2026年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类综合练习题

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以题型分类为框架，通过"问题情境-分类策略-模型构建"的解题链培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段问题|2题|坐标参数法、对称转化、直线过定点分析|从线段长度表示到动态距离最值，渗透数形结合思想| |周长问题|2题|参数表示法、平移性质、二次函数最值|结合图形性质转化周长为单变量函数，强化转化能力| |角度问题|3题|角平分线性质、全等构造、斜率计算|从静态角度到动态旋转，培养空间观念与几何直观| |面积问题|2题|分割法、铅垂高公式、韦达定理应用|面积表达式构建与最值求解，体现代数运算能力| |相似三角形|3题|分类讨论、对应边成比例、坐标法证明|相似判定与性质的综合应用，发展逻辑推理| |特殊三角形|2题|直角三角形勾股定理、等腰三角形三线合一|特殊三角形存在性问题，强化分类讨论思想| |特殊四边形|7题|菱形性质、平行四边形判定、平移变换|四边形动态存在性分析，提升综合应用能力|

2026年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分类综合练习题（附答案） 一、二次函数与线段问题综合 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 2．已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 二、二次函数与周长问题综合 3．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴垂线，交与轴分别为点与点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的上方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到，点为点的对应点，点为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 三、二次函数与角度问题综合 5．如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 6．抛物线与轴相交于，两点，若抛物线上存在点，使，就称此抛物线为“星城”曲线，点为其“星城”点． (1)如图①，已知抛物线过点，，直线过点，与抛物线相交于另一点，与轴相交于点，若此抛物线为“星城”曲线，点为其“星城”点，且，求直线的表达式； (2)如图②，已知抛物线为“星城”曲线，与轴相交于，点，与轴相交于点，当点为其“星城”点时，求的面积； (3)如图③，已知抛物线为“星城”曲线，与轴相交于点，，为曲线上的“星城”点，当“星城”点至少有个，且点的纵坐标为最小值时，求此时抛物线的表达式． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 四、二次函数与面积问题综合 8．如图，二次函数的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C与点D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； (3)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接、，当点P在什么位置时，面积最大，求出此时面积的最大值以及点P坐标； (4)若点E（不在x轴上）是直线上一动点，过点E作轴于点F交抛物线于点H，且点E，F，H三点中有两点关于第三点成中心对称，直接写出点E的横坐标． 9．已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 五、二次函数与相似三角形综合 10．如图，二次系数交x轴于A、B两点，交y轴于点，顶点为点D，其中，点P为对称轴上一点． (1)求二次函数的解析式以及顶点D的坐标； (2)当的值最大时，求点P的坐标； (3)设点Q是二次函数图像上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求点P的坐标． 11．在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是对称轴上的一个动点，是否存在点到点的距离与到点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是对称轴左侧的抛物线上的一个动点，点在射线上．是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六、二次函数与特殊三角形综合 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 七、二次函数与特殊四边形综合 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标； (2)过点A作轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在上方），作轴交于点．当四边形的面积最大时，连接，求与直线的夹角的正切值． (3)点Q是抛物线上的动点，点R是抛物线对称轴上的动点，是否存在以A、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为.将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G． ①当点M与点C重合时，求点N的坐标； ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 20．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点E，使周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值； (3)如图2，点F为第二象限抛物线上一动点，连接交于点D，，是否存在点F，使K取最大值，如果存在，求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由； (4)已知点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点M，N使得四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出，得到抛物线，然后令求出，； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出所在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）首先得到，，可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后分别于抛物线联立求出，，然后结合表示出所在直线表达式，设，得到，然后求出所在直线过定点，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：如图，当点E在x轴上方时，设与y轴交于点F， ∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 如图，当点E在x轴下方时，设与y轴交于点F， 同理可得，所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∵设点，的纵坐标分别为，， ∴， ∵ ∴可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为， ∴联立和得， 整理得， ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ 同理可得， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴所在直线表达式为 设 ∴ ∴当时，即时， ∴所在直线过定点 ∵是定点 ∴当时，点到直线的距离取得最大值 ∵ ∴点到直线的距离的最大值为． 2．(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 3．(1) (2)①；②；③5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与轴相交于点，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可； ②如图②，过点作轴，交线段于点．由①可知．由平移，得，则，结合轴，得出，则，在中，．设点的横坐标为．则，求出直线的解析式，根据轴，点在线段上，得出．表示出，再根据二次函数的性质即可求解； ③过点作，且，连接，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可； 【详解】（1）解：∵在二次函数的图象上， 设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， ， 如图，延长与轴相交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ． ②如图②，过点作轴，交线段于点． 由①可知． 由平移，得， ， ∵轴， ， ， ， ∴在中，． 设点的横坐标为． ， 设直线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵轴，点在线段上， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． ∴． ∴的最大值为． ∵， ∴． ③如图，过点作，且， 连接， 设交轴为点． ，且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， ， 此时三点共线且轴， ∴点的坐标为与点重合，满足在线段上． ∴的最小值为5． 4．(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先利用对称轴与点的坐标求得点的坐标，再利用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，再设，则，，表示出的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点的坐标，将点往下平移个单位得到，则，且，连接，得平行四边形，则，作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则，当、、共线时取等，即可求得周长的最小值； （3）先根据平移情况求出新抛物线解析式和点平移后的点坐标，作轴，延长至点，根据题意可得出点在上，求出的解析式后联立新抛物线解析式即可求得的坐标；作关于对称的直线，交于点，设，得出，利用导角得出，再过作交于点，延长交轴于点，求得，设，，从而求出，进而求出，求得点的坐标，设直线的解析式为，求出解析式联立新抛物线解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，为抛物线与轴的交点， ∴， ∴， ∴， 将、代入， 得， 解得，， ∴． （2）解：∵点是抛物线与轴交点， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 代入，，得 解得： 故直线：， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下有最大值， ∴在中，当时，有最大值，此时， 如图，将点往下平移个单位得到， 则 ，且， 连接，得平行四边形， 则， 作关于对称轴直线的对称点， 即为坐标原点，则， ∴， 当、、共线时取等， 即，周长最小值为． （3）解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为， ∵点对应点平移的坐标， ∴， 如图，作轴，延长至点，交抛物线于点， ∴， 过点作交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 设直线的解析式为， 得，解得， 得直线的解析式为， 联立得 解得(舍去)，， ∴； 作关于对称的直线，交抛物线于点，延长交轴于点， 设， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点、代入得，解得， 得直线的解析式为， 联立得 解得(舍去)，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 5．(1)，， (2)或 (3)． 【分析】（1）求出时x的值可得点A和点B的坐标，求出时y的值可得点C的坐标； （2）把解析式化为顶点式得到点D的坐标，当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可；当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， 当时，， ，，； （2）解：∵， ∴顶点的坐标为， ①当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点， ，，， ，， 由抛物线的对称性可得， ， ， ， 又∵， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为（），将、两点坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为； ②点在轴下方时， 同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设，，， 设直线的解析式为， 联立得， 由根与系数关系可知，， 直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 直线的解析式为， ，即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）作的外接圆，设圆心为，作轴交于点，求出，再由，求出，即可求三角形面积； （3）、、三点在以或为圆心的圆上，可确定点纵坐标的最小值，继而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，作的外接圆，设圆心为，作轴交于点，连接、、， ∴， ∴，即点的中点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当时，， 解得：或， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∵抛物线与轴相交于点， 当时，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴ 即的面积为； （3）解：∵抛物线为“星城”曲线，与轴相交于点，， ∴，， 当时，， 即此时抛物线与轴的交点坐标为， 如图，在轴上取点，连接、， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 以点为圆心，的长为半径画，以点为圆心，的长为半径画，当抛物线过时，在优弧和优弧上，“星城”点有个，如上图所示， 此时， 当“星城”点至少有个时，如下图所示， 此时， ∴当“星城”点至少有个时，点的纵坐标的最小值为，此时点与点重合， ∴， ∴， ∴此时抛物线的表达式为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图像及性质，待定系数法确定函数的解析式，解直角三角形，两点间距离，圆周角与圆心角的关系等知识点，理解新定义，掌握圆周角定理并结合直角三角形的性质解决问题是解题的关键． 7．(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的函数解析式，设点，，表示出后，求出最大值时，，从而得到点的坐标．根据象限的角平分线的性质求出点的坐标，再将点向右平移构造平行四边形，则．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可； （3）根据题意，平移路径为，即向右个单位，向上个单位，从而求出抛物线的解析式．分两类讨论，当点在轴下方时，作直线交轴于点，容易证明，从而得到点．用待定系数法求出的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标；当点在轴上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入中，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在的平分线上， ∴， 设点，代入，解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，将点向右平移1个单位，得到，连接． 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． （3）解：由（2）可得，点的坐标为， 根据题意可知，平移路径为从点到点，即向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线， ①当点在轴下方时，如图，作直线交轴于点， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，作直线交轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，角平分线的性质定理，线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，函数的平移问题，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 8．(1)； (2)或 (3) (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的对称轴为，进而得到点D坐标，再利用图象求解即可； （3）先利用待定系数法求出的表达式，设点，过点P作轴于点Q，交于点G，则点G坐标为，进而得到的长，利用进行求解即可； （4）设点，则、，分情况讨论：当①点F和点H关于点成中心对称或②点E和点H关于点成中心对称或③点E和点F的关于点成中心对称点，利用中心对称的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 则对称轴为直线， 点C，与D是二次函数图象上的一对对称点， 点D的坐标为， 由图象可知：一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为或； （3）解：设直线的表达式为， 将点、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 设点，过点P作轴于点Q，交于点G， ， ， ， ， 二次函数的图象开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 面积的最大值为，点P坐标为； （4）解：由（3）可知：直线的表达式为， 设点，则、， ①当点F和点H关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或， 若，则点E、F、H三点重合，不符合题意， ； ②当点E和点H关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或（舍去）； ③当点E和点F关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或（舍去）， 综上所述，点E的横坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，中心对称的性质、三角形面积问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象性质、数形结合的思想方法是运用是解题的关键． 9．(1) (2) (3)的面积是定值，2 【分析】（1）利用抛物线对称轴和已知点，由对称性确定，再将两点坐标代入，解方程组求得，故抛物线解析式为； （2）过点作轴交轴于点，过点作于点，由和轴，得，又，故，由得相似比为3，即，设，则，由得由得，将两式联立消去，解得，进而求得． （3）由得M(2,0)，设，用待定系数法设直线为，将代入解得；联立与抛物线，由韦达定理，结合，求得2t-5代入抛物线得；再用待定系数法分别求直线和的解析式；设，令两直线在处的横坐标相等，即t-2，解得； 故为定值，为定值． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 且过点， 由对称性，点的坐标为， 将和代入， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入得， , 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交轴于点，过点作于点， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 消去 ，得， ， 点的坐标为； （3）解：是的中点， ， 设且， 设，将和代入得 ， 解关于的方程组， ， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线，消去得， 整理，得 ， 由韦达定理 ， ， 将代入，得 ， 设，将和代入得， ， 整理，得， ， ， 直线为， 设，将和代入得， ， ， 直线为； 设，将代入直线，得 ， ， 将代入直线，得 ， ， 整理，得， ， ， 的面积为定值2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、韦达定理的应用；解题的关键是第（2）问构造相似三角形实现线段比到坐标关系的转化，第（3）问通过待定系数法、韦达定理以及设使横坐标相等的方法完成定值的一般性证明，体现了数形结合思想和代数运算能力． 10．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）把， 代入抛物线，再建立方程组求解即可； （2）如图，连接，证明，可得，当三点共线时，，此时最大，再进一步结合一次函数的性质求解即可； （3）证明为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵二次西数交x轴于A、B两点，交y轴于点， ， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，连接， ∵关于抛物线的对称轴（直线）对称， ∴， ∴， 当三点共线时，，此时最大， ∵， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴； （3）解：∵点， ， ∴，，， ∵在中，， 故． ∵， ∴顶点． ∴不可能是直角． 如图，当时， ①如图，当时，则得． 设，则， ∴． 由得， 解得． ∵时，点Q与点P重合，不符合题意，舍去， ∴此时，． ②当时，则得． 设，则． ∴． 由得， 解得（舍）， 此时，． 当时， 如图，当时，则得．    过Q作交对称轴于点M， ∴，而， ∴． ∴，， 同理可得， ∴． ∴， 又， ∴， ∴． ∵点， ∴点． ②如图，当时，则．   过Q作交对称轴于点M， 同理：，则． 同理此时：，， ∴，， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． ∵点， ∴点， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数，一次函数的解析式，勾股定理及其逆定理的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，本题难度很大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 11．(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【详解】（1）解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； （2）令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ，     点时，的面积最大； （3）存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，判断出与平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，注意要分情况讨论． 12．(1) (2)存在，点F的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接并延长与对称轴相较于点，即此时点使得与的差最大．求出C的坐标，求出直线的解析式，再求出F坐标即可； （3）先判断是等腰直角三角形．分两种情况讨论即可：①；②； 本题考查二次函数的解析式的求解，两线段距离之差的最大值，二次函数与相似三角形，熟练掌握二次函数图象性质和三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： 如图所示连接并延长与对称轴较于点，即此时点使得与的差最大． 对于二次函数，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵点在的图象上， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为； （3）存在，理由如下： 由（2），抛物线对称轴为直线：，设交x轴于N， ∴，即是等腰直角三角形， ∵轴， ∴易知也是等腰直角三角形， ∴． ①若，如图所示，过点作垂足为， 则，， 设横坐标为x，则， 则，即， ∴， ∴代入得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴此时点坐标为， ②若，如图所示， 设， 代入关系式得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 13．(1)， (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质： （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设抛物线的解析式为，将B、C代入，解出b、c即可； （3）分别讨论、、为斜边，利用勾股定理即可求出M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴，． （2）解：设抛物线的解析式为， 将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在点M，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或． 14．(1)，； (2)Q的坐标为或或或； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的翻折问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点P的坐标即可； （2）设，由两点距离计算公式可得，， ，再分三种情况，分别建立方程求解即可； （3）图象翻折后点P对应点的坐标为，①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点P的坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， ； ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； ②当时，则， ∴， 解得或， ∴此时点Q的坐标为或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或； （3）解：图象翻折后点P对应点的坐标为， ①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， ∴ ∴； ②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 设点为原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象上一点，则点是原抛物线x轴上方的部分的图象上一点， ∴， ∴， ∴原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象对应的函数解析式为， 联立得， 则， 解得． 综上所述，或． 15．(1) (2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的关系式； （2）连接，设P点坐标，根据，可得，然后利用二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值； （3）分情况进行解答并利用菱形的性质即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接， 对于抛物线， 当时，可有，即， 又∵，， ∴， 设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在， 此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线， ∴，连接，可得， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时， 过点作轴于点G， 设，则，，， ∴， 解得（舍去），或， ∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M， ∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得 ∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点， ∴直线的表达式为：， 联立，解得， ∴， ∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、四边形的面积、菱形的存在性等，分类讨论思想；利用数形结合思想和分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键． 16．(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 17．(1)； (2) (3)存在；Q点的坐标为或或 【分析】（1）先利用一次函数求出A、B的坐标，然后把A、B坐标代入抛物线解析式中求解即可； （2）先求出点C坐标为，设点P的坐标为，点D的坐标为．证明，则，据此求出点，再求出直线与的交点E的坐标，过点O作于点F，求出点F的坐标，再求出，的长，即可得出答案； （3）设点Q的坐标为，点R的坐标为，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：对于，当时，； 当时，， ∴， 将，代入抛物线的解析式，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 由轴可得点C的坐标为， 设点P的坐标为，则由轴可得点D的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 当时，，此时， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 过点O作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为，点R的坐标为， 根据已知可知：，， 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为，点R的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为，点R的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为，点R的坐标为； 综上， Q点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，中点坐标公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 18．(1) (2)面积的最大值为， (3)存在，点E的坐标为或或或 【分析】（1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； （3）解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，两点间的距离公式，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 19．(1) (2)①；② (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出C点坐标为，得到；则点N的横坐标为，即可求出答案；②由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为， （2）解：①当时，， ∴C点坐标为； ∵点M与点C重合， ∴； ∵点N的横坐标为 ∴点N的横坐标为， 当时，， ∴点N的坐标为； ②令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； 由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； （3）解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴ ， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G在抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 20．(1)抛物线的表达式为 (2)；周长最小值 (3)时，取得最大值为； (4)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点和点代入利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接， ∵ ∴当共线时，的周长最小，则点即为所求， ∴当时，，则； ∵，，， ∴，， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $