精品解析：2026年浙江省金衢十二校6月份联考九年级数学试题

2026年九年级十二校联谊数学卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 我国古代数学家刘徽在如图所示的立体图形中构造了牟合方盖，探索了球体体积的计算公式．该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”的方法．为说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，所列举反例正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图．“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定．才能稳固不动．其中的数学原理是 （ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间．线段最短 C. 经过一点有无数条直线 D. 垂线段最短 6. 如图，是的外接圆，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下列四张卡片，分别呈现了化学元素周期表中的四种元素，若一次性从中随机选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10. 如图1，点是以为直径的半圆上的一个动点，过点作于点，是的中点，连结，．设，的面积为，的面积为．函数，关于的图象如图2所示，其中点为两个图象的交点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点一定落在函数图像上 C. 点的坐标是 D. 当时， 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果分式有意义，那么实数的取值范围是____． 12. 0.00056用科学记数法表示为_________． 13. 定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 14. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 15. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 16. 如图，的边，，，是边上的一点，将沿着翻折得到，连接，． （1）若，且点落在边上时，则的面积为________； （2）当面积最小时，则的长为_________．（用含的式子表示） 三、解答题（本题有8小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 （1）填空：_______，_______，_______； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 20. 【阅读理解】 利用平方差公式：近似求算术平方根． 例：求的近似值（结果保留2位小数）的过程如右图： 解：因为，所以 根据平方差公式 可设，其中，所以 代入得： 因为接近4，所以，得 故 【尝试探究】 （1）在整数________和________之间； （2）求的近似值（结果保留2位小数）． 21. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6） 图③是某小组的设计示意图，其中，，米． 【问题解决】 （1）请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． （2）在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？ 22. 我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 23. 已知二次函数． （1）若，求证：二次函数的图象与轴有两个不同的交点； （2）若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，求的取值范围． 24. 在菱形中，点在上，且，如图1，过点的直线，交对角线于点，与关于直线对称，点的对应点在的延长线上，分别交对角线、边于点、． （1）当时，求的度数． （2）如图2，当点与对应点重合时，求与菱形的面积之比． （3）已知，与的长度随的变化而变化，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级十二校联谊数学卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接推导即可得到结果． 【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2. 我国古代数学家刘徽在如图所示的立体图形中构造了牟合方盖，探索了球体体积的计算公式．该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看到的主视图即可求解． 【详解】解：由几何体可得，从正面看到的主视图为： 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、不能合并，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 4. 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”的方法．为说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，所列举反例正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， 当时，，当时，， ∴该命题的反例为负数， 四个选项中只有是负数，代入验证得，符合反例要求． 5. 如图．“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定．才能稳固不动．其中的数学原理是 （ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间．线段最短 C. 经过一点有无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两点确定一条直线，理解题意即可得出结果，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：由题意，蕴含的数学道理是两点确定一条直线， 故选A． 6. 如图，是的外接圆，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接求出的度数，根据圆周角定理求解即可； 【详解】连接， ， ， ， ， ． 7. 下列四张卡片，分别呈现了化学元素周期表中的四种元素，若一次性从中随机选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 氢 碳 钾 铁 氢 氢，碳 氢，钾 氢，铁 碳 碳，氢 碳，钾 碳，铁 钾 钾，氢 钾，碳 钾，铁 铁 铁，氢 铁，碳 铁，钾 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有种， 故这两种元素恰好都是金属元素的概率为． 8. 利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图作一个角等于已知角；尺规作图作角的平分线；尺规作图垂直平分线，利用作一个角等于已知角判断A，利用等腰三角形与角平分线角度转换判断B，利用菱形的性质判断C，利用垂直平分线的性质检验D． 【详解】解：A．根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，不符合题意； B．此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，不符合题意； C．如图所示， 由题意可得， ∴四边形是菱形 ∴，不符合题意； D．作出线段的垂直平分线，无法证明平行，符合题意． 故选：D． 9. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，对于①根据两段话分别表示出物价，进而可得方程；对于②根据两段对话分别表示出人数，进而可得方程；对于③根据两段话分别建立物价与人数之间的二元一次方程，进而建立方程组即可． 【详解】解：设合伙人有x人，根据每人出8钱，则会多出3钱可知物价为钱，根据每人出7钱，则还少4钱可知物价为钱， ∴，故①正确； 设物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可知有人，根据每人出7钱，则还少4钱可知有人 ∴，故②正确； 设合伙人x有人，物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可得方程，根据每人出7钱，则还少4钱可得方程， ∴，故③正确； 故选：D． 10. 如图1，点是以为直径的半圆上的一个动点，过点作于点，是的中点，连结，．设，的面积为，的面积为．函数，关于的图象如图2所示，其中点为两个图象的交点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点一定落在函数图像上 C. 点的坐标是 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，此时点D在圆心位置，利用面积确定，即可判断A；得出圆的半径为2，直径为4，然后当时，结合图形求出相应面积即可判断选项B；根据题意得出，利用面积相等得出，然后再求面积即可判断C选项；利用相似三角形的性质即可判断D选项． 【详解】解：根据题意得：当时，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴此时点D在圆心位置， ∴， ∴， 解得（负值舍去），故A正确，不符合题意； ∴圆的半径为2，直径为4， 当时，即， 设圆心为O，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴点一定落在函数图像上，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵点为两个图象的交点， ∴此时，即， 整理得， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∴点的坐标是，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴， ∴， 解得：，故选项D正确，不符合题意． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果分式有意义，那么实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得： 12. 0.00056用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 14. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 15. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 16. 如图，的边，，，是边上的一点，将沿着翻折得到，连接，． （1）若，且点落在边上时，则的面积为________； （2）当面积最小时，则的长为_________．（用含的式子表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）当点落在边上时，根据折叠的性质可知，，根据等腰直角三角形的性质可知，根据可以求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积； （2）根据折叠的性质可知，点在以点为圆心为半径的圆上，当点到的距离最小时，的面积最小，根据垂线段最短，过点作于点，交于点，根据平行四边形的性质可知，根据折叠的性质可知是的垂直平分线，再由条件证得三点共线，从而得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出． 【详解】（1）解：当点落在边上时，如下图所示， ， ，， 中， ，，， 由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：如下图所示， 由折叠可知点在以点为圆心为半径的圆上， 的长度一定， 当点到的距离最小时，的面积最小， 过点作于点，交于点， ， ，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， 四边形是平行四边形， ，， ， 由折叠可知平分， ， 由折叠可知， 又， ， 又， 三点共线，即在边上， ∴是等腰直角三角形， ． 三、解答题（本题有8小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算零次幂、算术平方根、负整数指数幂、特殊角三角函数，最后算加减即可. 【详解】解：原式， . 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【详解】． 解：原式 ． 将代入上式可得， 所以，原式． 19. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 （1）填空：_______，_______，_______； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1），， （2） （3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【解析】 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，求出“”得分在C组中所占的比例，即可求出m的值；先求出“”得分中，组合的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数； “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； “”得分在A组的用户数为，在B组的用户数为：， 则“”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故； 【小问2详解】 解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； 【小问3详解】 解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 20. 【阅读理解】 利用平方差公式：近似求算术平方根． 例：求的近似值（结果保留2位小数）的过程如右图： 解：因为，所以 根据平方差公式 可设，其中，所以 代入得： 因为接近4，所以，得 故 【尝试探究】 （1）在整数________和________之间； （2）求的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】（1）8，9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据进行估算即可； （2）先得出，再设，其中，则，然后估算，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即在整数8和9之间． 【小问2详解】 解：， 设，其中，则， ∴， ∴， ∵接近8， ∴， ∴， ∴． 21. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6） 图③是某小组的设计示意图，其中，，米． 【问题解决】 （1）请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． （2）在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）因为，已知长度和的值，所以过B作的垂线，利用直角三角形三角函数关系和勾股定理求出的长度，即为挡雨板的一边长，因为挡雨板是矩形，已知长度为矩形另一边长，所以用矩形面积公式即可计算面积； （2）要保证雨滴不落在墙面上，所以临界情况为雨滴沿下落方向刚好经过B点且落在O点，据此建立几何关系，过B作墙面的垂线得到水平距离，结合雨滴下落夹角，利用直角三角形三角函数求出B点到地面的高度，再求出A点的最大高度； 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴在中，， ∴， ∴， ∴所需挡雨板的面积为（平方米）． 【小问2详解】 连接， 若， ∵与平行， 则在中，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴点A离地面距离不能超过米． 22. 我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】（1）当时，，当时， （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 23. 已知二次函数． （1）若，求证：二次函数的图象与轴有两个不同的交点； （2）若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵二次函数， 当时，得：，∴， ∵，，∴， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， ∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点； （2）①；②且 【解析】 【分析】（1）证明判别式即可； （2）由A、B纵坐标相等得对称轴，得；①根据图象过点，得，从而得 ，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ，  ，整理得，   ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 24. 在菱形中，点在上，且，如图1，过点的直线，交对角线于点，与关于直线对称，点的对应点在的延长线上，分别交对角线、边于点、． （1）当时，求的度数． （2）如图2，当点与对应点重合时，求与菱形的面积之比． （3）已知，与的长度随的变化而变化，求的最大值． 【答案】（1）120° （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质，三角形内角和计算即可． （2）根据菱形性质，三角形相似求解各边，分别计算出三角形面积即可． （3）利用三角形相似和三角函数表示出，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：菱形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴四边形和四边形也关于直线对称，如图， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当点与对应点重合时，与关于直线对称 ∴为垂直平分线， ∴，和为直角三角形， ∴， ∴，， ∵，设， ∴， ∴，， 在中，，，根据勾股定理得， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 在,,，根据勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， 连接菱形对角线交于点，如图， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴菱形面积， ∴面积， ∴与菱形的面积之比． 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，过点作交于点， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，， ∴，整理得 ， ，整理得关于的一元二次方程， ∵要有最大值，方程要有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵，即， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $