北京市第八十中学2025-2026学年第二学期考前热身高三数学试卷

**基本信息** 北京市第八十中学2026届高三数学考前热身卷，以文化传承（如“环权”数列）、科技热点（AI用户调查）为情境，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、向量、复数、抛物线、函数性质|第7题结合战国“环权”文化考查等差等比数列综合| |填空题|5/25|二项式定理、双曲线、圆方程、函数零点|第12题双空设计考查双曲线离心率与参数关系| |解答题|6/85|三角函数、立体几何、概率统计、椭圆、导数、新定义数列|第18题以AI用户调查为背景考查概率计算，第21题新定义数列问题培养创新思维|

20252026学年第二学期高三年级考前热身 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 【数学】试卷答题卡 2026.5 16. 姓名 班级 注意事项： 1. 选择题作答必须用2B铂笔，修放时用塑料橡皮擦干净， 第答题作答必须用黑色签字笔填写，答不得超出答题 2 保持卡面清洁，不要折叠，不要弃磁。 2 注：请考生 3 在每页考生信息相中填写姓名及准考证号。 将条形码 4.采用网上阅卷务必要在右侧填涂准考证号 条形码粘贴区域 粘贴在左 选提题填涂说明： 侧方框内 正确填涂：■错误填涂：州财灯 缺考标记：□ 监考老师代涂缺考标记 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 CAJ CB3 CCJ CDJ 5 CAJ CB]CCJ C0] 9 CAJ EBJ C03603 2 CAJ CBJ C03 CD3 6 CAJCB]E03 00O 10CA3 EB3 CC3 C03 3 CA3 CB3 CC3 ED3 7 CAJC83 C0J E03 4 CAJ CB]C03 CD3 8 CA]E8]C03C03 二、填空题（每小题5分，共25分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高三数学答题卡第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17 18. 0 高三数学答题卡第2页（共4页） 速：请考生 条形码粘贴区域 将条形码 姓名： 班级： 桔贴在左 侧方内。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 20. 高三数学答题卡第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. 草稿纸 高三数学答题卡第4页（共4页） 2026届高三热身练习评分标准2026.5 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分． 1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．D 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11．24 12．， 13． 14．（满足即可） 15．①③ 三、解答题，共6道题，共85分． 16．（本题13分） 【解】（1）因为 1分 ， 4分 当时，，所以． 5分 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． 7分 （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得（或者）． 9分 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 11分 又，所以． 12分 所以的最小正周期为． 13分 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 11分 又，所以． 12分 所以的最小正周期为． 13分 17．（本题14分） 【解】（1）连接，交于点，连接． 显然，点是中点，又因为点是棱中点， 所以． 2分 又因为平面，平面， 4分 所以平面． 5分 （2）因为侧面底面，， 又平面底面， 所以平面．所以． 6分 又因为，，所以． 如图，建立空间直角坐标系． 7分 所以，，，，． 设，则．设平面的法向量为． 由得所以 令，则． 所以平面的法向量． 9分 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 12分 整理得，解得或． 故线段的长为或． 13分 18．（本题13分） 【解】（1）由题意可知，样本中青年用户的频率为． 2分 设事件：从该地区AI工具用户中随机抽取1名用户，该用户是青年用户，则可估计为． 3分 （2）设事件：从该地区AI工具用户中随机抽取3名用户，用户中既有青年又有中年，则可估计为 8分 ． 10分 （3），6，7（写出其中的一个即可）． 13分 19．（本题15分） 【解】（1）由已知得解得 所以椭圆的方程为． 5分 （2）设点，则． 依题意可知直线的斜率存在，设的方程为，则． 由，得． 因为直线直线与椭圆有唯一的公共点， 所以．整理得． 由得． 解得，． 由，得． 又直线：，直线：． 由，得． 所以 ． 所以．所以轴． 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的大小为，为定值． 15分 20．（本题15分） 【解】（1）因为，则， 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． 即． 5分 （2）要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以． 10分 （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数． 因为，， 若对恒成立，则． 设，． ①时，显然，所以在单调递增． 所以，即，所以符合题意． ②当时，显然，． - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以．即的取值范围为． 15分 21．（本题15分） 【解】（1）由①，得． 1分 由②，当，，时，，，12中至少有一个是数列1，2，，6中的项，但，，故，解得． 3分 经检验，当时，符合题意． 4分 （2）假设2，3，5是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且． 由①得． 考虑数，，，由②可知． 考虑数，，，由②可知． 所以，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列中的项． 9分 （3）的最大值为9．理由如下： 假设中至少有四项，其绝对值大于1．不妨设，，，是中绝对值大于1的最大四项，其中． 则对，，有，，故，均不是数列中的项． 所以是数列中的项． 同理，也是数列中的项．但，，所以． 所以，这与①矛盾．所以数列中至多有三项绝对值大于1的项． 假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1．不妨设，，，是中绝对值大于0且小于1的最小四项，其中． 则对，，有，，故，均不是数列中的项． 所以是数列中的项． 同理，也是数列中的项．但，．所以． 所以，这与①矛盾．所以数列中至多有三项绝对值大于0且小于1的项． 显然，数列中至多有两项绝对值等于1，至多有一项等于0．故数列至多有9项． 数列：，，，，，0，，1，2符合题意，故的最大值为9． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025——2026学年第二学期考前热身 高 三 数 学 2026年5月 班级_____________姓名_____________考号_____________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知全集，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，都是单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线：的焦点，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 5．函数和的定义域均为，则“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（ ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 7．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（ ） A．284 B．381 C．384 D．484 8．已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 9．如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 10．对于函数，，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值． 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 12．已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 13．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，，则圆的标准方程为_____． 14．已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 15．已知曲线：．给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③当时，满足； ④曲线上任意两点、，当时，． 其中所有正确结论的序号为_____． 三、解答题（共6小题，共85分） 16．已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． （1）当点是棱中点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的400名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 20 130 120 80 40 10 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． （1）从该地区AI工具用户中随机抽取1名用户，估计该用户是青年用户的概率； （2）从该地区AI工具用户中随机抽取3名用户，估计抽取的3名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； （3）已知该AI工具对某10个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这10个问题中随机抽取5个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 19．已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线与的夹角为定值． 20．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设，若对恒成立，求的取值范围． 21．有限数列：，，…，．同时满足下列两个条件： ①对于任意的，，； ②对于任意的，，，，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求的值； （2）证明：2，3，5不可能是数列中的项； （3）求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $