专题11 期末复习冲刺训练（填选压轴题）-2025-2026学年高一下学期数学期末高分冲刺（沪教版必修第二册）

**基本信息** 聚焦高一数学期末填空选择压轴题，按三角、向量、复数模块分类，精选上海重点中学真题，强化知识综合应用与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角恒等变换|3题|存在性判断、内角性质、不等式成立条件|从三角公式推导到角的象限与函数性质分析| |三角函数|8题|零点个数、图像交点、周期与对称性|从函数定义到性质应用，结合区间分类讨论| |向量|10题|数量积、模长最值、几何意义|从线性运算到坐标表示，融合几何直观与代数推理| |复数|3题|模的最值、方程根的共圆问题|从复数运算到几何意义，体现数形结合思想|

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题11 期末复习冲刺（填空选择压轴题） 题型一、三角恒等变换 1.（24-25上海交大附属中学高一下期末）已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限． ②存在在第二象限，在第四象限． ③存在在第一象限，在第四象限． 则（ ） A. ①②均正确 B. ①③均正确 C. ②③均正确 D. ①②③均不正确 【答案】C 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质、三角恒等变换、函数图像即可求解. 【详解】因为，， 所以， 令，，则，整理得，且方程有解， 有， 作函数图像: 则由图像可知存在，有， 所以当时，恒成立，则，, 因此一正一负， 说明当在第二象限时，在四个象限均可， 当时，成立， 此时，， 因此皆为负， 说明当在第一象限时，只能在第二象限或第四象限， 综上所述，②③正确，①错误. 故选：C 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 【答案】B 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 题型二、三角函数填选精练 4. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围. 【详解】令，则 令，则 则问题转化为在区间上至少有两个，至多有三个t，使得，求的取值范围. 作出和的图像，观察交点个数， 可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为， 由题意列不等式的： 解得：. 故选：B 【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便. 5．（22-23高一下·上海长宁·期中）若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则 . 【答案】/ 【分析】方程化为，由函数在上的图象，可得满足题意，由此可求得，即可得结论． 【详解】方程即为， 由于的最小正周期是， 作出在时的图象，如图，只有直线与它有三个交点， 因此方程在闭区间上恰有三个不同解，不妨设，则，， 由，得， 所以． 故答案为：． 6．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 7.（24-25复兴高级中学高一下期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 8.（24-25黄浦区高一下期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 【答案】B 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 9. （24-25静安区高一下期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则最大值为. 【答案】②④ 【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误. 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 10.（24-25华师大二附中高一下期中） 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式. 对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假； 对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假. 【详解】 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题（4）是假命题． 故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型. 题型三、向量填选精练 11. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如图，是线段外一点，，，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设线段的中点为， ，因为是线段的垂直平分线上的动点，所以， 所以， 故答案为： 12. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大， 因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点为点， 则点在直线上的投影在的延长线， 当点与重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反， 此时取得最小值，，， ， 所以. 故答案为： 13. （24-25南洋模范中学高一下期末）设单位向量，的夹角为锐角，若对于任意满足，的实数对，都有成立，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设单位向量，的夹角为锐角，依题意可得，即可得到恒成立，从而得到恒成立，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】设单位向量，的夹角为锐角， 由，，得， 又恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时上式显然成立， 当时则恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 14. （24-25黄浦区高一下期末）在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 15. （2021上海理工大学附属中学期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 【答案】 【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出． 【详解】当t＝0时，不满足题意； 当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE， 则t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意； 当t＜0时，设t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB， 由图可知，， ∵的最小值为2， ∴＝2，∴． 故答案为：． 16. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，记，，根据已知列方程求出点的轨迹方程，转化为圆上动点和直线上动点的距离最小值问题即可得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为， 因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数，均有，所以， 整理得， 由于上式对任意的实数的一元二次不等式恒成立， 则有，即，故， 设，又设， 则，整理得：， 所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 而圆心到直线的距离， 所以，即的最小值为3． 故选：B． 17. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】可先对两边平方，根据二次函数性质得到与的关系，再利用向量模长公式和基本不等式求解的最大值. 【详解】已知，两边平方可得. 展开得. 移项整理得. 因为对于，上式恒成立，所以二次函数的判别式. 即，进一步化简得，即. 因为一个数的平方是非负的，所以，即. 可得. 将代入上式得. 令，设（），，令. 将变形为. 由基本不等式（当且仅当时等号成立），这里，，则. 所以，即，当且仅当，时取等号. 故最大值是. 故答案为：. 18.（24-25华师大二附中高一下期中） 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由有实根，可得，再结合向量的夹角公式和可求得，从而可求出两向量的夹角范围. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以，所以， 因为均是非零向量，且， 所以， 因为， 所以， 故选：B. 19. （24-25复兴高级中学高一下期末）如图，由一个正方形与正三角形(点E在下方)组成一个“风筝骨架”，O为正方形的中心，点P是“风筝骨架”上一点，设(m，)，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设正方形边长为，：，计算，得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，设正方形边长为，则，， 当在上时，：，，故设， 故，故， 当时等号成立， 同理可得在其他“风筝骨架”的最值，比较知当与点重合时最大为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量运算，意在考查学生的计算能力，建立直角坐标系是解题的关键. 20.（24-25控江中学高一下期末）（24-25控江中学高一下期末）在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量积的定义可知当与同向或反向时， 能取得最大值，由此可得出答案. 【详解】设与夹角为，与夹角为，则. 因为，所以 . 因为，， 所以当，即与同向或反向时，. 因为恒有，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 21．已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 22.（24-25控江中学高一下期末）已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（ ）. A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】B 【分析】对于命题①可设 ，可证明 和  总和垂直，进一步可得 和  平行，可得结论；对于命题②可举反例来说明命题②是假命题即可. 【详解】对于命题①，设 ， 则有：，，. 设 ，由条件可推导： ，， ，， 可得，得 ，即  与   垂直， 现在考虑向量：，因此  与   垂直， 同理： 也与   垂直， 在二维平面中，所有与  垂直的向量都互相平行，因此， 和  总是平行， 不可能存在任意两个向量都不平行的情况，故命题①为假. 对于命题②，取特值：，， ，， ，， ，， 验证：，， ， ， 所以； ，模， ， ， 所以； 总和 . 任意三点不共线,而模长全部不同. 此例满足所有条件，但模长互异，故命题②为假. 故选：B 题型四、复数填选精练 23．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 24.（24-25上师大附中高一下期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 25. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题11 期末复习冲刺（填空选择压轴题） 题型一、三角恒等变换 1.（24-25上海交大附属中学高一下期末）已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限． ②存在在第二象限，在第四象限． ③存在在第一象限，在第四象限． 则（ ） A. ①②均正确 B. ①③均正确 C. ②③均正确 D. ①②③均不正确 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 题型二、三角函数填选精练 4. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5．（22-23高一下·上海长宁·期中）若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则 . 6．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 7.（24-25复兴高级中学高一下期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 8.（24-25黄浦区高一下期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 9. （24-25静安区高一下期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则最大值为. 10.（24-25华师大二附中高一下期中） 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 题型三、向量填选精练 11. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如图，是线段外一点，，，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为______． 12. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 13. （24-25南洋模范中学高一下期末）设单位向量，的夹角为锐角，若对于任意满足，的实数对，都有成立，则的最小值为_____________. 14. （24-25黄浦区高一下期末）在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 15. （2021上海理工大学附属中学期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 16. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 17. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________. 18.（24-25华师大二附中高一下期中） 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 19. （24-25复兴高级中学高一下期末）如图，由一个正方形与正三角形(点E在下方)组成一个“风筝骨架”，O为正方形的中心，点P是“风筝骨架”上一点，设(m，)，则的最大值是______. 20.（24-25控江中学高一下期末）（24-25控江中学高一下期末）在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 21．已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 22.（24-25控江中学高一下期末）已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（ ）. A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 题型四、复数填选精练 23．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 24.（24-25上师大附中高一下期末）若复数满足，则的最小值是_____ 25. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $