期末复习：证明平行四边形、添加条件成为平行四边形专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定的两类核心问题，通过区域真题构建"证明-补全"双向训练体系，强化推理意识与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明平行四边形|3例+3变式|含中点、对角线、梯形背景的综合证明|从定义出发，通过全等转化边/角关系，构建"已知性质→判定条件"的推理链条| |添加条件成为平行四边形|3例+3变式|开放型条件补全，涉及边、角、对角线多维度判定|基于判定定理逆向设计，培养从图形结构中提取关键要素的空间观念|

期末复习：证明平行四边形、添加条件成为平行四边形专项训练 期末复习：证明平行四边形、添加条件成为平行四边形专项训练 考点目录 证明平行四边形 添加条件成为平行四边形 考点一 证明平行四边形 例1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，． 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)120 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，由垂线的性质得出，，由证明，得出，，即可得出四边形是平行四边形． （2）由勾股定理求出，得出，由勾股定理求出，得出，即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ． ， ． 例2．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在中，M，N是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连结，交于点． 是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）连结，交于点，由平行四边形性质可知，，因为，可得，即可证明题目； （2）因为，可求，又由已知可求，利用勾股定理求得长，则题目可解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 是中点， ， 在和中， ， 则， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由平行线的性质、中点定义得到角及边的相等关系，再由两个三角形全等的判定与性质证得，最后由平行四边形的判定定理求证即可； （2）先由三角形内角和定理求出，过点作，由含直角三角形性质及勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质求出相关线段长度即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， 则 变式1．（25-26八年级下·北京·期中） 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， ∵ 平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）连接平行四边形的对角线交于点，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，，再结合已知推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据得到是直角三角形，利用勾股定理结合和的长度求出的长度，再用的总长度减去的长度，即可求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∴的面积为． 变式3．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求直线，之间的距离； (3)求直线，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． （3）过点作于点，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． （3）解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 即，之间的距离为． 考点二 添加条件成为平行四边形 例1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 例2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 例3．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 变式1．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）略； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 变式3．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 证明∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． （1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可． （2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一） （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：证明平行四边形、添加条件成为平行四边形专项训练 期末复习：证明平行四边形、添加条件成为平行四边形专项训练 考点目录 证明平行四边形 添加条件成为平行四边形 考点一 证明平行四边形 例1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 例2．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在中，M，N是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 例3．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中） 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段的长． 变式2．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 变式3．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求直线，之间的距离； (3)求直线，之间的距离． 考点二 添加条件成为平行四边形 例1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 例2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 例3．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 变式1．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 变式2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 变式3．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $