暑假作业06 开平方法与配方法解一元二次方程（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以降次思想为主线，系统构建开平方法与配方法的解题体系，逻辑链清晰，方法提炼实用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|4题|三类形式直接开方（纯平方型、平移平方型、带系数平方型）|平方根意义→降次操作| |配方法（系数为1）|4题|四步口诀（移常数、加半方、写平方、开方求解）|完全平方公式→步骤化配方| |配方法（系数不为1）|4题|先化1再配方|系数转化→统一方法| |配方法应用|4题|代数变形与几何应用|配方法迁移→跨情境应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 开平方法与配方法解一元二次方程 【知识点1 解一元二次方程的根本思想：降次】 八上学过的一元一次方程，解法核心是把未知数分离出来（两边同加减乘除）。一元二次方程多了一个“二次”，不能直接分离，所以核心策略是： 降次：把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解。 开平方法和配方法，就是实现“降次”的第一种系统化路径：通过把左边变成完全平方式，右边变成常数，然后两边开平方，二次就降成了一次。 【知识点2 直接开平方法的理论依据：平方根的意义】 若，则： 1. 当时，（两个不相等的实数根） 2. 当时，（两个相等的实数根，通常也写作） 3. 当时，方程无实数根（因为任何实数的平方≥0） 【知识点3 直接开平方法：能直接化成完全平方＝常数】 如果一个方程能整理成（其中）的形式，就可以直接两边开平方求解。 1. 纯平方型：（要求）， 2. 平移平方型：， 3. 带系数平方型：， 【知识点4 配方前的代数准备：完全平方公式与凑完全平方】 1. 配方法的核心是：把的左边，通过加一项、减一项的技巧，变成的样子。 2. 回顾完全平方公式：。 3. 关键规律：对（二次项系数为1的情形），要配成完全平方式，需要加上的常数项是：，即：常数项＝（一次项系数的一半）的平方 4. 注意：方程里“加一个数”必须两边同时加，这是等式性质，不能只改左边。 【知识点5 用配方法解二次项系数为1的方程】 配方法：通过配方，把一元二次方程化为2的形式，再用直接开平方法求解。 步骤 操作 口诀 示例： 移 把常数项移到等号右边 移常数 配 方程两边同时加上 一次项系数的一半的平方 加半方 一次项系数8，一半是4，平方是16： 写 左边写成完全平方，右边合并为常数 写平方 开 若右边≥0，两边开平方降次； 若右边＜0，则无实数根 开方求解 【知识点6 二次项系数不为1时：先化1，再配方】 当方程形如且（且），配方法仍然能用，但必须先化为二次项系数为1： 步骤 操作 示例： 化1 方程两边同除以a（二次项系数化为1） 同除以2： 移 移常数项到右边 配 两边同加 一次项系数的一半的平方 一次项系数，一半是，平方是： 写 左边写成完全平方 开 开平方降次求解 【知识点7 配方后右边常数的符号与方程实数根情况】 配方最终得到，此时： 1. n＞0：两个不相等的实数根， 2. n＝0：两个相等的实数根（重根）， 3. n＜0：无实数根 题型01 直接开平方法解一元二次方程 1．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 2．（25-26七年级下·福建南平·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（  ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给出的新数的运算规则，可发现每4个连续的幂次和为0，利用循环规律即可计算出最终结果． 【详解】解：，，，， ， 即每连续4个的幂次的和为0， ， 前2024项的和为，剩余两项为和， ，， 原式． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）方程的解为__________． 【答案】 【详解】解：， 即． 4．（25-26七年级下·云南昆明·期中）求下列式子中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接开平方法计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ∴． 题型02 配方法解一元二次方程 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 2．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）解方程：． 【答案】 ，． 【分析】先把原方程整理为，然后利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项，得，即， 配方，得，即， 开方，得， ∴，． 3．（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】可考虑使用配方法、公式法或因式分解法求解．若选择配方法，把常数项移项到等号右边，再配方，开平方求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ 则， ，． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 题型03 配方法的应用 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，，，则对角线的最小值是______． 【答案】 【分析】设点D的坐标为，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出，则由勾股定理可得，由此利用配方法求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与的中点坐标相同， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对角线的最小值为． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为_； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： __． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式运算的基本法则，需要运用幂的乘方法则、合并同类项法则、完全平方公式、零指数幂的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A： ， A错误． 选项B：根据合并同类项法则， ， B错误． 选项C：根据完全平方公式， ， C错误． 选项D：先判断底数是否不为0，对配方得： ， ， ，即底数恒不为0， 根据零指数幂定义：任何非零数的次幂等于， ，D正确． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 4．（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）方程的根是_________． 【答案】， 【分析】先移项将方程化为的形式，再用直接开平方法求解方程的根． 【详解】解：移项得， 对等式两边开平方得， 即，． 6．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 7．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 8．（25-26八年级下·福建莆田·期中）解方程： 【答案】 【分析】根据配方法得出，再开方求解即可． 【详解】解： ∴ ∴， ∴， 解得：． 9．（2026·河南周口·二模）解方程及化简 (1)解方程：（用配方法）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将常数项移到等式右边，再配方，然后开方计算即可； （2）先对括号内进行通分，利用平方差公式因式分解，然后将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩恩 暑假作业06开平方法与配方法解一元二次方程 新知初探 【知识点1解一元二次方程的根本思想：降次】 八上学过的一元一次方程，解法核心是把未知数分离出来（两边同加减乘除）。一元二次方程多了 一个“二次”，不能直接分离，所以核心策略是： 降次：把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解。 开平方法和配方法，就是实现“降次”的第一种系统化路径：通过把左边变成完全平方式，右边变 成常数，然后两边开平方，二次就降成了一次。 【知识点2直接开平方法的理论依据：平方根的意义】 若x2=a,则： 1.当a>0时，x=±√a(两个不相等的实数根) 2.当a=0时，x=0(两个相等的实数根，通常也写作x=x2=0) 3. 当a<0时，方程无实数根（因为任何实数的平方≥0） 【知识点3直接开平方法：能直接化成完全平方=常数】 如果一个方程能整理成(x+m)2=n(其中n20)的形式，就可以直接两边开平方求解。 1.纯平方型：x2=p(要求p20),x=±√D 2.平移平方型：(x+m2=p,x=±√p-m 3. 带系数平方型：(ax+b=p,x=±yD-b 【知识点4配方前的代数准备：完全平方公式与凑完全平方】 1.配方法的核心是：把x2+br+c=0的左边，通过加一项、减一项的技巧，变成(x+m的样子。 2.回顾完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2。 3. 关键规律：对x2+bx(二次项系数为1的情形)，要配成完全平方式，需要加上的常数项是： （自-安，即：常数项=（一次顶系数的一半的平方 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4. 注意：方程里“加一个数”必须两边同时加，这是等式性质，不能只改左边。 【知识点5用配方法解二次项系数为1的方程】 配方法：通过配方，把一元二次方程化为2(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。 步骤 操作 口诀 示例：x2+8x-9=0 移 把常数项移到等号右边 移常数 x2+8x=9 方程两边同时加上 次项系数8，一半是4，平方是16： 配 加半方 次项系数的一半的平方 x2+8x+16=9+16 写 左边写成完全平方，右边合并为常数 写平方 (x+42=25 若右边≥0，两边开平方降次： x+4=±5 开 开方求解 若右边<0，则无实数根 x=1,x2=9 【知识点6二次项系数不为1时：先化1，配方】 当方程形如ax2+bx+c=0且a=1（且a≠0)，配方法仍然能用，但必须先化为二次项系数为1： 步骤 操作 示例：2x2-5x+1=0 同除以2： 化1 方程两边同除以a(二次项系数化为1) x251 2+2=0 移 移常数项到右边 次明系数一半是？平方是 4 16 两边同加 配 x2-25 -125 次项系数的一半的平方 -2+6-2+6 x2、5 2517 1616 写 左边写成完全平方 5_17 stvii 5 x- 4 开 开平方降次求解 44 【知识点7配方后右边常数的符号与方程实数根情况】 配方最终得到(x+m)=n,此时： 1.n>0:两个不相等的实数根，x=±√n-m 2.n=0:两个相等的实数根（重根)，x=x2=-m 3.n<0:无实数根 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 基础检测 题型01直接开平方法解一元二次方程 1.