2026年河南省平顶山市鲁山县第八教研区中考考前调研数学试题

**基本信息** 2026年中考数学三模卷以《九章算术》、冷冻显微术、杠杆平衡等为情境，覆盖实数、几何、函数等核心知识，通过动态几何（如矩形动点AQ最值）和跨学科应用（光的折射角度计算）考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、正方体展开图、概率|以青铜器卡片考放回抽样概率，正六边形中证AG=BH体现推理能力| |填空题|5/15|统计众数、几何面积、动态最值|4×4网格结合圆弧求阴影面积，《九章算术》邑方问题考相似应用| |解答题|8/75|二次函数综合、几何探究、函数建模|杠杆平衡实验建立反比例函数模型，风车旋转问题融合解直角三角形与圆|

2026年中考学科第三次调研考试 数 学 注意事项: 1.本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求,直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 一、选择题(每小题3 分,共30 分.下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之.”意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若收入120元记作+120,则-70表示( ) A.收入70元 B.收入50元 C.支出70元 D.支出50元 2.科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构,使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.32 nm,即0.000 000 000 32 m.将0.000 000 000 32用科学记数法表示为 ( ) A. B. C. D. 3.“满招损,谦受益”最早出自于先秦《尚书 大禹谟》.某数学小组将“满招损,谦受益”六个字写在一个正方体的六个面上,如图为该正方体的一种表面展开图,则“谦”字一面相对面上的汉字是 ( ) A.满 B.招 C.受 D.益 4.光从一种介质(如空气)斜射入另一种介质(如水)时,传播方向发生改变,从而使光线在不同介质的交界处发生偏折,这种现象叫做光的折射.如图,将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处,入射光线与水槽内壁AC的夹角∠A=45 ,向水槽内注水,水面上升到 EF 处时,折射光线OD 与法线NN'的夹角∠DON=32 ,则光的传播方向改变的角度(∠BOD 的大小)为 ( ) A.13 B.23 C.45 D.32 5.化简 的结果是 ( ) A. B.6 C.5y D. x+y 6.如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF 的边BC,CD上的点,且BG=CH,连接AG,BH相交于点 P.若 AG=6,则 BH 的长为 ( ) A.2 B.3 C.6 D.7 7.已知关于x的方程 (a,b,c为常数).若a+c>0且c<0,则关于该方程的根的情况,下列说法正确的是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.不确定 D.没有实数根 8.青铜器是中国古代的一种重要器物,其是红铜与其他化学元素锡、铅等的合金,新铸造完成的青铜器呈金色,后因锈蚀变为青绿色,被称为青铜.现有三张卡片的正面印有青铜器图案如图所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面相同的概率为( ) A. B. C. D. 9.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A 与原点O 重合,AB 位于x轴正半轴上,∠C=90 ,点 B 的坐标为(4,0),点 D 为AB 的中点,进行以下操作:①将 ABC沿x轴正方向平移,当点A 与点D 重合时,得到 DPQ,点B,C 的对应点分别为P,Q;②将 DPQ 绕点 D 在平面内旋转.当点 Q落在射线AC上时,点Q 的坐标为 ( ) A. B. C. D. 10.如图1,在等边三角形ABC中,D 是边 BC 的中点,动点 M 从点 B 出发沿边 BA 匀速运动到点A.同时动点 N从点 A 出发,以相同的速度先沿边AC 运动到某一点,再从该点沿直线运动到终点 D.设点 M 运动的路程为x cm, AMN 的面积为ycm ,y 与x 的函数图象如图2 所示.当x=3时, AMN的面积为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分,共15分) 11.写出一个解集是-2<x≤1 的一元一次不等式组: 12.为引导学生注重日常锻炼,提升体质健康水平,促进全面发展,学校会定期对学生的体育项目进行测试,为过程性评价提供依据.某校根据某次七年级男生引体向上的测试成绩绘制了如图所示的折线统计图,则测试成绩的众数为 个. 13.《九章算术》中记载:“今有邑方不知大小,各中开门,出北门三十步有木,出西门七百五十步见木,问邑方几何?”意思是:在一座正方形城池的北边、西边正中间A,C处各开一道门,从点 A 往正北方向走30步刚好有一棵树B,从点 C 往正西方向走750 步到达点 D 处时,正好看到这棵树(如图所示),则正方形城池的边长为 步. 14.在如图所示的4 4 网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D均在小正方形的顶点上,连接AC 和 BD 交于点 E,分别过点 A,E,B 和点B,E,C作弧如图所示,则图中阴影部分的面积为 . 15.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=3,P为直线AB 上的一个动点,作射线 DP,过点 C 作 CQ⊥DP,垂足为Q,连接AQ,则AQ 的最小值为 ,最大值为 . 三、解答题(本大题共8个小题,共75分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简: 17.(9分)为了提高学生的森林防火意识,某校组织了一场森林防火知识竞赛.现从本校的九年级和八年级中各随机抽取m名学生进行测试,将其测试成绩x(满分100分,不低于90分的为优秀)进行整理,分为五个等级,其中 A.50≤x<60;B.60≤x<70;C.70≤x<80;D.80≤x<90;E.90≤x≤100.现对九年级和八年级抽取的学生的测试成绩进行统计. a.九年级抽取学生的测试成绩条形统计图: b.八年级抽取学生的测试成绩扇形统计图: c.八年级抽取学生的测试成绩在等级 D 的数据分别为:81,81,83,85,85,85,87,88; d.八、九年级抽取学生的测试成绩的统计量如下: 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 85 14.5 八年级 85 P 16.7 根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:m= ,n= ,p= . (2)在本次测试中,小明说自己的成绩在本年级可以排在前40%,小亮看到小明的成绩后说:很遗憾,你的成绩在我们年级进不了前50%,由此判断小明是 (填“八”或“九”)年级的学生. (3)结合上表中的统计量,对两个年级的测试成绩进行评价.(写出一条理由即可) 18.(9分)如图,在 ABC中,AD平分∠BAC. (1)尺规作图:作线段AD的垂直平分线 MN.(保留作图痕迹,不写作法) (2)设直线 MN 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接DE,DF,求证:四边形AEDF 为菱形. 19.(9分)风车,是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械.古代的风车是从船帆发展起来的,它具有6—8副像帆船那样的篷,分布在一根垂直轴的四周,风吹时像走马灯似的绕轴转动,叫走马灯式的风车.如图1为一大风车(运转后最外端的轨迹为圆),其直径为6m ,该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶,其示意图如图2,立杆 OC 垂直于地面AB,且圆周最低点 D 距离地面AB 3 m. (1)若扇叶 OE 与立杆夹角∠COE =15 ,求扇叶OP 最外端 P 与地面AB 的距离. (2)在风车逆时针旋转的过程中,过点 P 作线段OP 的垂线,当点 P 运行到 OC 的左侧且该垂线经过点 C时,求PD的长度. 20.(9分)如图1,小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:取一根匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O处,并将其吊起.在中点O 左侧固定位置B处悬挂重物A,在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉,直至木杆平衡,改变弹簧秤与点 O 的距离x(cm),重复上述步骤,观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下: x 4 6 8 10 12 … y … 9 6 4.5 3.6 3 … (1)把表中x,y的各组对应值作为点的坐标,在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点,用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象,求出y(N)与x(cm)之间的函数关系式. (2)当弹簧秤的示数为5 N时,弹簧秤与 O 点的距离是多少?在弹簧的弹性限度内,随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小,弹簧秤的示数将发生怎样的变化? 21.(9分)全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平.某校为响应全民健身,增强学生体质,计划购进一批篮球.经过调研,有A,B两个体育用品商店的篮球标价相同,且这两个商店分别推出了自己的优惠方案: A 商店:若购买超过40 个,则超过部分按每个篮球标价的八折出售; B商店:若购买超过30 个,则超过部分按每个篮球标价的八五折出售. 用x(个)表示购买篮球的数量,y(元)表示购买篮球实付的费用,y关于x的函数图象如图所示. (1)求每个篮球的标价. (2)当x>40时,去 A 商店购买实付总价yA 与购买数量x之间的函数关系式为 当X>30时,B商店购买实付费用yB 与购买数量x之间的函数关系式为 . (3)请求出图中点 M的坐标,并简要说明点 M 表示的实际意义. (4)请根据图象直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠. 22.(10分)已知二次函数 的图象经过A(3t-1,y₁),B(2t+1,y₂) 两点. (1)求该二次函数图象的顶点坐标(用含 a 的代数式表示). (2)若点 A 在该二次函数图象的对称轴上,且y₂ - 求a的值. (3)若点 A,B分别位于该二次函数图象对称轴的左、右两侧,且y₁<y₂,求t的取值范围. 23.(10分)综合与探究 【教材再现】 (1)求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.小辉同学根据题意画出图形,并写出已知及求证.已知:如图 1,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,CD 为Rt ABC的斜边 AB上的中线,求证: 他证明的思路是:延长CD 至点 E,使得DE=CD,连接BE.先证明 ACD≌ BED,再证明 ABC≌ ECB,∴AB=CE. 小源同学的证明思路是:在小辉同学画辅助线的基础上,再连接AE,通过证明四边形ACBE 是矩形,根据矩形的性质证得结论.请你根据小源同学的思路,完成证明过程. 【迁移探究】 (2)如图2,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90 ,AB=BC=6,∠CAD=30 ,BE⊥AC 于点E,连接DE,BD,求BD的长. 【拓展应用】 (3)如图3,在 ABCD 中,M 是 BC 边上一点,∠ABC=60 ,BC=12,BM =4,BE 平分∠ABC交AD于点 E,过点 M 作MP∥AB 交 BE 于点 P,过点 P 作PN⊥AB 于点 N,Q 为射线 BE 上一动点,连接 NQ,CQ. 若 请直接写出 的值. 学科网(北京)股份有限公司 $