精品解析：河南省郑州市上街区2026届高三下学期5月复习诊断数学试题

2026届高三下学期5月复习诊断 数学试题 全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 6. 已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（    ） A. 29，19 B. 31，18 C. 29，20 D. 27，19 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 10. 已知点是抛物线上的动点，为的焦点，为的准线，过且与相切的直线交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 以为直径的圆恒过点 11. 已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（ ） A. 的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B. 当时，的值域为 C. 当时方程在上有25个实根 D. 当，，时方程在有实根的充要条件为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 13. 写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 14. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为，已知，． （1）求角； （2）若边上的中线长为5，求的面积． 16. 为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． （2）小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面，，，，，为的中点，点在线段上. （1）证明：平面平面； （2）已知，，，四点均在球的球面上. ①证明：，，三点共线； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求. 18. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 19. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期5月复习诊断 数学试题 全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 3. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，则. 4. 已知函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 5. 已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，知．因为二项式展开式的通项公式为＝，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A． 考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件． 6. 已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数的关系代入计算求出值． 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设、两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， ． 故选：C． 7. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（    ） A. 29，19 B. 31，18 C. 29，20 D. 27，19 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 10. 已知点是抛物线上的动点，为的焦点，为的准线，过且与相切的直线交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 以为直径的圆恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，可以转化为点到直线的距离，结合求解判断；对B，表示过点和点的直线的斜率，当斜率最小时，直线与抛物线相切，运算得解；对C，的几何意义表示点到点与到轴的距离之和，利用抛物线定义数形结合得解；对D，过点作准线的垂线，由抛物线的光学性质可得的反射光线平行于轴，利用全等三角形求解判断. 【详解】对于A，点到直线的距离，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，表示过点和点的直线的斜率. 当斜率最小时，直线与抛物线相切，设切线方程为，与抛物线方程联立， 得，由，得， 所以的最小值为，故 B错误； 对于C，因为，所以， 上式的几何意义表示点到点与到轴的距离之和， 由抛物线的定义，得当点三点共线时，距离之和最小，其最小值为，故C正确； 对于D，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的光学性质可得的反射光线平行于轴， 即直线与直线关于对称，故，由抛物线定义知， 又为公共边，所以，所以，即， 故点在以为直径的圆上，所以以为直径的圆恒过点，故D正确. 11. 已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（ ） A. 的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B. 当时，的值域为 C. 当时方程在上有25个实根 D. 当，，时方程在有实根的充要条件为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，求出，分析可判断A的正误；当时，可得最小正周期，即可得的解析式，即可得的解析式，根据正弦型函数的值域，即可判断B的正误；分别讨论和两种情况，分别求出的解析式，根据条件，求出根，可判断C的正误；分别讨论和两种情况，分别求出的解析式，根据二次函数的性质，可得的值域，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：， 所以的叠加函数的一个周期为，故A错误； 选项B：当时，最小正周期， 则， 所以， 因为，所以，则，所以，故B正确； 选项C：的最小正周期，则， 当时，，，则， 此时方程在上的根为，共13个； 当时，，， 所以， 令，则， 所以，则， 此时方程在上的根为，共12个， 所以方程在上有25个实根，故C正确； 选项D：由题意的最小正周期为2，则， 当时，， 则， 因为，所以， 当时，， 则， 因为，所以，综上在上的值域为， 则方程在有实根的充要条件为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 【答案】105 【解析】 【分析】需按“国家全域旅游示范区选3个、选4个”两种情况分类讨论，再用分类加法计数原理求和. 【详解】我们将选取情况分为两类： 选3个国家全域旅游示范区，1个省全域旅游示范区的方法数：. 选4个国家全域旅游示范区，0个省全域旅游示范区的方法数：. 所以总选取方法种数为：. 13. 写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分别分析函数的奇偶性，单调性，凹凸性以及函数的运算性质，然后结合常见函数的特点来确定满足条件的函数解析式. 【详解】条件①，表明函数为偶函数，其图像关于轴对称； 条件②对任意正数，，，说明函数在上单调递增； 条件③，，表明函数在上是上凸函数； 条件④，这是对数函数的运算性质，即对数函数满足. 综合条件，首先考虑，（且），满足条件④， 当时，满足条件②，在上是上凸函数，满足条件③，为了满足条件①，需将函数变为， 因此，满足条件的函数的解析式可以为. 14. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】考查等差数列的性质以及数列求和的最值问题，解题的关键在于根据条件得出，，分析出，，即可求解. 【详解】，因为，数列为等差数列，故，，则公差， 当时，，当时，， 分析数列：，，，， ，，，，，， ，则， 当时，此时，则显然，故取最小值时. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为，已知，． （1）求角； （2）若边上的中线长为5，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，由角化边，求出三边的数量关系，进而根据余弦定理求出，求出结果. （2）根据三角形中线的向量表示，求出三边的关系，进而求出的值，再根据正弦面积公式，求出结果即可. 【小问1详解】 由题意可得，因为，所以， 化简得， 则，所以. 【小问2详解】 设中点为，可得，， 所以，化简得， 即， 由（1）可知，即， 所以，所以. 16. 为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． （2）小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验计算值，再判断即可； （2）由题可知的可能取值为，再利用独立事件乘法公式得到对应概率，列出分布列求出期望即可. 【小问1详解】 零假设为：大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面，，，，，为的中点，点在线段上. （1）证明：平面平面； （2）已知，，，四点均在球的球面上. ①证明：，，三点共线； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，且， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （2）①证明：作中点为，中点为， 所以，因为平面，所以平面， 因为平面，所以，即是以为直角的三角形， 则外心为， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以点为球心，所以，，三点共线； ②或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理，说明结论即可； （2）①根据外接球的性质，说明球心在线段上即可； ②建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出法向量和方向向量，根据线面角的正弦值公式，求出边长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图所示，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令时，解得，即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 可得，化简得， 解得或； 18. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2）函数的定义域为，求导得， ，， 使得，即，， 又在上单调递增， ∴当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上单调递减， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）对函数直接求导，由导数符号判断单调区间. （2）先对求导，利用导函数的单调性确定的最小值点，再将最小值与所给常数比较即可. （3）由可转化为函数在上单调递减、在上单调递增，从而得到再代入的表达式，并令，把问题转化为参数在区间上的不等式恒成立问题，分别求出下界与上界，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，． 令得，令得． 所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，且都有，即． 在上单调递减，在上单调递增． 在上恒成立，在上恒成立． ， 令，在上单调递增，，． 在上恒成立，在上恒成立， 由得，令，则． ，在上单调递减，， 所以． 由得，令，则． ，当时，单调递增；当时，单调递减． ，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 19. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】（1） （2）（i）， （ii）证明：设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【小问1详解】 由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $