 因此中位数； 八年级中90出现的次数最多，则众数； （3）解：九年级抽取的10名学生成绩在D组的人数为， ∴（人） 答：这次“比武大赛”九年级成绩为优秀的学生总人数为200人． 题型十五 求四分位数（共3小题） 43．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 【答案】B 【详解】解：由表格可知鞋号23的频数最大，为14，因此众数为23， ∵共有30个数据，上四分位数的位置为， ∴i不是整数，向上取整得，取第23个数据作为上四分位数； 将数据从小到大排列，计算累计频数可得，前15个数据均不大于22，第16到第29个数据均为23，因此第23个数据为23，即上四分位数为23． 44．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 【答案】6.65 【分析】将这组数据从小到大重新排列，根据百分位数的计算规则计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，，， ∵数据共有个，第三四分位数即分位数， ∴， ∴第三四分位数为排列后第个数据与第个数据的平均数，即． 45．随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 (1)填空：_______，_______，_______； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)，， (2) (3)对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，求出“”得分在C组中所占的比例，即可求出m的值；先求出“”得分中，组合的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数； “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； “”得分在A组的用户数为，在B组的用户数为：， 则“”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故； （2）解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； （3）解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 题型十六 画箱线图（共3小题） 46．八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 【答案】(1)A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分 (2)B组成绩更稳定 (3)①图表见详解；②两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色．但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定 【分析】（1）根据计算方式求出A和B组的平均数、众数与中位数即可； （2）利用方差公式求出两组的方差，方差越小，数据越稳定； （3）先求出两组数据的四分位数，填写表格，再根据表格画箱线图，画图要注意标准；②总结时，主要比较最值、中位数和数据的集中程度． 【详解】（1）解：由图可得，A组的平均数为：（分），众数为3分，中位数为3分； B组的平均数为：（分），众数为4分，中位数为3分； （2）解：由题意得，A组方差， B组方差， ∵， ∴B组成绩更稳定； （3）解：由题意得，A组的下四分位数为，上四分位数为； B组的下四分位数为，上四分位数为； ∴四分位数表如下： 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 3 4 箱线图如下： 总结：两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色；但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定． 47．【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【答案】(1)407.2；17 (2)图见解析 (3)403，401，398 (4)1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【详解】（1）解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． （2）解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数， 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， （3）解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． （4）解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 48．【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；B；（2）7.5；10；A；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴B的成绩略高； ∵，， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 由图2知：选手A的射击成绩波动大； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 题型十七 数据的分析解答题（共3小题） 49．为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下： a．甲种水稻稻穗谷粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202； 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219． b．乙种水稻稻穗谷粒数的折线图： c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 196.7 206 乙 197.3 195 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）； (3)若单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐种植__________种水稻（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，据此估计，优良水稻共有_________株． 【答案】(1)204，195 (2)乙 (3)甲，3800 【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据方差的概念和意义，即可解答； （3）分别计算出两种水稻的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解． 【详解】（1）解：∵一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据为206， ∴这组数据的中位数为， ∴； 根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每株稻穗的谷粒为195出现的次数最多， ∴这组数据的众数为195， ∴； （2）解：甲种水稻的方差为： 乙种水稻的方差为： ∵ ∴甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是乙； （3）解：甲的水稻优良率为：，乙的水稻优良率为：， ∴从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻； ∵该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株， ∴（株）． 答：优良水稻共有3800株． 50．为了了解某校九年级男生的身高情况，该校从九年级随机找来名男生进行了身高测量，根据测量结果（测量结果均为整数，单位：列出如下频数分布表： 分组 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 合计 频数 3 4           4 2      (1)填写频数分布表中未完成的部分； (2)组距是多少？组数是多少？ (3)估计该校九年级男生身高在以上（不包含的约占百分之几？ (4)画出频数分布直方图． 【答案】(1)12 (2)组距是，组数是7 (3) (4)见解析 【分析】（1） 用总频数减去其余各组频数，得到组的频数； （2） 每组上限减下限得组距，数出分组数量得组数； （3） 求和以上各组频数，除以总频数计算百分比； （4）以分组为横轴、频数为纵轴，绘制等宽长方形构成直方图． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：组距，组数为． 答：组距是，组数是． （3）解：以上频数和：， ． 答：该校九年级男生身高在以上的约占． （4）频数分布直方图如图所示： 51．4月22日，垦利区九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如下统计图．甲同学计算出前两组的频数和是18，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的4%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15．结合统计图回答下列问题： (1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？ (2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？ (3)请把频数分布直方图补充完整． 【答案】(1)人 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用频数总数频率，可得抽取的总人数； （2）首先计算出前四个小组的人数，再用总数减去前四个小组的人数可得后两个小组的人数和，再计算出优秀率即可； （3）利用（2）中的数据即可得到第三，四组的人数，进而把频数分布直方图补充完整． 【详解】（1）解：∵前两组的频数和是，第一组的人数是抽取总人数的， ∴抽取的总人数(人)； （2）∵第二、三、四组的频数比为：：，第二小组的频数为， ∴第三、四组的频数分别为：，， ∴第五、六小组的频数和为：， ∴这次测试成绩的优秀率是：； （3）频数分布直方图： $