(25-26八年级下·安徽准南阶段检测)若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1，则方程 m(x+3+n=0的根是() A.-1或1 B.-1或-2 C.-2或-4 D.1或4 2.(25-26七年级下·福建南平期中)我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的 平方等于-1.若我们规定一个新数“i”,使其满足2=-1（即方程x2=-1有一个根为i)·并且进一步 规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有=i,2=-1, 护=ixi=（-1)×i=-i,i=()）2=(-1)2=1,那么i+2+i+i++i2025+26的值为（) A.0 B.i C.1 D.i-1 3.(2026江苏南京模拟预测)方程x2=4的解为 4.(25-26七年级下·云南昆明·期中)求下列式子中x的值： (1)2x2=8 (2)(x-1)3=-8 题型02配方法解一元二次方程 1.(2026甘肃武威模拟预测)用配方法解一元二次方程2x2-8x-3=0,下列配方正确的是() A.(x+4)=11B.x-4)2=11 C.2(x+22=11D.2(x-22=11 2.(25-26八年级下.安徽准南阶段检测)解方程：3x2-12x-6=0. 3.(2026安徽阜阳二模)解方程：x2-4x-2=1. 4.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)解方程：x2+2x-1=0. 题型03配方法的应用 1.(25-26八年级下·浙江台州·期中)在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的顶点A(0,-1), Bm,m+3),C(4,1,则对角线BD的最小值是· 2.(25-26九年级下山东烟台期中)数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=-2a2+4a, N=-2(a2-2a+2. (1)比较M,N的大小： (2)若P+2N=M-5,证明：P不可能小于0. 3.(25-26八年级下·江苏常州期中)对于二次三项式x2+2ax+a2,可以直接用公式法分解为(x+的形 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中 先加上一项，使x2+2ax-3a2中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变， 最后再用平方差公式进一步分解.于是x2+2ar-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2 =(x+a-(2a=(x+3a)(x-a.像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法. (1)如果a2-4a+()是一个完全平方式，则括号内的常数应为_； (2)用“配方法”分解因式：x2+6x-7; (3)用“配方法”分解因式：3x2-6x-12. 4.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)阅读下列材料： 材料一“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 (x+2)2≥0，(x+2)2+121,.x2+4x+5≥1 解决下列问题： (1)填空：x2-6x+10=(x_)2+_· (2)已知x2-2xy+2y2+2y+1=0,求x+y的值. (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小，并说明理由 小试牛刀 1.(25-26八年级下·浙江杭州·期中)用配方法解一元二次方程x2-6x=4,配方正确的是（) A.(x+3)2=13B.(x-32=13 C.（x+32=4 D.(x-32=4 2.(2026黑龙江哈尔滨.一模)下列计算正确的是() A.(a）=a B.3x-2x=1 C.（a-b)=a2-b2 D.x2+2x+3=1 3.(25-26八年级下·安微滁州期中)用配方法解方程3x2-6x+2=0，将方程变为(x-m)2=n的形式，则 m,的值分别为() A9,号 B9 C.. D1,3 4.(25-26九年级下·山东威海期中)一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是() A.0 ,31=0 D.（x+4)6 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2026贵州遵义·模拟预测)方程x2-4=0的根是 6.(2026江苏连云港.一模)设m,n为实数，且W=2m2+2mn+n2-m-2n+2有最小值，则W的最小值 为 7.(2026贵州遵义二模)定义一种新运算，规定：a⑧b=a2-2a+b,例如2⑧3=2-2×2+3=3，若 x⑧1=9，则x的值是 8.(25-26八年级下福建莆田·期中)解方程：x2-2x-3=5 9.(2026河南周口·二模)解方程及化简 (1)解方程：x2-4x-1=0（用配方法)； 10. (25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程xx+4)=6. 解：原方程可变形得 [(x+2)-2][(x+2)+2]=6. (x+2)2-22=6, (x+2)2=6+22, (x+2)2=10. 直接开平方并整理，得x=-2+V10,x2=-2-V0. 我们称小明这种解法为“平均数法”。 请用平均数法解方程：x-5)(x+3)=6. /