专题10 期末复习冲刺训练（拔尖篇）-2025-2026学年高一下学期数学期末高分冲刺（沪教版必修第二册）

**基本信息** 聚焦高一数学期末核心考点，以分层递进题型构建三角函数、向量、复数知识网络，强化综合应用与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数|1-22题|定义应用、图像性质、解三角形、零点与恒成立|从任意角三角函数概念到图像性质，再到解三角形及综合应用，形成"概念-性质-应用"逻辑链| |向量|23-46题|概念辨析、线性运算、数量积及坐标表示|从线性运算到数量积，再到坐标化应用，体现"几何意义-代数运算-实际应用"递进| |复数|47-63题|概念分类、几何意义、实系数方程|从概念到几何表示，再到方程应用，构建"数系扩充-几何直观-方程求解"体系| |综合压轴|64-66题|多知识点结合的探究题|整合向量、三角、复数知识，考查数学抽象与模型构建能力|

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题10 期末复习冲刺（拔尖篇） 考点01：任意角的正弦余弦正切 1．（23-24高一上·上海·期末）已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径三者之间的关系可求得该扇形圆心角的弧度数. 【详解】因为扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 3.（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 4.（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 5.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）当时，化简的结果是______ 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，所以， . 6. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知，则______. 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 7.（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可； （2）求出，再利用两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）因为点为角终边上一点，则， ， 则. （2）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以 . 考点02：解三角形 8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为是锐角三角形，所以，，所以，， 由正弦定理得，所以． 故选：C． 9.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为_____ 【解析】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 10. （24-25金山中学高一下期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 【答案】 【分析】利用半角公式结合余弦定理计算得，根据外心的性质，结合向量数量积的运算律计算得，代入计算可得结果. 【详解】由半角公式可得， 又由余弦定理可得， 则. 设为中点，因为为外接圆的圆心，则有， 因为， 由可得， 即， 可得，即， 即，故. 故答案为：. 11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积． 解析：（1）． （2）如图所示： 因为，所以，．又，所以． 在中，由余弦定理得，即．① 又，所以，两边平方得， 即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，， 所以是以为直角的三角形，所以的面积为． 12．在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求角的大小； (2)若为上一点，，，求的最小值. 【解析】（1）依题意，， 由正弦定理得， ，所以， 所以是钝角，所以. （2）， ，所以， 即， 所以， 当且仅当时等号成立. 考点03：三角函数的图像与性质 13.（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 14.（24-25高一下·上海·期末）函数，的严格减区间为________. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 15.（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 16.（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【答案】2或 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 17.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】先得到，且，根据题意得到，求出答案. 【详解】时，则，故， 时，， 对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得， 故，解得. 故答案为： 18.（24-25高一下·上海黄浦·期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（   ）． A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题 【答案】B 【知识点】函数新定义、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 19.（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 20. （24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 21.（24-25金山中学高一下期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【答案】3 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 22. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围. 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 考点04：三角函数的零点与恒成立问题 23.（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、正切函数图象的应用 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 24.（24-25高一下·上海黄浦·期末）满足的角的集合为______． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】利用正切函数的性质解方程即可. 【详解】由，可得， 解得， 所以满足的角的集合为. 故答案为：. 25.（24-25高一下·上海浦东新·期中）关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】原方程可化为，结合图象，即可判断选项. 【详解】因为，所以关于x的方程，可化为， 在上为周期为的函数，值域为， 在上单调递减，值域为，且时，时， 对于，在时，过程中与图象接近， 且过程中图象呈现周期性波动，第个周期值域为，()逐渐变小且接近于1，(逐渐变小且接近于， 综上，函数的大致图象如下， 当时，无解，A对； 当时，有无数个解，B对； 当且时，有个解，此时时，D对； 当且时，有个解， 当时，有1个解，C错； 故选：C. 26.（24-25华师大二附中高一下期中） 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式. 对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假； 对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假. 【详解】 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题（4）是假命题． 故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型. 考点05：向量的概念和线性运算 27.（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 28.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反； B. 若，且与的方向相同，则 C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D. 若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 29.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 30.（25-26高一下·上海·期末）在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 【答案】D 【详解】因为， 所以该三角形是等边三角形. 考点06：向量的数量积及其应用 31.若向量、满足，，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 32.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则______． 【答案】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 33.（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 34.（25-26高一下·上海普陀·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 35.（24-25华师大二附中高一下期中） 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以，所以， 因为均是非零向量，且， 所以， 因为， 所以， 故选：B. 36.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【详解】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 37．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 【答案】(1)； (2)投影为，数量投影为. 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据投影和数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知， 所以， 则，， 又，所以夹角为. （2）在上的投影为. 在上的数量投影为. 38.如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，再根据向量数量积求解即可. （2）用表示，再根据向量数量积以及二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以， 所以. （2）因为点M为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 39.如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）梯形中线段和的位置关系和长度关系得到，再利用向量的线性运算； （2）因为，，三点共线，所以，且； （3）设，用，和表示和，所以可转化成关于的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】（1）因为，且，所以， 则. （2）因为，所以， 又因为，，三点共线，所以，解得. （3）因为，，，所以，，， 设， 则， ， 所以 ， 因为，所以当时，的最小值为. 考点07：向量的坐标表示 40.（24-25复兴高级中学高一下期末）已知向量，若，则___________. 【答案】3 【分析】由向量垂直的坐标运算求解. 【详解】向量，若，则，解得 故答案为：3. 41. 若向量，，且，则________. 【答案】 【分析】利用向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，，且， 可得，解得. 故答案为：. 42.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，若，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算先计算，最后根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 43.（24-25高一下·上海普陀·期末）已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】2 【分析】由，得，再根据数量投影即可求解. 【详解】由，得， 又向量，的夹角为， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：2. 44.（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 45.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【详解】（1），； （2）， ，因为， 所以， 即. 46.（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【详解】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 考点08：复数的概念与分类 47.（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 49.（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则________ 【分析】由可得，进而根据复数的除法运算即可求解. 【详解】因为，故即， 所以. 50.（24-25复兴高级中学高一下期末）若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得出复数的实部. 【详解】因为，则，故复数的实部为. 故答案为：. 51.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 52. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 详解】若，，则成立且不成立， 而若，则成立， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 考点09：复数的几何意义 53.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 54.（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 【答案】1 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 55.（24-25高一下·上海长宁·期末）已知复数，，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第________象限 【分析】根据复数的除法运算先求出，再根据共轭复数的关系求出复数，根据复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为复数，， 所以， 所以复数，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限. 56.（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 57.（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 58.（24-25华师大二附中高一下期中）下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 【答案】B 【分析】设，，根据复数相等，得到两个复数实部与虚部的关系，即可判断A，设，计算出，即可判断B；设的夹角为，根据向量数量积的计算公式，由，推出或，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对于A，设，，,则，. 若，即，则有，所以，故A正确； 对于B，设，则， 但是， ，故B错误； 对于C，设的夹角为，因为，若， 则，即或，所以与共线，故C正确； 对于D，因为，若，则，故D正确. 故选：B 59.（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 60．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 61.（24-25高一下·湖南·期中）已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）由是实数，是纯虚数，列出等式求解即可； （2）由，且与不共线，列出不等式求解即可. 【详解】（1）设复数， 由是实数知，即， 所以． 又因为是纯虚数，则为纯虚数， 即且， 所以， 所以． （2）由（1）知， 则， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 即，且 解得且. 考点10：实系数一元二次方程 62.（24-25金山中学高一下期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 63.已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可. 【详解】 ∵是关于的方程（，）的一个根， ∴（，），化简得， ∴，解得， ∴， 如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和， 则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为， 若，则， ∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆， ∴围成的面积为. 故选：C. 考点11：综合压轴题 64. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. 【小问2详解】 依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. 【小问3详解】 设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 65. （24-25晋元高级中学高一下期末）如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 【小问3详解】 ， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 66．（24-25高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题10 期末复习冲刺（拔尖篇） 考点01：任意角的正弦余弦正切 1．（23-24高一上·上海·期末）已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 3.（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为 . 4.（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 5.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）当时，化简的结果是_______ 6. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知，则______. 7.（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 考点02：解三角形 8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为_____ 10. （24-25金山中学高一下期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积． 12．在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求角的大小； (2)若为上一点，，，求的最小值. 考点03：三角函数的图像与性质 13.（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14.（24-25高一下·上海·期末）函数，的严格减区间为________. 15.（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 16.（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 17.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 18.（24-25高一下·上海黄浦·期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（   ）． A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题 19.（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 20. （24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 21.（24-25金山中学高一下期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 22. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 考点04：三角函数的零点与恒成立问题 23.（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 24.（24-25高一下·上海黄浦·期末）满足的角的集合为______． 25.（24-25高一下·上海浦东新·期中）关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 26.（24-25华师大二附中高一下期中） 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点05：向量的概念和线性运算 27.（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 28.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反； B. 若，且与的方向相同，则 C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D. 若，则与方向相同或相反 29.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30.（25-26高一下·上海·期末）在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 考点06：向量的数量积及其应用 31.若向量、满足，，则______. 32.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则______． 33.（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 34.（25-26高一下·上海普陀·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 35.（24-25华师大二附中高一下期中） 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 36.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 37．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 38.如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 39.如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 考点07：向量的坐标表示 40.（24-25复兴高级中学高一下期末）已知向量，若，则___________. 41. 若向量，，且，则________. 42.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，若，则的值为___________. 43.（24-25高一下·上海普陀·期末）已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 44.（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 45.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 46.（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 考点08：复数的概念与分类 47.（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 49.（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则_______ 50.（24-25复兴高级中学高一下期末）若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 51.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则______． 52. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 考点09：复数的几何意义 53.（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 54.（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 55.（24-25高一下·上海长宁·期末）已知复数，，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第_______象限. 56.（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 57.（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 58.（24-25华师大二附中高一下期中）下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 59.（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 60．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 61.（24-25高一下·湖南·期中）已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 考点10：实系数一元二次方程 62.（24-25金山中学高一下期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 63.已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（    ） A． B． C． D． 考点11：综合压轴题 64. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 65. （24-25晋元高级中学高一下期末）如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 66．（24-25高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $