2025-2026学年下学期高二数学期末模拟测试卷（人教A版选择性必修第三册）

**基本信息** 以电商仓库、奶茶店等现实情境为载体，融合排列组合、概率统计等核心知识，梯度设计考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|排列组合（5名学生选工厂）、二项式定理（展开式系数）、条件概率（骰子点数）|基础概念与数学思维结合| |多选|3/18|正态分布、超几何分布（社区抽样）|辨析能力与知识综合应用| |填空|3/15|二项式系数、方差计算（2x+3）、孟德尔豌豆实验概率|数学语言表达与迁移应用| |解答|5/77|电商仓库问题（全概率公式）、奶茶店方案（期望方差）、爱心义卖（超几何分布）|真实情境中数学建模与问题解决，契合高考命题趋势|

2025-2026学年下学期高二数学期末模拟测试卷 参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B B B C A C 9 10 11 ABD BC ABC 二、多项选择题 三、填空题 12. 80 13. 14. 四、解答题 15.解析： （1）分两种情况计算：选2名男生，3名女生：种；选3名男生，2名女生：种，故总选法有种。 甲乙两人已确定入选，只需从剩下的9人中再选3人，有种。 用排除法计算：从11人中任选5人的总选法是种，甲乙都不被选中的选法有种，故符合题意的选法有种. （4）用排除法计算：从11人中任选5人的总选法是种，全是男生的选法有种，全是女生的选法有1种，故符合条件的选法有种。 16.解析： 设事件:订单由甲分拣员处理，:订单由乙分拣员处理，:订单由丙分拣员处理，A:订单为“问题订单”。则有 ， ， （1） （2） 17. 解析： 设方案A利润为随机变量，方案B利润为随机变量。 方案A：利润固定元 期望元，方差（无波动） 方案B：晴天利润为元，雨天利润为元 期望 =2280元， 方差=777600. （3）方案B的期望利润高于方案A；但方案B的方差远大于方案A，说明收益波动大，风险高。如果奶茶店追求更高收益且能承受风险，可选择方案B;如果追求稳定收益，可选择方案A. 18.解析： （1）第1次传球:甲必须传给乙或丙，因此第1次传球后球一定不在甲手中，即P1=0。 第2次传球:持球者是乙或丙，两人传给甲的概率均为。 球在甲手中的概率 ，球不在甲手中的概率 X 0 1 P 故X的分布列如表所示： X的数学期望 n次传球后球在甲手中，等价于n-1次传球后球在乙或丙手中，再由乙/丙传给甲，因此:，初始条件：即第1次传球后不在甲手中。 对递推式变形： 可知是首项为，公比为的等比数列。 所以，整理得： 19. 解析： 本题为概率统计压轴解答题，第一问考查超几何分布，第二问考查二项分布，是高中概率两大核心离散型随机变量综合应用题贴合高考压轴命题风格。区分不放回抽样(超几何分布)与独立重复试验(二项分布)。根据实际销售情境建立利润函数，将不等关系转化为随机变量取值范围。 （1）由题意，X表示抽取3件中划痕钥匙扣数量， 不放回抽样，故X服从超几何分布。总体N=10，次品(划痕)M=3，抽取量n=3, X可取0,1,2,3. . x 0 1 2 3 p X的分布列如下表所示： 数学期望 （2）二项分布与利润模型 共有5位顾客，每人购买书签相互独立，故Y~B(5,p). 每件售出利润:5-2=3元;每件未售出亏损成本:2元。 总利润:Z=3Y-2(6-Y)=5Y-12 ①当p=0.6时，求Z≥6的概率。 Y为非负整数，故Y=4,5。 所以 ②由E(Z)=6.6求P 由期望性质 又，则，代入得p=0.744 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二数学期末模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 5名学生各自在甲、乙、丙三家工厂中选择一家工厂实习，不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 1.解析：答案D。该题考查的是分步乘法计数原理 每名学生都可以在甲、乙、丙三家工厂中任选一家，也就是每名学生都有3种选择。 5名学生的选择是相互独立的，所以总的选法种数为:3x3x3x3x3=35 2、 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. -34 B. 31 C. 34 D.-31 2.解析：答案A. ++=-34，故选A 3、 设二项式，下列叙述正确的是（ ） A. 所有项的系数之和等于二项式系数之和 B. 二项式系数最大项是第6项 C. 奇数项的项系数之和为 D. 偶数项二项式系数之和为 3解析：答案:B A:二项式系数和为;系数和令x=1得，本题数值凑巧相等，但概念规律不通用； B:n=10偶数，二项式系数中间项为第，最大，故B正确； C:是奇数项二项式系数和，不是项的系数和，故C错误； D:偶数项二项式系，故D错误。 4、 抛掷两枚质地均匀的骰子，已知第一枚骰子点数是奇数的前提下，第二枚骰子点数也是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 4.解析：答案B。设事件A为"第一枚骰子点数是奇数”，事件B为“第二枚骰子点数是奇数”，骰子点数为奇数的情况有1,3,5三种，所以，由于两枚骰子点数是相互独立的，所以，根据条件概率公式 。 5、 已知随机变量且，则的值是（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8 5.解析：B. 正态分布对称，本题中=2，所以正态曲线关于x=2对称。 因此， 又因为x=2是对称轴，所以0.3 6、 由成对样本数据得到的经验回归方程为，下列说法正确的是（ ） A.回归直线一定经过样本点中的至少一个点 B.若样本均值，则当x=3时，必有y=5 C.回归直线一定经过样本点的中心 D.若，则变量x与y的相关系数r>0.5 6.解析：:A错误，回归直线不一定经过任何样本点;B错误，样本均值只是回归直线经过的点，不代表个体数据必然满足;D错误，斜率为正仅说明正相关，相关系数不一定大于0.5。答案选C. 7、已知实数满足，随机变量X等可能地取，随机变量Y等可能地取记分别是X,Y的方差，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系与的取值有关 7.解析：选A. 记,则。方差，，因此只需要比较与即可。，= 。 所以= 而 因此==>0 （由于，故不能取等号）从而. 8、某精密零件加工车间对甲、乙两台机床加工的零件进行质量抽检。从甲机床生产的零件中随机抽取 n件，设其中的次品数为 X，已知 X∼B(n,0.1)，且 D(X)=0.09。现从乙机床生产的零件中随机抽取一件，设其次品率为 p。现将甲机床的 n件零件与乙机床的 1件零件混合，从中随机抽取 1件，记事件 A=“抽到次品”，事件 B=“抽到甲机床的零件”。 若 P(B∣A)= ，则 p=( ) A. 0.10 B. 0.15 C. 0.20 D. 0.25 8、解析：由 D(X)=np(1−p)=n×0.1×0.9=0.09，得 n=10。 由全概率公式，混合后的次品率：P(A)=×0.1+×p=。 由贝叶斯公式：P(B∣A)=​== =，解得 p=0.2，故选C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9、 已知随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X~N(2，4),Y~B(8，).则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 9.解析：答案ABD. A.正态分布X~N(,)的期望E(X)==2;二项分布的期望，所以A错误。 正态分布的方差二项分布的方差故B错误。 正态分布X~N(2.4)关于直线x=2对称，0和4关于x=2对称，所以，故C正确。 二项分布Y~B(8，)，，所以，D错误。 10、某社区有甲、乙、丙三个志愿小组，人数分别为16，24，16，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行服务满意度调查。已知抽出的10人中有6人对服务表示满意，4人表示不满意，现从这10人中随机抽取4人进行深度回访，用X表示抽取的4人中满意的人数，则下列说法正确的是( ) A.从甲、乙、丙三个小组抽取的人数分别为2人、4人、4人 B.随机变量X服从超几何分布，且 C.随机变量X的数学期望为 D.若事件A=“抽取的4人中至少有3人满14意”，则，且随机变量X服从二项分布B（4，） 10.解析：BC. 选项A:甲、乙、丙人数比为16:24:16=2:3:2，总份数为7，抽取10人时按比例分配，合理分配应为3人、4人、3人(和为10)，而非选项中的2、4、4，A错误. 选项B:X是从10人(6满意、4不满意)中不放回抽取4人，属于超几何分布，，B正确。 选项C:超几何分布期望公式为，代入，C正确。 选项D:事件A包含X=3和X=4两种情况。 ，所以 。但X是不放回抽样，不满足二项分布的独立性条件，不服从B(4.3)，D错误 11、已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 解析:答案ABC 选项A：令x=2，则等式右边为，左边为，A正确。 选项B：对等式两边关于x求导:=，另x=1,则右边为 左边为，B正确。 选项C：另x=1，则等式右边为，左边为，因此=-1，C正确。 选项D：另t=x-1,则x=t+1，代入原式得：,求的系数， .=+=-203,故D错误。 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.的展开式中的系数是 12.解析：+2y=80 13. 抛掷一枚骰子，设随机变量x是向上的点数，则D(2x+3）= 13.解析：，，=， 14. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD、Dd、dd，比例为1:2:1。若在子二代中先随机选取1株豌豆，再从剩下的豌豆中随机选取第2株进行随机交配，则子三代中基因型为dd的概率是 14.解析：这是不放回抽样的随机交配问题，需要先算出所有可能的亲本组合概率，再分别计算每种组合产生dd的概率，最后求和。 亲本组合 组合概率 产生dd的概率 亲本组合 组合概率 产生dd的概率 DDDD 0 DDDd 0 DDdd 0 DdDD 0 DdDd Dddd ddDD 0 ddDd dddd 1 故子三代中基因型为dd的概率 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.从6名男生和5名女生中选出5人参加社区志愿者活动，按下列要求分别求有多少种不同的选法： （1）选出的5人中男生、女生分别为2人和3人（不分顺序）； （2）男生中的甲同学和女生中的乙同学必须同时被选中； （3）男生中的甲同学和女生中的乙同学至少有1人被选中； （4）选出的5人中必须既有男生又有女生。 15.解析： （1）分两种情况计算：选2名男生，3名女生：种；选3名男生，2名女生：种，故总选法有种。 （2） 甲乙两人已确定入选，只需从剩下的9人中再选3人，有种。 （3） 用排除法计算：从11人中任选5人的总选法是种，甲乙都不被选中的选法有种，故符合题意的选法有种. （4）用排除法计算：从11人中任选5人的总选法是种，全是男生的选法有种，全是女生的选法有1种，故符合条件的选法有种。 16. 某电商仓库有3名分拣员负责订单发货，他们的订单处理量占比分别为：甲分拣员占40%，乙分拣员占35%，丙分拣员占25%。 已知甲分拣员的错发率为2%（把A商品错发成B商品）、漏发率为1%（少发商品）； 乙分拣员的错发率为1.5%、漏发率为2%；丙分拣员的错发率为3%、漏发率为2.5%。 仓库规定，只要订单出现错发或漏发，就判定为“问题订单”。 （1）求该仓库任意一笔订单被判定为“问题订单”的概率； （2）若某笔订单被判定为“问题订单”，求该问题订单是由甲分拣员造成的概率。 16.解析：设事件:订单由甲分拣员处理，:订单由乙分拣员处理，:订单由丙分拣员处理，A:订单为“问题订单”。则有 ，， ， （1） （2） 17. 某奶茶店计划在周末推出限定饮品，有两种售卖方案: 方案A(店内售卖):每杯利润固定为5元，预计可售出400杯，利润无波动。 方案B(市集售卖):受天气影响较大 晴天(概率60%):每杯利润6元，可售出500杯; 雨天(概率40%):每杯利润4元，仅能售出300杯。 (1)分别计算两种方案的利润期望; (2)分别计算两种方案的利润方差; (3)从收益与风险的角度分析，该奶茶店应选择哪种方案? 17. 解析：设方案A利润为随机变量，方案B利润为随机变量。 方案A：利润固定元 期望元，方差（无波动） 方案B：晴天利润为元，雨天利润为元 期望 =2280元， 方差=777600. （3）方案B的期望利润高于方案A；但方案B的方差远大于方案A，说明收益波动大，风险高。如果奶茶店追求更高收益且能承受风险，可选择方案B;如果追求稳定收益，可选择方案A. 18. 某班级趣味运动会上，甲、乙、丙三人进行接力传球游戏。规则如下: 第1次由甲发球，每次传球时，持球者等可能地将球传给另外两人中的任意一人; 球在谁手中，谁就获得1分，游戏进行n次传球后结束。 (1)设X为2次传球后球在甲手中的次数(仅统计第2次传球结束时的结果)，求随机变量X的分布列与数学期望; (2)设Pn为n次传球后球在甲手中的概率，求Pn的通项公式。 18.解析：（1）第1次传球:甲必须传给乙或丙，因此第1次传球后球一定不在甲手中，即P1=0。 第2次传球:持球者是乙或丙，两人传给甲的概率均为。 球在甲手中的概率 ，球不在甲手中的概率 X 0 1 P 故X的分布列如表所示： X的数学期望 （2） n次传球后球在甲手中，等价于n-1次传球后球在乙或丙手中，再由乙/丙传给甲，因此:，初始条件：即第1次传球后不在甲手中。 对递推式变形： 可知是首项为，公比为的等比数列。 所以，整理得： 19.某中学开展“爱心义卖”活动，班级售卖两款手工文创产品:A款钥匙扣、B款书签。已知:库存共有10件A款钥匙扣，其中3件有轻微划痕，7件完好;每位顾客购买B款书签的概率为p(0<p<1)，各人购买行为相互独立，活动期间预计有5位顾客到店 (1)顾客从10件A款钥匙扣中随机抽取3件，设抽取到有划痕钥匙扣的数量为X，求X的分布列与数学期望; (2)B款书签每件成本2元，售价5元，未售出书签直接报废。班级准备了6件B款书签，设售出数量为Y，利润为Z元。 1若p=0.6，求利润Z不低于6元的概率; 2若E(Z)=6.6，求P的值。 19. 解析：本题为概率统计压轴解答题，第一问考查超几何分布，第二问考查二项分布，是高中概率两大核心离散型随机变量综合应用题贴合高考压轴命题风格。区分不放回抽样(超几何分布)与独立重复试验(二项分布)。根据实际销售情境建立利润函数，将不等关系转化为随机变量取值范围。 （1）由题意，X表示抽取3件中划痕钥匙扣数量， 不放回抽样，故X服从超几何分布。总体N=10，次品(划痕)M=3，抽取量n=3, X可取0,1,2,3. . x 0 1 2 3 p X的分布列如下表所示： 数学期望 （2）二项分布与利润模型 共有5位顾客，每人购买书签相互独立，故Y~B(5,p). 每件售出利润:5-2=3元;每件未售出亏损成本:2元。 总利润:Z=3Y-2(6-Y)=5Y-12 ①当p=0.6时，求Z≥6的概率。 Y为非负整数，故Y=4,5。 所以 ②由E(Z)=6.6求P 由期望性质 又，则，代入得p=0.744 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二数学期末模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 5名学生各自在甲、乙、丙三家工厂中选择一家工厂实习，不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 2、 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. -34 B. 31 C. 34 D.-31 3、 设二项式，下列叙述正确的是（ ） A. 所有项的系数之和等于二项式系数之和 B. 二项式系数最大项是第6项 C. 奇数项的项系数之和为 D. 偶数项二项式系数之和为 4、 抛掷两枚质地均匀的骰子，已知第一枚骰子点数是奇数的前提下，第二枚骰子点数也是奇数的概率是（ ） A B. C. D. 5、 已知随机变量且，则的值是（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8 6、 由成对样本数据得到的经验回归方程为，下列说法正确的是（ ） A.回归直线一定经过样本点中的至少一个点 B.若样本均值，则当x=3时，必有y=5 C.回归直线一定经过样本点的中心 D.若，则变量x与y的相关系数r>0.5 7、已知实数满足，随机变量X等可能地取，随机变量Y等可能地取记分别是X,Y的方差，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系与的取值有关 8、某精密零件加工车间对甲、乙两台机床加工的零件进行质量抽检。从甲机床生产的零件中随机抽取 n件，设其中的次品数为 X，已知 X∼B(n,0.1)，且 D(X)=0.09。现从乙机床生产的零件中随机抽取一件，设其次品率为 p。现将甲机床的 n件零件与乙机床的 1件零件混合，从中随机抽取 1件，记事件 A=“抽到次品”，事件 B=“抽到甲机床的零件”。 若 P(B∣A)= ，则 p=( ) A. 0.10 B. 0.15 C. 0.20 D. 0.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9、 已知随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，且X~N(2，4),Y~B(8，).则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 10、某社区有甲、乙、丙三个志愿小组，人数分别为16，24，16，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行服务满意度调查。已知抽出的10人中有6人对服务表示满意，4人表示不满意，现从这10人中随机抽取4人进行深度回访，用X表示抽取的4人中满意的人数，则下列说法正确的是( ) A.从甲、乙、丙三个小组抽取的人数分别为2人、4人、4人 B.随机变量X服从超几何分布，且 C.随机变量X的数学期望为 D.若事件A=“抽取的4人中至少有3人满14意”，则，且随机变量X服从二项分布B（4，） 11、已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.的展开式中的系数是 13. 抛掷一枚骰子，设随机变量x是向上的点数，则D(2x+3）= 14. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD、Dd、dd，比例为1:2:1。若在子二代中先随机选取1株豌豆，再从剩下的豌豆中随机选取第2株进行随机交配，则子三代中基因型为dd的概率是 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.从6名男生和5名女生中选出5人参加社区志愿者活动，按下列要求分别求有多少种不同的选法： （1）选出的5人中男生、女生分别为2人和3人（不分顺序）； （2）男生中的甲同学和女生中的乙同学必须同时被选中； （3）男生中的甲同学和女生中的乙同学至少有1人被选中； （4）选出的5人中必须既有男生又有女生。 16. 某电商仓库有3名分拣员负责订单发货，他们的订单处理量占比分别为：甲分拣员占40%，乙分拣员占35%，丙分拣员占25%。 已知甲分拣员的错发率为2%（把A商品错发成B商品）、漏发率为1%（少发商品）； 乙分拣员的错发率为1.5%、漏发率为2%；丙分拣员的错发率为3%、漏发率为2.5%。 仓库规定，只要订单出现错发或漏发，就判定为“问题订单”。 （1）求该仓库任意一笔订单被判定为“问题订单”的概率； （2）若某笔订单被判定为“问题订单”，求该问题订单是由甲分拣员造成的概率。 17. 某奶茶店计划在周末推出限定饮品，有两种售卖方案: 方案A(店内售卖):每杯利润固定为5元，预计可售出400杯，利润无波动。 方案B(市集售卖):受天气影响较大 晴天(概率60%):每杯利润6元，可售出500杯; 雨天(概率40%):每杯利润4元，仅能售出300杯。 (1)分别计算两种方案的利润期望; (2)分别计算两种方案的利润方差; (3)从收益与风险的角度分析，该奶茶店应选择哪种方案? 18. 某班级趣味运动会上，甲、乙、丙三人进行接力传球游戏。规则如下: 第1次由甲发球，每次传球时，持球者等可能地将球传给另外两人中的任意一人; 球在谁手中，谁就获得1分，游戏进行n次传球后结束。 (1)设X为2次传球后球在甲手中的次数(仅统计第2次传球结束时的结果)，求随机变量X的分布列与数学期望; (2)设Pn为n次传球后球在甲手中的概率，求Pn的通项公式。 19.某中学开展“爱心义卖”活动，班级售卖两款手工文创产品:A款钥匙扣、B款书签。已知:库存共有10件A款钥匙扣，其中3件有轻微划痕，7件完好;每位顾客购买B款书签的概率为p(0<p<1)，各人购买行为相互独立，活动期间预计有5位顾客到店 (1)顾客从10件A款钥匙扣中随机抽取3件，设抽取到有划痕钥匙扣的数量为X，求X的分布列与数学期望; (2)B款书签每件成本2元，售价5元，未售出书签直接报废。班级准备了6件B款书签，设售出数量为Y，利润为Z元。 1若p=0.6，求利润Z不低于6元的概率; 2若E(Z)=6.6，求P的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $