专题12 期末复习冲刺训练（解答综合题）-2025-2026学年高一下学期数学期末高分冲刺（沪教版必修第二册）

**基本信息** 聚焦高一数学期末解答题，以区域真题为载体，系统覆盖解三角形、三角函数、向量、复数等核心模块，注重知识逻辑与实际应用结合，培养数学建模与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|4题（含元荡湖观光台等应用）|结合正弦/余弦定理、面积公式，侧重实际情境建模|从三角形边角关系到实际问题抽象，体现数学眼光| |三角函数|5题（含图像性质、矩形铁皮问题）|考查单调性、最值、周期，融合函数建模|从函数性质到实际应用，培养数学思维与表达| |向量|8题（线性运算、数量积及几何应用）|覆盖坐标运算、夹角、模长，结合几何图形|从线性运算到数量积，构建向量工具性知识链| |复数与方程|7题（含几何意义、实系数方程）|考查复数分类、模、方程根的性质|复数概念到方程应用，体现代数与几何结合| |综合压轴|4题（含动态几何、多知识点融合）|多模块交汇，需逻辑推理与最值探究|综合运用知识解决复杂问题，发展理性精神|

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题12 期末复习冲刺（解答题） 题型一、解三角形及其应用 1．（24-25高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 2．（24-25高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 3．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)千米 (2)千米． 【分析】（1）在中，利用余弦定理得到； （2）设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 所以千米． （2）设，因为，所以 在中，由正弦定理得，． 因为， 所以，， 因此， ， 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值． 故两条观光线路距离之和的最大值为千米． 4. （24-25黄浦区高一下期末）某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园DEFG，若已知扇形的圆心角（即）为，半径m，点D，E分别为CA，CB的中点，F，G是上的动点，且四边形DEFG是矩形或以DE、GF为底的梯形． （1）若四边形DEFG是矩形，试求的正弦值； （2）设四边形DEFG的面积为y（单位：m2），FG的中点为H．试从与中选择一个角并设其大小为x，写出y随x变化的函数表达式，并求y的最大值． 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可求得，进而利用两角和的正弦定理可求得； （2）法一：设，利用梯形的面积公式可得，进而利用换元法可求面积的最大值.法二：设，则可得，利用梯形的面积公式可得，进而利用换元法可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，点D，E分别为CA，CB的中点，所以， 若四边形DEFG是矩形，则，又，， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以， 所以 ； 【小问2详解】 法一：设，由垂径定理可得，且平分， 所以，，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为 ， 设，又因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 当时，. 法二：设，则可得， 由垂径定理可得，且平分， 所以，，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为 ， 设， 又因为，所以， 所以 ，所以， 所以 ， 当时，. 题型二、三角函数的图像与性质 5.（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 6.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值. 【答案】(1)最小正周期为 (2)时，的最大值为；当时，的最小值为. 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由，可得， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减， 所以当时，的最大值为； 又由， 所以当时，的最小值为. 7.（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 8.（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析． 【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，， 故，，    所以矩形的面积，． （2）由（1）及题设知， 故， 令，，所以，且， ， 在区间上严格减，在区间上严格增，且， 当，即时，取得最小值， 此时，则，故， 当，即时，取得最大值， 此时，则，故或． 9.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式； （2）根据正弦定理得到，即. （3）根据计算得到的最小值. 【详解】（1）由题知，，， 在中， 则， 在中， 则. 所以. （2）由题意，而， 则， 所以， 结合（1）知：. （3）由（2）知， 又， 所以，当，时，. 题型四、三角函数与方程根、零点、不等式综合 10.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知三角函数值求角、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 11．已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数） 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题可得，周期为，则可求出，由可解得； （2）问题可化为在区间有解，再求解不等式即可. 【详解】解：（1）由题意可知，，，故函数的周期为，故， 故， ， 则，即， ，， ； （2）证明：因为，故当时，， 原不等式可化为， 又因为，则， 要使得在有解，只需在区间有解， 代入得：， 当解得，即，时， 此时与区间与区间的交集为空集， 当，即，时， 令得时，满足， 又因为，故只需，原不等式在区间有解. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数不等式有解问题，解题的关键是将问题转化为在区间有解，从而求解. 12. （25-26罗店中学高二上期中）已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简函数，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 根据题意，函数， 化简得 因为的最大值为1，已知函数的最大值为1， 所以，解得 【小问2详解】 由（1）可知，函数， 由 解得 所以函数的单调递减区间为； 【小问3详解】 由，得，即， 所以 解得 因此，成立的的取值集合是. 13.（24-25高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 14. （24-25静安区高一下期末）已知函数 （1）求函数的周期； （2）求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）最小值为， （3） 【解析】 分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以函数的周期为. 【小问2详解】 函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . 【小问3详解】 函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． 15. （24-25晋元高级中学高一下期末）设，函数满足． （1）当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； （2）若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. （3）当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求的范围，再根据正弦函数的图象和性质，即可求解； （2）首先利用代入法求在区间的范围，结合函数的周期公式，以及范围内的最大值点，以及求的取值范围； （3）首先根据，确定棋子的移动周期，并根据函数性质判断，结合函数的周期，并结合游戏规则，确定中大于或等于得到个数，即可求解. 【小问1详解】 ，则， 当时，在上有两个最大值点，， 故在上有2个最大值点； 【小问2详解】 曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即， 所以，故， 则只需令，解得， 即的取值范围为． 【小问3详解】 ，棋子移动的周期为4， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 若，中至少三个大于或等于，满足题意，即： ，则; 若，中只有二个大于或等于，棋子落在棋盘右上角亦满足题意，即：，则； 故的取值范围是. 题型五、向量线性运算与坐标表示 16．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知平面向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可. 【详解】（1）因为， 又因为，所以，解得， 所以. （2）因为， 所以，解得. 所以， 所以. 16. （24-25上师大附中高一下期末）已知平面上的两个向量． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 小问1详解】 与平行， 【小问2详解】 与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 17.（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 18.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 19.（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）的坐标为或；（2） 【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标； （2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围． 【详解】（1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 20.如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解； （2）由已知可得，，可得结论； （3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论. 【详解】（1）若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； （2）若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； （3）， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算. 20.在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）利用向量的夹角公式即可求解. （3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【详解】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 题型六、向量的数量积 21．（24-25高一下·浙江杭州·期末）如图，点分别是矩形的边上的点，． (1)若，求的取值范围； (2)若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即得. （2）取的中点，利用中点向量公式求和即可得解. 【详解】（1）在矩形中，， ，即， 所以. （2）取的中点，连接，由依次为边的2025等分点， ， 得， 所以. 22．如图，在直角梯形中，，，，是的中点.    (1)求； (2)连接，交于点，求； (3)若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【详解】（1）因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以.    （2）设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. （3）在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的面积； (3)如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求解; （2）利用余弦定理求出，在利用面积公式即可求解； （3）建立坐标系，根据平面向量得坐标表示，表示出两点以后，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）因为，且，所以， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； （3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，由得， 因为，所以设， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为 题型七、复数及其几何意义 24.已知复数. (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 【解析】（1）复数为纯虚数，则且， 所以. （2）复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则且，解得， ，当且仅当时取等号， 所以a的取值范围是，的最小值为. 25．已知复数满足，． (1)求； (2)设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得出，利用共轭复数定义和模的计算公式求解即可. （2）利用复数的运算分别求出，，三点坐标，然后利用数量积的变形公式求解向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）因为，， 两式相加得， 所以， 故． （2）由（1）得， 则， ，则， ，则， 所以，， 故． 26. 已知复数，. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 【解析】（1）对应的点为， 故且，故， （2）， 故，故，故， ，故当时，的最小值为 27. 已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意得，再求解集即可； （2）根据题意得，再分别求出，，即可求解； （3）设，根据题意得，再分析求解即可. 【解答过程】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数的取值范围为： （2）当时，，所以，， 所以，所以 （3）根据题意得，设其旋转后对应向量， 所以，解得或， 又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限， 所以，所以. 题型八、实系数一元二次方程 28.（24-25上师大附中高一下期末）已知关于的方程有两个复数根． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或4 【解析】 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 小问1详解】 已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，， 所以 【小问2详解】 i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 29.（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 30．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，关于x的一元二次方程的两根为、． (1)若、为虚数，满足且，求和m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，设两虚根分别为，其中，因为，求得，得到，进而求得的值； （2）根据题意，分两个实根和两个虚根，两种情况讨论，利用韦达定理和虚根的性质，结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个虚根为､，可得，解得， 因为，可设两虚根分别为，其中， 又因为，可得，解得， 即，， 所以. （2）由关于的实系数一元二次方程的两根为､， （ⅰ）若方程有两个实根､，则，可得，且， ①若，可知，则，不合题意； ②若，则异号，则，解得； （ⅱ）若方程有两个虚根，则，可得， 设为，不妨设，则，可得，解得， 即，所以； 综上可得，实数的值为或. 题型九、综合压轴题 31. （24-25华师大二附中高一下期中）如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 32. （24-25金山中学高一下期末）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①成立②不成立； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立. 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得， 则，因此不成立，即②不成立 （2）由，得，且， 所以， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得； （3）依题意设，且， 因为为BC的中点，则， 因为为BD中点，同理可得 所以 由题意可知，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为. 33. （24-25控江中学高一下期末）在平面直角坐标系中，，，，以为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的上的动点，M为x轴上的动点. （1）求的单位向量的坐标； （2）若M的坐标为.设与的夹角为，.用表示，并求的最大值； （3）若M的坐标为，且四边形为平行四边形，N为线段上靠近M的三等分点，求的最大值. 【答案】（1）； （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）先得出的坐标，再计算单位向量即可； （2）先设，再结合三角恒等变换及正弦函数的值域计算得出最大值即可； （3）应用数量积公式结合三角恒等变换结合三角函数值域计算求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以的单位向量的坐标. 【小问2详解】 设与的夹角为，设， 又因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以当时，的最大值为； 【小问3详解】 设，因为，则 中点为，N为线段上靠近M的三等分点，则， ， ， ， 当且仅当时，取得最大值. 34. （24-25复兴高级中学高一下期末）如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解； （2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （3）设，其中，根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理 ， 所以， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，则， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得， 所以表示为的函数为. 【小问3详解】 设，其中， 由题意可得， 则， ， 即，解得， 又，所以， 可得 ，其中， 构建 ，其中， 当，即时，取到最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键是设，其中，再结合（2）的结论用的式子表示出，最后再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题12 期末复习冲刺（解答题） 题型一、解三角形及其应用 1．（24-25高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 2．（24-25高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 3．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 4. （24-25黄浦区高一下期末）某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园DEFG，若已知扇形的圆心角（即）为，半径m，点D，E分别为CA，CB的中点，F，G是上的动点，且四边形DEFG是矩形或以DE、GF为底的梯形． （1）若四边形DEFG是矩形，试求的正弦值； （2）设四边形DEFG的面积为y（单位：m2），FG的中点为H．试从与中选择一个角并设其大小为x，写出y随x变化的函数表达式，并求y的最大值． 题型二、三角函数的图像与性质 5.（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 6.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值. 7.（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 8.（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 9.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 题型三、三角函数与方程根、零点、不等式综合 10.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 11．已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数） 12. （25-26罗店中学高二上期中）已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 13.（24-25高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 14. （24-25静安区高一下期末）已知函数 （1）求函数的周期； （2）求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 15. （24-25晋元高级中学高一下期末）设，函数满足． （1）当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； （2）若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. （3）当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 题型四、向量线性运算与坐标表示 16．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知平面向量，. (1)若，求； (2)若，求. 16. （24-25上师大附中高一下期末）已知平面上的两个向量． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 17.（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 18.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 19.（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 20.如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 20.在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 题型五、向量的数量积 21．（24-25高一下·浙江杭州·期末）如图，点分别是矩形的边上的点，． (1)若，求的取值范围； (2)若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值． 22．如图，在直角梯形中，，，，是的中点.    (1)求； (2)连接，交于点，求； (3)若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的面积； (3)如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 题型六、复数及其几何意义 24.已知复数. (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 25．已知复数满足，． (1)求； (2)设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求． 26. 已知复数，. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 27. 已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 题型八、实系数一元二次方程 28.（24-25上师大附中高一下期末）已知关于的方程有两个复数根． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的值． 29.（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 30．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，关于x的一元二次方程的两根为、． (1)若、为虚数，满足且，求和m的值； (2)若，求m的值． 题型八、综合压轴题 31. （24-25华师大二附中高一下期中）如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 32. （24-25金山中学高一下期末）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 33. （24-25控江中学高一下期末）在平面直角坐标系中，，，，以为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的上的动点，M为x轴上的动点. （1）求的单位向量的坐标； （2）若M的坐标为.设与的夹角为，.用表示，并求的最大值； （3）若M的坐标为，且四边形为平行四边形，N为线段上靠近M的三等分点，求的最大值. 34. （24-25复兴高级中学高一下期末）如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径；（2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $