湖南省永州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 永州市高二期末数学试卷覆盖函数、数列、立体几何等模块，以“蒙日圆”“盐水选种”等情境设计梯度化问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高二综合能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|函数导数、二项式定理、统计期望|单选夯实基础（如函数求导），多选综合辨析（如三角函数图象对称性）| |填空题|3/15|数列前n项和、函数单调性、椭圆蒙日圆|14题结合数学史考查椭圆性质，渗透文化传承| |解答题|5/77|数列证明与求和、立体几何角计算、概率统计应用、独立性检验、双曲线综合|17题以盐水选种情境考查频率分布与期望，19题分层设问（方程、距离、中点问题），强化数学建模与运算能力|

湖南省永州市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设函数，则（   ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 3．已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．一组从小到大排列的数据：3，4，，12，16，若这组数据的第60百分位数比平均数大2，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（ ） A．该圆锥的体积为 B．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大值为 C． D．该圆锥的侧面积为 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．函数，则下列结论正确的是（   ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． 13．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 14．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前n项的和． 16．如图，在三棱锥中，，，点在棱上（不与端点重合），直线与平面所成角的正弦值为． (1)求异面直线，所成角的正弦值； (2)求的值． 17．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和. (1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）； (3)若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则. 18．为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ (2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省永州市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A D B A B BCD BCD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】 2．C 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 3．A 【详解】由题意知点是函数图象的一个对称中心， 故，则， 结合，可知，则时，取最小值. 4．A 【分析】先求出第60百分位数和平均数，再根据第60百分位数比平均数大2，建立等量关系求解即可. 【详解】解：由题意得，则第60百分位数为， 因为平均数为，第60百分位数比平均数大2， 所以，解得. 5．D 【分析】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可． 【详解】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3， ；， ， ． 6．B 【分析】根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小. 【详解】因为，，， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而, 显然，, 所以. 7．A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 8．B 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识判断C；对于D选项，结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项错误； B选项，设过圆锥任意两条母线的截面为，，则该截面面积为， 所以当时，截面面积最大为，B选项正确； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项错误； D选项，圆锥的侧面展开图扇形弧长为， 所以圆锥的侧面积为，故D选项错误. 故选：B. 9．BCD 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 10．BCD 【分析】根据函数的图象及正切函数的性质求得解析式即可判断AB，结合对称性判断C；根据函数的平移判断D. 【详解】由图可知，的最小正周期，则，故A错误； 由图象可知时，函数无意义，所以，， 则，，又，则，即，故B正确； 因为，所以的图象关于点对称， 由图象对称变换可得的图象关于直线对称，故C正确； 函数的图象向左平移个单位长度得，故D正确. 故选：BCD 11．BCD 【分析】根据函数有极值点可知导函数存在两个不同零点，根据可构造不等式求得A错误；将问题转化为与有交点，利用导数可求得单调性，并得到的值域，由此可确定B正确；由可确定C正确；利用交点式可表示出，根据对应项系数相等，并利用所得等量关系化简可得D正确. 【详解】对于A，有极值点，有两个不等的零点， ，解得：，A错误； 对于B，当时，若成立，则在上有根； 在上有根， 令，则与有交点， ，在上单调递减， 当时，；当时，；， 无论取何值，与均有交点，即至少存在一个正根，B正确； 对于C， ， 的对称点为，的对称点在直线上，C正确； 对于D，，必有极值点，知； ， ，，， ， ，，，D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】利用函数单调性与定义域列不等式，解不等式，可得答案. 【详解】由题意得，解得， 因为是定义在区间上的减函数，且， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可. 【详解】由题意,,, 因为,所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 14． 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以. 16．(1)1 (2)或 【分析】（1）取的中点，连接，易得，，根据线面垂直的判定及性质定理得，进而得到答案； （2）构建合适的空间直角坐标系，设，，利用向量法及线面角的正弦值，列方程求参数，即可得到的值. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为，所以，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以异面直线，所成角的正弦值为． （2）如图，因为，易知，则， 取的中点，连接，易知，又平面，易知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设，易得，，则，，，， 则，，设，， 则，故， 设平面的法向量为，则， 令，则，设直线与平面所成角为， 则， 解得或， 所以使得直线与平面所成角的正弦值为， 则点位于棱上靠近点或点的四等分点处， 所以或. 17．(1)1.24 (2)分布列见解析，期望1.44； (3)粒. 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均值即可； （2）求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项分布求解分布列与期望； （3）根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解. 【详解】（1）种子密度的平均值为：（） （2）由频率分布直方图知优种占比为， 任选一粒种子萌发的概率， 因为为这批种子总数远大于2，所以， ，， ， 所以布列为： 0 期望. （3）因为该品种种子的密度， 所以，，即， 所以20000粒种子中约有优种（粒） 即估计其中优种的数目为粒. 18．(1)能； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． （2）由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2，                           ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 19．(1)，． (2) (3) 【分析】(1)可设双曲线的方程为,代入可得标准方程，即可求离心率； 注：常见双曲线方程的设法 渐近线为的双曲线方程可设为；如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程可设为． 与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或． 与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 与椭圆共焦点的双曲线方程可设为． (2)由(1)的结果可得焦点与渐近线方程，由点到直线的距离公式可得结果； (3)联立直线与曲线方程，结合韦达定理可求. 【详解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 将代入，得，得， 故双曲线的方程为，所以，故离心率． （2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． （3）联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 又点在圆上，所以，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $