Hello, 各位同学，我是高中数学汤圆老师。这节课我们继续讲解切线方程，只不过我们要讲解的是切点未知的情况。像我们在上一节视频课当中讲的，如果说切点已知或者是说斜率已知，其实这一类题型还是非常简单的那如果说遇到切点未知的情况，我们又该怎么办呢？比方说我们给大家举一个例子，在这里我们给大家画一个图。好，各位同学请看，我们画一个函数图像，随便画一下。在这里大家请看，如果说题目当中告诉我们，比方说这条直线经过一个定点，我们假设叫做点PP点的坐标是X0Y0。好，那接下来它让我们去求解过点P并且与这个函数FX相切的切线方程。那么这种情况该怎么去进行计算呢？好，各位同学请看好在这里我们就可以通过两种方式去计算这条切线的斜率。比方说因为这里切点不知道，那切点我们假设叫做A点。如果切点不知道，我们就假设切点的坐标叫做X1Y1可以吧？这个函数就是FX那现在我们可以通过两种方式去求解出这个切线方程。怎么求解呢？首先第一种方式我们完全可以通过定义，因为这条直线已经经过切点了，并且也经过点P所以在这里我们一定有Y一减去Y0比上X1减去X0，它就是斜率好，这是第一种方式。第二种方式我们就可以通过导数的方式，也就是说对FX求完导之后，F1撇X1，它就是斜率K好，这是第二种方式。但是大家请看，对于这里的K来说，包括X1，Y一都是未知量，对不对？那么它至少有三个未知量，那你两个方程肯定不够解决。好，不要慌，我们还有最后一个就是Y一等于FX1，也就是说对于切点来说，它肯定是在这条什么曲线上的。所以三个方程，三个未知数，最后我们就可以把这个切线方程给它解决了。各位同学听明白了吗？好，总而言之抓住一个关键的点，就是我们要通过两种方式去求解这个斜率。第一个就是斜率的定义是，第二个就是利用导数去求斜率。接下来我们直接来看题目。首先大家请看他说已知直线Y等于KX是Y等于E的X次方的切线，则这里的实数K它的值是多少？好，我们边画图边给大家去进行讲解。而且在这里我们还会给大家补充一个小小的知识点。首先Y等于于E的X次方是一个单调递增的什么这个指数函数对吧？那么对于Y等于KX来说，这条直线它一定是经过原点的，对不对？好，也就是说这条直线一定经过00这个点。那现在我们过这条直线去做这个曲线的切线，那么我们不妨假设切点就是A点OK，那怎么去求解呢？按照我们刚刚所说的切点不知道，我们就假设切点，我们假设切点是X1Y1。首先我们可以根据斜率的定义是Y1减0，比上X1减0，它就是斜率K好，这是第一个。第二个我们可以通过求导的方式，那么对于Y等于E的X次方来说，Y一撇就是E的X次方，所以斜率K它也等于E的X1次方。好两个方程了，最后还有一个方程，切点一定在这条曲线上，所以我们有Y一等于E的X1次方。那三个方程，三个未知数，那肯定是可以把这里的什么K给它计算出来的。首先我们把第三个方程代入到第一个式子当中，我们可以得出K等于E的X1次方，底下再除以X1。那么在这里大家再请看我们可以怎么办呢？K又等于E的X次方，对不对？好，所以这个式子就等于E的X次方。那么这样一个方程联立之后，我们可以直接得出X1就等于一。X一等于一的话，Y一就等于一。所以对于斜率K来说，它不就是一，对不对？所以这里的斜率K的值答案选择D选项。但是接下来我要给大家补充一个小小的知识点，这条直线就是Y等于EX这条直线。那么大家有没有发现这条直线与曲线是相切的位置关系，而且这里的指数函数图像永远都在一次函数图像的上方。并且与A点在A点这一处，这两个函数值是相等的。所以我们一定有这样一层关系，就是E的X次方大于等于EX这其实是一个非常重要的切线放缩不等式。包括在上一节课当中，我们也给大家介绍了一个切线放缩不等式E的X次方大于等于X加1。这些东西都是需要大家去记住的，因为我们在以后做题目当中一定会用得上。好，这是例一这个问题。我们再来看一下例2，已知曲线Y等于ln x的切线经过原点，求这条切线的斜率是多少？那跟刚刚几乎都是差不多的这样一种情况。好，我们再一起来求解一下。首先对于ln x来说，它是一个单调递增的对数函数，对不对？而且与X轴交于10这个点。现在他说这条切线经过原点，好，经过原点做一条什么呢？与这个Y等于line x相切的直线。那么切点不知道，我们就假设切点，切点的坐标是X1Y1。首先第一个方式，我们通过定义法，我们可以算出K就等于Y1比上X1。第二种方式，我们就可以通过求导的方式，我们对YX求导，Y一撇等于X分之一，所以斜率K它也等于X1分之1。那么接下来各位同学再请看，对于X1Y1来说，它一定在曲线上，所以Y一等于ln x一好，接下来各位同学请看好，首先我们将第一个式子和第二个式子联立，Y1比X一等于X1分之1，所以我们可以得出Y一就等于一。Y一等于一之后代入第三个式子，我们可以得到ln x一等于一，所以X一就等于E那X一等于E之后，斜率K代入到第二个式子就是E分之一。所以这道题答案选择什么？I选择C选项。好，同样的也给大家介绍一个切线放缩不等式。这条直线其实就是Y等于1分之1X下边这个函数就是Y等于ln x所以E分之1X一定是大于等于ln x的。好，那么等号什么时候成立呢？等号成立的条件就是当且仅当X等于E的时候成立，这也是非常常用的切线放缩不等式。好，这是我们所说的例2。我们再来看下边例3。在讲解例三之前，我们要说一个小小的东西，就是有些题目会让我们去求解什么呢？求解过某一点的这样一个什么曲线，它的这个切线方程和在某一点处的切线方程。首先我们要明白在某点和过某点之间的一个区别。我们解释一下，比方说在P点这一处的切线方程，它所代表的是P点一定是切点，各位同学能明白吧？但是如果说改成过P点这一处的切线方程，那么我们要明白P点它并不一定是切点。为什么说会出现这样一种情况呢？好，我们拿这个例三为例给大家详细的讲解一下。比方说例三它是一个三次函数，对吧？好，我们随便画一个三次函数的图像给大家去进行讲解。在这里大家请看，如果说如果说我们这个P点在这里，好比方说过P点这一处的切线方程有几种情况呢？应该有两种情况。首先P点是切点的时候，这是一条线方程。那么同样的P点不是切点的时候，这是不是也是一条切线方程，对不对？只不过切点在这里，我们假设这个叫做A点可以吧？但它仍然也是切线方程，对不对？所以请记好了，过某个点处的，你要看清楚这个点到底是不是切点。如果说有可能是，有可能不是的话，你要分类进行讨论。那现在题目当中说让我们去求过负一一这一处的什么这个切线方程，那怎么办呢？来首先我们先看最简单的情况，如果说负一一为这个切点的话，好，若负一一为切点，那么各位同学请看负一一为切点，那么它有没有可能是切点呢？这里我们就得注意了，首先如果说负一一要想为切点的话，那对于负一一来说，它必须得在这个曲线上。那么我们把这个负一一给它带入，令X等于负一的时候，前面是负一，后边加上一个二，最终算出来的结果是一。明显这个点在这条曲线上，所以它有可能是切点。既然有可能是切点，我们首先对这个函数求导，Y1撇等于3，X平方再减去一个二，那么斜率K它就应该等于3，再减去一个二等于多少？是不是正好等于一？那么斜率是一的话又经过这个点，所以最终的什么这个切线方程就是Y减一等于一再乘上X减负一，那就X加1，所以最终切线方程就是Y等于X加2。好，这是第一种情况。第二种情况就是若负一一不为切点，那么当这个点不为切点的时候，切点的坐标是不知道的。那么我们就得去假设切点，我们不妨假设A点的坐标是X0Y0可以吧？首先第一种方式我们可以通过斜率的定义，是因为对于这条直线来说，它不光经过A点X0Y0，那么它也经过P点-1 1对不对？首先在这里大家请看Y0减1比上X0减负一就X0加1，它是斜率。那么第二种方式，我们可以通过这个求导的方式，这个K它是不是应该等于三倍的X0的平方，再减去一个二对吧？那么最后还有一个是什么东西呢？就是我们这个X0Y0一定是在曲线上的，所以Y0等于X03次方减去二倍的。X03个方程，三个未知数，那么我们最终就可以把这里的什么斜率给它求解出来，包括X0Y0也可以求解出。好，我们一起来求解一下。首先我们先把Y零给它带入，代入之后就是X03次方减去二倍的X0，再减去一个一以下，再除以X0加1好，这个斜率也等于3X0平方再减2。好，那么它等于3X0平方再减去一个二，所以最后解这个方程不就可以了，对不对？首先我们先把X0加1给它乘过去，所以我们有X03次方减去二倍的X0减1，等于3X0的平方减2，再乘以X0加1好，把后边展开3X0的3次方加上3倍X0的平方减去二倍的X0再减去一个2。整理一下，X03次方移到右边变成2倍X03次方，负二倍的X0和右边负二倍的X0。好，它们之间就相互抵消了，那么左边还有一个-1-1移到右边变成什么？还是负一对不对？所以最后就是三两倍X03次方加上三倍X0平方再减一等于0就可以了。那么到这里之后，大家请看接下来我们只需要去什么求解这个方程，这不就可以了，对不对？那关键的问题又来了，这个方程怎么去进行求解，如果说大家要想去求解这个方程的话，我们需要对它干嘛进行因式分解。好，各位同学请看啊，我们对它去进行因式分解之后，我们可以把这里3倍X0的平方给它拆开，我们可以把它变成什么呢？二倍X03次方加上2倍X0的平方，然后再加上一个X0的平方，减去一个一等于0，前面我们可以提取一个二倍X0平方出来，剩下一个X0再加1。后边整理一下，就是X0加1再乘上X0减1等于0，这个没问题。好，那到这里之后我们再提取一个X0加1出来。那最后我们所剩下的就是2倍X0的平方，加上一个X0，再减去一个一好等于0，这个部分还可以去进行因式分解。大家请看，前面分成1乘2，后边分成一乘上负一，交叉相乘在一家正好是中间的什么正一。所以最后再进行因式分解，就变成X0加1乘以X0加1再乘上一个二倍X0再减一等于0。所以最后我们得出X0加1整体的平方，再乘以2倍X0减1等于0。那到这里之后，大家请看这个方程应该有两个根。但是要注意一个问题，这里的X0是一定不等于负一的，对不对？因为一旦等于负一的话，这边分母就为零，没有意义了，所以只能是2倍X0减1等于0。所以最后我们算出来X0等于2分之1。X0等于2分之1的话，那么Y零它就应该是8分之1，再减去一个一等于-8分之7。那也就是说对于A点的坐标来说，就是2分之1-8分之7。那么斜率是多少呢？斜率K就是3乘上X0平方，那就乘上一个4分之1，再减去一个24分之3，减去24分之8，那就是-4分之5。所以最后切线方程就是Y减去Y0，那就是Y加上8分之7等于-4分之5，再乘以X0减去2分之1就可以了。好，最后的过程交给大家自己去进行化简。这就是在某点和过某点之间的这样一个区别。所以在这里一定要注意，在某点说明这个点一定是缺点，过某点这个点可能是切点，也有可能不是切点。但是你如果说讨论它可能是切点的话，你一定要看这个点在不在曲线上。如果它都不在曲线上，那它一定不是切点，知道吧？好，这是我们的例3，我们再来看一下例四这个问题。好，这个题目难度有点大，大家一定要认真听了。设函数FX等于3分之1X3次方减去二分之AX平方加一若过点02可以做曲线Y等于FX3条不同的切线。那么实数A的取值范围是多少？首先我们先想一下，如果说过02这个点可以做三条不同的切线的话，我先甭管其他的。既然你是三条不同的切线，说明我过02做的这个切线，它所对应的斜率应该有三个，对不对？那现在我也不知道切点在哪里，我们首先假设切点为X0Y0，设切点为X0Y0，好，然后怎么办？然后我们就按照正常的思路去干嘛，去求这个切线方程，是不是？首先大家请看一个问题，首先斜率K它是不是可以使用定义的方式？K是不是应该等于Y0减2，底下再比上X0没问题。然后我们再用求导的方式，FX求完导之后，它就是X平方减去AX所以斜率K也等于X0的平方减去A倍的X0OK。然后大家再请看这里的Y0，它是不是等于三分之1X03次方减去二分之AX0的平方，再加上一个一对不对？首先大家请看，我们先把这两个式子给它去进行联立。我们是不是可以得到Y0减2比上这个X0，它应该等于这个X0的平方，再减去一个A倍的X0，对不对？然后我们再把这个Y零给它换掉，也就是三分之1X03次方减去二分之AX0的平方加一再减2，那就减一底下再除以这个X0，好，等于X0的平方减去A倍X0。好，现在我们把它整理一下，整理完之后三分之1X03次方减去二分之AX0的平方减一等于X0的3次方减去AX0的平方。首先这两个放在一起之后，剩下的就是三分之2X03次方。这两个放在一起，就是减去二分之AX0的平方，最后再把它移到右边去。好，那就是加上一个一等于0。现在我们两边同时乘上一个六，那就是4X0的3次方减去3AX0平方，再加上一个什么？六等于0。好，那得到这个东西有什么用呢？现在请听好我的转化。你有三条不同的切线，那是不是就说明有三个斜率，对不对？有三个斜率。那你既然有三个斜率的话，大家想想你三条切线是不同的那是不是说明切点也得有三个？那么切点也有三个的话，那就说明横坐标X零得有几个？三个，也就是说最终你得有3个X0。大家请看这样一个方程，这个方程是关于X0的方程。那也就是说这个方程它最终得有几个根，它是不是得有三个根才可以？既然对于四倍的X03次方减去3AX0平方加六等于零这个方程有三个根的话，那么现在我们只需要怎么办？我们只需要令左边这个为一个函数，这个函数在整个实数R上有000点不就可以了吗？所以我们现在可以构建一个函数，我们令HX等于4X3次方，减去3AX平方再加6。现在我们首先对它求导，F1撇X它就应该等于12X平方，再减去6AX直接令它等于0。那么在这里我们就可以得到这样一个东西，我们提取一个6X出来，提取一个6X出来之后，剩下一个2X再减去一个A等于0。所以我们可以得到X一等于0或者是X2等于二分之A好，那现在我们算出来这个导函数有2个0点之后，那它的单调性又该如何呢？其实我们得分类讨论的，为啥？因为你这里的2分之1可能等于0，可能大于0，也可能小于0。但是二分之A如果说等于零的话，肯定是不行的。来，我们一个一个讨论，若二分之A等于零时，那么此时我们可以得到A等于0。A等于零的话，大家请看HX是不是就变成了4X的3次方，再加上一个六，这是一个很单调的函数，它怎么可能会有000点？所以显然是不成立的。那么第二种情况我们来看一下，若二分之A大于零时，二分之A大于0的时候，此时对于导函数的图像来说就是这样一种情况。这边是零这边是二分之A这是正这是负，这是正。那也就是说负无穷到0，单增0到2分之A单减以及二分之A到正无穷单增，对不对？也就是说零这一处是极大值，二分之A这一处是几小时。所以在这里我们简单画一下草图，最终就是森减好增减再增，大概是这样一种情况。现在你为了要保证它有000点的话，是不是只需要极大值大于0，极小值小于零不就可以了吗？对不对？我们首先先算一下H0，H0就等于6，显然是大于零的那现在我们只要保证H二分之A怎么样？小于零就可以了。那H二分之A是多少呢？我们算一下H二分之A，它就是四再乘上八分之A的3次方，然后减去3A再乘上四分之A平方，再加上一个六，它只要小于零就可以了。好，这里我们消一下，这边是一个二，后边就是2分之1A3次方减去这个4分之3A3次方2分之1减4分之3，那就是-4分之1。所以最后我们得到4分之1A3次方大于6，所以就是A的3次方大于24，所以我们得出A的范围就是A大于三次，根号下24。好，因为在这里A又大于0，对不对？所以第一个范围我们就算出来了。那么最后一种情况，若二分之A小于零时，那对于这个导函数的图像来说，它就变成了这样一种情况。导函数的图像左边是二分之A右边是零正负正。所以对于单调性来说就是负无穷到二分之A单增。然后二分之A到0单且以及零到正无穷怎么样单增这种情况肯定是不可以的，为什么呢？因为我们会发现H0永远都是一个定值等于6。好，那我给大家画一下，最终这样一种情况就变成了这个样子就变成了这个样子。也就是说对于零这一处的函数值来说，它永远都是在什么？在这个X轴的上方的，也就是说最终它只可能有几个零点，只可能有一个零点，它不可能会有000点的。所以A小于零不用去看了，那最终的范围就是A大于三次根号24就可以了。好，这是我们所说的例4。也就是说对于这种切线条数的问题，其实最终我给大家说都可以转换成方程零点根的个数问题。不信的话我们再来看一个，这个题目难度就比上道题还要再难一点。他说若过点P-1M可以做三条直线，与曲线Y等于X乘上E的X次方相切，则M的取值范围是多少？好，我们一起来看一下，你既然可以做三条直线，那就说明有三个斜率，那就说明有三个切点，那就说明有3个X0，对不对？好，我们假设切点的坐标，设切点为X0Y0。首先第一个我们先用这个定义的方式先把斜率可以算出来。那么我们可以得到Y0减M比上X0减负一，那就是X0加1好，这是第一个。第二个我们可以通过导数的方式，Y一撇就等于E的X次方，再加上X乘上E的X次方。所以斜率K它就等于E的X0次方，再加上X0乘上E的X0次方。好，这是第二个。不要忘了这个切点一定在曲线上，也就是说Y0一定等于X0乘上E的X0次方。现在我们先将这两个式子去进行联立，那么联立之后我们可以得到。好，并且我们把这里的Y0直接换掉，换成X0乘上E的X0次方减去一个M底下除以X0加1，它就等于E的X0次方乘上一加上X0，对不对？那现在大家请看整理之后，就是X0乘上E的X0次方减去M等于1加X0的平方，再乘上E的X0次方。所以最后其实就是M等于X0乘上E的X0次方减去1加上X0的平方，再乘以E的X0次方，对不对？那现在对于这个方程来说，它得有几个根？它得有三个根。既然得有三个根的话，说明左边常数函数和右边这个函数图像得有三个交点。那现在我们把右边稍微给它化简一下，我们不妨提取出一个E的X0次方出来，前边剩下一个X0，后边是不是减去X0的平方，减去2倍X0再减去一个一对不对？也就是说现在我们可以构造这样一个函数，我们令HX等于E的X次方乘以负X平方减去X再减去一个一好，接下来我们研究这个函数的单调性，把它的图像给画出来。首先H一撇X前面求导E的X次方乘上后边。好，我们再加上后边的导数，-2X减1乘上E的X次方。现在导函数就是E的X次方乘以负X平方减去3X再减去一个二。那么对于后边来说，其实我们可以进行因式分解。H一撇X我们首先提一个负号，E的X次方后边是不是X平方加3X加2，那么它可以因式分解成X加一再乘上X加2。因为在这里E的X次方永远很正，最终的正负只与后边相关，而且一个零点是负一，一个零点是-2。所以我们可以把这个导函数图像画出来，一定要记得，它一定是开口向下的，因为前面还有一个什么符号。一个零点是负一，一个零点是-2，这边是-2，这边是负一，这是负这是正，这是负。所以负无穷到负二单调递减，-2到-1单调递增，负一到正无穷单调递减。所以最后这个HX的图像是可以画出来的。好，这是一段，对不对？那么我们是不是只需要把这个什么极小值和极大值给它算一下不就可以了，对不对？好，我们来算一下极小值和极大值。首先H负二它就等于E的负2次方。后边我们口算一下，这边就是-4加2，再减一-4加2是-2，-2减1-3，所以第一个值就是负的一平方分之三好，这是第一个。第二个我们再来看H负一好，首先前边是亿分之一，后边就是-1加1再减1，那就是负的1分之1，负的1分之1。所以最后我们会发现一个问题，底下是负的一平方分之3，上边是负的1分之1。所以你为了要使得这个M与这个函数图像有三个交点，那么是不是只需要我们的M在极大值和极小值之间不就可以吗？所以最终M的范围多少？M属于负的一平方分之3到负E分之一就可以了。所以这道题答案选择什么？D选项其实它是属于难题的，你像第四个题目和第五个题目都是难题，但是你根据我的方法？首先切点不知道，假设切点两种方式求斜率，最后切线条数的问题就转化成了什么这个方程它的根的个数问题了。好，那么本节课所有的内容到此就结束了。最后感谢各位同学的观看，我是高中数学汤圆老师，后续持续给大家带来精品好课。