Hello, 各位同学，我是高中数学唐岩老师。这节课我们要讲的是导数切线应用当中，首先导数与倾斜角之间的这样一个关系。我们在之前的视频课当中，我们已经详细的强调过了。那有关于导数的几何意义是什么？它就是指曲线上任意一点处切线的什么斜率。但是如果说比方说给了大家一个曲线Y等于FX那么现在它告诉我们在这条曲线上任意一点处它的倾斜角，切线的倾斜角是阿尔法，让我们去算阿尔法的取值范围，那么我们该如何去进行计算？其实在这里是非常简单的。大家请想，如果说我们要去算倾斜角阿尔法的取值范围，那么我们必须要把斜率K的范围给计算出来，对不对？其实计算斜率K的取值范围，它最终就转换成了F1撇X这个导函数的值域求解过程。所以在这里大家请记好以后，凡是让我们去计算斜率的取值范围也好，或者是说让我们去计算倾斜角的取值范围也罢，我们最终都转换成偶函数值域的求解过程就可以了。在这里我们直接来看题型，因为这一部分的题型相对来说难度并不是特别大。首先看例一这个问题，他说已知点P在曲线Y等于4除以E的X次方加一上阿尔法为曲线，在点P处切线的倾斜角，问我们阿尔法的取值范围是多少？好，在这里根据我们刚刚所说的这样一层关系，你为了要去算阿尔法的取值范围，我们首先必须要计算的就是斜率的取值范围。那为了要计算斜率的取值范围，那必须要计算导函数它的值域。好，在这里我们首先对这个函数先进行求导。它求导的这样一个过程，其实就是什么？就是这个除法的这样一个运算法则。首先四的导数是零乘上下边，那仍然是零减去下边的导数就是E的X4次方，再乘上上边。所以最终就是负四倍的E的X次方，底下再除以分母的平方，那分母的平方就是E的X次方。整体的平方加上两倍的E的X次方，再加上一个一。现在为了要去求解导函数这个表达式它的值域的话，我相信各位同学应该能明白我们最终要利用什么换元法去进行求解。在这里我们不妨令T等于E的X次方换元，必须要换范围。所以在这里T的范围就是大于零的那所以最终Y一撇它就变成了-4T底下再除以T方加上2T再加上一个什么一，那怎么去求解它的值域呢？很简单，上下分子分母同时除以T就可以了。所以最终它就变成了上边就只剩下一个负四下边就只剩下T加上T分之1，再加上一个二。那么大家请看这个部分，我们是不是可以去使用什么基本不等式去进行求解，对不对？根据基本不等式大家都知道T加上T分之1，它应该是大于等于二的，对不对？如果说我两边再加上一个二的话，所以整个表达式它就应该大于等于4。那现在我们把它倒过来，倒过来之后它就变成一除以T加上T分之1，再加上一个二，那么它就应该是小于等于4分之1，但它仍然是一个大于零的数。所以最后两边再同时乘上一个-4就可以了。最后我们算出来Y一撇它的范围应该是大于等于负一小于零的。那么Y一撇的范围其实对应的就是斜率K的取值范围，它就应该大于等于负一小于0。那么斜率的范围有了之后，你为了要计算倾斜角的取值范围，我们必须要使用到一个图像。这个图像其实就是在零到派上正切函数的图像。好，各位同学请看，首先这是0到2分之派上的图像，这个是二分之派到零上的图像。好，那么现在各位同学请看你既然K的范围是大于等于负一，那么我们首先先做出Y等于Y一撇等于负一这样一条直线，那也就是K等于负一这样一条直线。那么既然这是负一这样一条直线的话，大家请看一个问题，它所对应的倾斜角的这样一个值是多少？是不是应该是135度？4分之3派对不对，所以最终斜率K的取值范围就应该是这一段。那么最终倾斜角阿尔法的取值范围就应该是阿尔法大于等于4分之3派小于派结束。好，这道题也是比较简单的。那么我们再来看下边这个问题，点P在曲线Y等于X3次方减X加2上移动，设曲线在点P处的切线的倾斜角是阿尔法，阿尔法的取值范围是多少？跟刚刚一样，我们首先第一步先求导，Y一撇等于3X平方减去一个一。现在我们要求的就是导函数的什么值域，那3X平方已经是大于等于零了，你现在再减去一个一的话，那最终这个整体就大于等于负一。所以最后我们可以得出斜率的取值范围，是不是就应该是K大于等于负一好，各位同学没有问题吧？那么到这里之后，大家再请看一个问题，现在斜率的取值范围是K大于等于负一的话。那么大家请想一下，我们现在画一个正切函数的图像。当我们画完这个正切函数的图像之后，现在大家请看这是0到2分之派上的图像，然后再画出二分之派到派上的图像。那么图像有了之后，我们就依照这个图像去做出什么？这个斜率的这样一个取值范围所对应的倾斜角的取值范围就可以了。现在我们要做的就是画出K等于负一这样一条直线。K等于负一这一条直线，它所对应的这样一个角度就是4分之3派，也就是135度，对不对？好，那么你既然是K大于等于负一的话，那大家请想最终它是不是应该是指首先有这样一段图像，还有这样一段图像对不对？最后对于这样一个倾倾斜角的取值范围来说，我们不就可以得出来了吗？那最终倾斜角的取值范围应该是多少？是不是应该是阿尔法大于等于0，小于等于二分之派。并且还有一段就是阿尔法大于等于4分之3派，小于派。好，结束，各位同学没有问题。但是大家有没有发现一个小小的问题，什么小小的问题呢？就是你们觉得我写的这个结果对吗？其实它并不正确，为什么？因为在这里大家请想一个问题，这里的阿尔法能不能取到二分之派？那么当阿尔法取到二分之派的时候，斜率是什么？不存在的是不是？既然斜率都不存在的话，那你们想一下能不能取到？肯定是不可能取到的。所以在这里它最准确的范围应该是阿尔法大于等于0，小于二分之派。各位同学没有问题吧？好，这是我们所说的例二这个题目。接下来我们再来看最后一个问题，若曲线FX等于AX平方加上log x存在平行于X轴的切线，那什么叫做存在平行于X轴的切线？其实说白了就是指对于这个曲线上，存在某一点处，它的斜率应该怎么样？它的斜率应该等于0，对不对？那也就是说明对于导函数来说，F1撇X也就是2AX加上X分之一，那么在X属于零到正无穷这一段的时候，它必须要有等于零的偶函数值，各位同学能明白吧？好，所以在这里怎么办呢？也就是说现在整个问题就变成存在X属于零到正无穷，使得2AX加上X分之一等于0，那解决这个能成立的问题，我们只需要去进行分餐就可可以了。所以大家请看2A它就应该等于负的X平方分之一，所以最后我们得出来A就等于负的2X平方分之一。好，那大家请想一个问题，右边这个负的2X平方分之一，它的范围是不是应该是小于零的对吧？因为X平方是一个大于零的数，所以最后大家请想，为了要使得A和右边的表达式能相等，那我是不是只需要使得A怎么样小于零不就可以了吗？是不是？所以最终A的范围A小于零结束，这是我们的第三个问题。好，所以有关于切线的第一个应用，去考察这个什么倾斜角取值范围或者是斜率取值范围，这样一个计算的时候还是比较简单的。好，有关于本节课所有的内容到此就结束了。最后感谢各位同学的观看，我是高中数学陶源老师，后续持续给大家带来精品好课。