暑假作业06 与三角形有关的常见热考模型（预习作业）七年级数学新教材苏科版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 与三角形有关的常见热考模型 【知识点1 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型】 条件 已知AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE上，MN⊥BC 于点N. 图示 ∠C＞∠B 结论 【知识点2 等腰三角形面积法】 条件 在△ABC中，AB=AC，点D在BC上 △ABC是等边三角形，点D在△ABC内 图示 结论 【知识点3 双垂直平分线导角】 类型 ∠BAC为锐角 ∠BAC为钝角 图示 结论 【知识点4 与三角形角度有关的热考模型汇总】 A字模型 8字模型 飞镖模型 ∠1+∠2=180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D ∠BCD=∠A+∠B+∠D 老鹰抓小鸡模型 向内翻折 向外翻折 点O为∠A内部的一点 ∠1+∠2=∠A+∠O 2∠C=∠1+∠2 2∠C=∠2-∠1 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB 已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠E=∠A 【知识点5 倍长中线模型】 模型 倍长中线模型 倍长类中线模型 条件 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 在△ABC中，D是BC的中点 图示 方法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论 ,AC=BE且AC∥BE , BF=CE且BF∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 【知识点6 截长补短模型】 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 图示 方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 【知识点7 一线三等角模型】 【知识点8 手拉手模型】 【知识点9 半角模型】 【知识点10 与角平分线有关的热考模型】 【题型1 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型】 1．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）如图， (1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． (2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，． ①_________；（用含x的式子表示）               ②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可； （2）①根据三角形的内角和定理即可求解；②根据角平分线得到，由三角形的外角定理得，代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， 分别是的高， ， ， ； （2）解：①∵， ∴， 故答案为：； ②是定值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、高以及三角形内角和定理，外角定理，掌握三角形的角平分线和高的概念是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．    (1)若，，求的度数； (2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余，解题的关键是找准角与角之间的关系． （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由直角三角形的两锐角互余得出，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及直角三角形的两锐角互余表示出和，从而即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ， 在中，，分别是的高和角平分线， ，， ， ． 3．（21-22八年级上·湖南怀化·期中）如图①，在中，为的高，为的平分线，已知，． (1)求的度数； (2)你发现与，之间有何关系？ (3)若将“题中的条件”改为，如图②，其他的条件不变，则与，之间又有何关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解， （2）根据（1）即可得出与、之间的关系， （3）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论． 【详解】（1）∵，， ∴ 又∵为的平分线， ∴ ∵为的高， ∴，， ∴ （2）由图知， （3） 理由如下：由三角形内角和知， ∵为的平分线， ∴ ∵为的高， ∴ 又∵， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查三角形中角与角之间的关系，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质的应用 【题型2 等腰三角形面积法】 4．（内蒙古自治区巴彦淖尔市/巴盟杭锦后旗2025-2026学年上学期八年级数学期中测试调研卷）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的高，找到三角形的高并利用三角形的面积换算是解题的关键． (1) 连结，再利用三角形面积相等列出，即可证明； (2) 连接，，，再找到三角形面积相等列出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图，连结， ， ， 又， ． （2）证明：连接，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 双垂直平分线导角】 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在△中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，试证明平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形内角和定理计算即可得解； （2）同理（1）即可解答； （3）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，，，，推出，，，，，进而得到，推出，，进而得到，即可证明． 【详解】（1）解：，分别垂直平分和， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，分别垂直平分和， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：如图，连接、， 由题意可得，，，， ，，，，， ， ，， ， 平分． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，在中，垂直平分边，分别交于点，垂直平分边，分别交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数； (3)通过以上的探索过程，请根据图与图分别写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， 同理， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， 同理， ， ； （3）解：由图知当时， ； 由图2知时， ． 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，DE垂直平分，分别交于点．垂直平分，分别交于M、N点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，则的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得出，，再根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得出，，再根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分 ∴， ∴， ∴， 在中：， ∴， （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中：， ∴． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，整体思想的利用是解决本题的关键． 【题型4 三角形的翻折模型】 9．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 10．（20-21八年级上·广东汕头·期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为________度． 【答案】116 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，理解折叠的性质，掌握三角形内角和定理，外角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，由三角形的外角的性质可得，再由是的外角，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， 设交于点， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为： ． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则______°． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，由“三线合一”的知识可得所在的直线是的垂直平分线，可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由“三线合一”的知识可得所在的直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 【题型5 三角形双角平分线模型】 13．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，若平分，平分外角，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】利用角平分线证明即可． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴，， ∵由外角可得：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是运用整体的思想，根据等量代换解决此题． 14．（20-21七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，平分平分，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形内角和定理及角平分线定义是解决问题的关键．先由角平分线定义得到，，在和中，由三角形内角和定理，数形结合求解即可得到答案． 【详解】解：平分平分， ，， 在中，，则， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． 16．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 【题型6 倍长中线模型】 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； （3）如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（______）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，（2）（3）7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，垂直平分线的性质和判定，三角形的中线，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出，结合得垂直平分，可得，即可得解． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵（对顶角相等）， ∴（）． 故答案为：已知，对顶角相等，． （2）解：， ， ，即， ， ； （3）解：延长交的延长线于点F，如图： ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 19．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1），，10；（2）．理由见解析；（3）的长度为． 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型7 截长补短模型】 20．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，平分，过点作于点，在上取．    (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质得出，利用即可证明； （2）取，连接，证明，得到，再根据得到，，利用三线合一得到，继而利用即可得到结论． 【详解】（1）解：证明：平分，，， ， 在和中， ， ； （2），理由是： 如图，取，连接，   平分， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三线合一，全等三角形的性质与判定，截长补短是解答的关键． 21．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（20-21八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【题型8 一线三等角模型】 23．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 25．（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【题型9 手拉手模型】 26．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 27．（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【答案】（1）；（2）固定不变；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四边形面积的最值问题，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明得到； （2）设与交于点，过作于，于，先证明得到，，再由，，得到，接着证明，得到，则平分，，即固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，，根据，得到当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，，即当时，四边形面积最大，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴， 故答案为：； （2）如图2，设与交于点，过作于，于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 即， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴ ∴的大小不随着的度数变化而变化，固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，， ∴，， ∴， ∴当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，， 即当时，四边形面积最大， ∵四边形面积的最大值为18， ∴，解得（负值舍去）， ∵， ∴． 28．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）的长为；（3）的长为． 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）根据等边三角形的性质，进而通过证明； （2）先证明，再通过勾股定理即可得解； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，进而证明，再通过勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2）， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， 的长为； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示， ， 则， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 的长为：． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， 故选：B． （2）解：中，， ． ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：． 理由如下：如图，在的延长线上找一点E，使． 设． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质． 【题型10 半角模型】 30．（21-22九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 31．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】[问题发现]（1）；（2）见解析；[问题应用] 【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． ［问题发现］（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； ［问题应用］根据旋转的性质得到，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 【题型11 与角平分线有关的热考模型】 33．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 34．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． (1)【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； (2)【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； (3)【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得是解题的关键． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据互余得出的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （3）①延长，交于点F，根据证明解答即可； ②过F作交的延长线于H，交于G，根据①的结论得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：①．理由如下： 延长，交于点F． ∵， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ②过F作交的延长线于H，交于G， ∴是等腰三角形， 由①可知， ∵的面积为36， ∴， ∴， 故答案为：6． 35．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角． （1）利用平行线的性质结合等边对等角求得，即可证明结论成立； （2）证明，推出，，再证明，得到，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）证明：由作图知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解； （3）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图3，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）是中线， ， 在和中， ； 故答案为：B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ； 故答案为：A； （3）证明：如图2，延长到M，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）如图①，在等腰三角形和等腰三角形中，，，，连接，，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”．在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； （2）如图②，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图③，已知△，请完成作图：以，为边分别向外作等边三角形和等边三角形等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】（1），；（2）且，理由见解析；（3）图见解析，，； 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2），；理由如下： ， ． ． 在和中， ， ，， ， ， 即， ， ， 综上所述：且； （3）解：完成作图如下，，， 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ； 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）长的最小值为． 【分析】（）利用同角的余角相等证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于点，证明，得出，然后通过勾股定理得出答案； （）过点作，使，过点作于点，连接，，证明，得出，证出，则可得出答案． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （）过点作，使，过点作于点，连接，，则， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 与三角形有关的常见热考模型 【知识点1 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型】 条件 已知AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE上，MN⊥BC 于点N. 图示 ∠C＞∠B 结论 【知识点2 等腰三角形面积法】 条件 在△ABC中，AB=AC，点D在BC上 △ABC是等边三角形，点D在△ABC内 图示 结论 【知识点3 双垂直平分线导角】 类型 ∠BAC为锐角 ∠BAC为钝角 图示 结论 【知识点4 与三角形角度有关的热考模型汇总】 A字模型 8字模型 飞镖模型 ∠1+∠2=180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D ∠BCD=∠A+∠B+∠D 老鹰抓小鸡模型 向内翻折 向外翻折 点O为∠A内部的一点 ∠1+∠2=∠A+∠O 2∠C=∠1+∠2 2∠C=∠2-∠1 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB 已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠E=∠A 【知识点5 倍长中线模型】 模型 倍长中线模型 倍长类中线模型 条件 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 在△ABC中，D是BC的中点 图示 方法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论 ,AC=BE且AC∥BE , BF=CE且BF∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 【知识点6 截长补短模型】 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 图示 方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 【知识点7 一线三等角模型】 【知识点8 手拉手模型】 【知识点9 半角模型】 【知识点10 与角平分线有关的热考模型】 【题型1 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型】 1．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）如图， (1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． (2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，． ①_________；（用含x的式子表示）               ②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．    (1)若，，求的度数； (2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论． 3．（21-22八年级上·湖南怀化·期中）如图①，在中，为的高，为的平分线，已知，． (1)求的度数； (2)你发现与，之间有何关系？ (3)若将“题中的条件”改为，如图②，其他的条件不变，则与，之间又有何关系？请说明理由． 【题型2 等腰三角形面积法】 4．（内蒙古自治区巴彦淖尔市/巴盟杭锦后旗2025-2026学年上学期八年级数学期中测试调研卷）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【题型3 双垂直平分线导角】 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在△中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，试证明平分． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，在中，垂直平分边，分别交于点，垂直平分边，分别交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数； (3)通过以上的探索过程，请根据图与图分别写出与，之间的数量关系，并说明理由． 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，DE垂直平分，分别交于点．垂直平分，分别交于M、N点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，则的度数． 【题型4 三角形的翻折模型】 9．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为________． 10．（20-21八年级上·广东汕头·期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为________度． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则______°． 12．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【题型5 三角形双角平分线模型】 13．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，若平分，平分外角，则的度数为______． 14．（20-21七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，平分平分，则______． 15．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 16．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【题型6 倍长中线模型】 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 18．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（______）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 19．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【题型7 截长补短模型】 20．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，平分，过点作于点，在上取．    (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 21．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 22．（20-21八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【题型8 一线三等角模型】 23．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 24．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 25．（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【题型9 手拉手模型】 26．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 27．（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 28．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【题型10 半角模型】 30．（21-22九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 31．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【题型11 与角平分线有关的热考模型】 33．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 34．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． (1)【初步感知】如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为： ； (2)【类比解答】如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为 ； (3)【拓展应用】①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长 ． 35．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）如图①，在等腰三角形和等腰三角形中，，，，连接，，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”．在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； （2）如图②，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图③，已知△，请完成作图：以，为边分别向外作等边三角形和等边三角形等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $