精品解析：山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

数 学 试 题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算可得，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】根据交集的定义可知，. 3. 已知，．若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量坐标关系计算求解. 【详解】因为，且，则，即. 4. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 40个 B. 48个 C. 52个 D. 64个 【答案】C 【解析】 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 所以. 7. 已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的最大整数值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，，得到，利用等比数列的求和公式，求得，结合，即可求解. 【详解】由数列为等差数列，首项为1，公差为2，可得， 又由数列为等比数列，首项为1，公比为2，可得， 因为， 所以数列的前项和， 又因为，所以单调递增， 当时，可得， 所以当时，的最大整数值为. 8. 如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件得到半球的底面半径和圆锥的高之间的关系，进而求出圆锥的母线长，再利用余弦定理即可求出圆锥轴截面顶角的余弦值，进而得到答案. 【详解】 设圆锥与半球的底面半径为R，圆锥的高为h，母线长为，轴截面的顶角为. 则由可得，即. 所以圆锥的母线长， 则由余弦定理可得， 所以圆锥轴截面顶角的余弦值是，故其正弦值是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由作商法判断A；由作差法判断B；举反例判断C；由指数函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 不妨取， 则， 因为， 即，故C错误； 对于D，因为， 所以为单调递增函数， 又因为， 所以，故D错误. 故选：AB. 10. 已知定义域为R的函数，则（ ） A. 存在位于R上的实数，使函数的图象是轴对称图形 B. 存在实数，使函数为单调函数 C. 对任意实数，函数都存在最小值 D. 对任意实数，函数都存在两条过原点的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】举特例证明选项A判断正确；利用导函数判断选项B；利用极限思想判断选项C；求得函数过原点的切线的条数判断选项D. 【详解】对于A，当时，是R上的偶函数， 函数的图象有对称轴y轴，则函数的图象是轴对称图形.判断正确； 对于B，，值域为R， 至少有一个变号零点，∴不可能为单调函数，判断错误； 对于C，当以及时，均， 由在R上连续，∴中间必存在最小值. 判断正确； 对于D，设切点， ，则 ∴在处切线方程为 ∵它过原点，∴，即 由有两解：或 可得，对任意实数，函数存在两条过原点的切线. 判断正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为， 圆圆心坐标为，半径为. 对于A：所以本选项说法错误； 对于B：因为， 所以，所以本选项说法正确； 对于C：设直线为，， 由，得， 因为，所以， 直线的方程为， 所以点的坐标为，因为， 所以点的坐标为，而点的坐标为， 所以点的纵坐标和点的纵坐标相同， 所以，因此本选项说法正确； 对于D：设， 由选项C可知，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【解析】 【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程，利用双曲线的定义求得，在中，由余弦定理可以得到关于的方程，求解即得. 【详解】由双曲线的方程可得：双曲线的实半轴长设半焦距,则, 由双曲线的定义可得, , 在中，由余弦定理得, 即, 解得：, 故答案为：2. 14. 已知函数，，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则的最大值为______ 【答案】5 【解析】 【分析】由给定的零点及对称轴，结合五点法作图可得，再由单调区间确定的值，然后分类讨论由的值即可得的最大值. 【详解】函数的最小正周期， 由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是，则有， 当时，，， 由，得， 而，则，， ，直线为图象的一条对称轴，符合题意， 当时，，函数在上单调递减，符合题意. 所以的最大值为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 17. 某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. （1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； （2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】（1） （2）96000元 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【小问1详解】 设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ， ， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； 【小问2详解】 一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，， 故 ， 所以， 商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 18. 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于． （1）求动点P的轨迹方程C； （2）设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值； （3）设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 或 【解析】 【分析】（1）设P点坐标，根据所给的条件列方程即可求解； （2）由于椭圆的对称性，圆D的圆心必定在y轴上，G点纵坐标的最大值必定在y轴上，立方程解出 的解析式，求导即可； （3）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 设 ，依题意有 ， ，即 ， 整理得： 或 ； 【小问2详解】 当 时， ，即圆D的半径为 ，当 最大时， 必有 ， ，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在时， 取最大值= ； 【小问3详解】 设 ， ，当 时，有 , 由弦长公式得 ， ， ∴ ， ， 此时 ，点P的坐标为 或 ; 综上，轨迹C的方程为 ， 取最大值=， 存在，P 或P. 19. 已知函数，记. （1）求的单调区间与极值； （2）(i)证明：，都有； (ⅱ)记为函数的正零点从小到大依次排列成的一个数列，求证：. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；极大值为，无极小值； （2）（i）由题意要证，即证，在 上成立. 令， ，则， 设 ， ，则 ①当时，，则在上单调递增，而， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故，即时，,则； ②当时，，，则 综上，当时，，即得证. （ii）由（i），，则由，即， 当时，恒成立，此时无零点， 当时， ①若，则，由（i）知在上单调递增，在上单调递减， 而，故存在，使， 当时，，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 而，故， ②当时， 由①同理可证： ， 由①②有 ， 是的零点，，即 在上单调递减， ，，即 而， ， 故. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，判断导函数的正负，即得函数的单调性，进而可求极值； （2）（i）令，分和两种情况，分别通过求导判断其单调性，和利用函数的有界性和不等式性质即可证明；（ii）确定时，通过和两种情况分析，分析得出；同时确定 ，再由 及函数单调性可得，进而可证明. 【小问1详解】 已知函数的定义域为，且， 由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，．若，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A. B. C. D. 5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 40个 B. 48个 C. 52个 D. 64个 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前n项和，则当时，n的最大整数值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为R的函数，则（ ） A. 存在位于R上的实数，使函数的图象是轴对称图形 B. 存在实数，使函数为单调函数 C. 对任意实数，函数都存在最小值 D. 对任意实数，函数都存在两条过原点的切线 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__________． 14. 已知函数，，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 17. 某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. （1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； （2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 18. 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于． （1）求动点P的轨迹方程C； （2）设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值； （3）设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，记. （1）求的单调区间与极值； （2）(i)证明：，都有； (ⅱ)记为函数的正零点从小到大依次排列成的一个数列，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $