2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区通辽第五中学二模数学试题

2025−2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若在粮谷计算中，增加斗记作斗，那么减少斗应记作（ ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 2．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A． B． C． D． 3．为切实做好国庆、中秋假期公众出行的服务保障工作，内蒙古交通集团以“最高”标准、“最暖”服务为社会公众营造“畅、安、舒、美”的出行环境．年月日至年月日，交通集团累计减免七座以下小客车万台次，通行费亿元，较上年同期多减免亿元，增幅．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为，像距为，则当火焰高度为时，火焰倒立的像的高度是（ ） A． B． C． D． 5．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ） A． B． C． D．或 6．如图，在中，为的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 7．直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A． B． C．（，） D．（，） 8．已知二次函数²的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9．某种商品的原价是每件元，第一次降价打“七折”，第二次降价又减元，则两次降价后的售价为________元．（用含的代数式表示） 10．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是________． 11．如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了米，到达处，测得，则树的高度是________米． 12．如图，已知，点在上，点在上，于点，若，则的最小值为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13．（10分） （1）计算：； （2）化简：． 14．（7分）为进一步加强和改进新时代学校体育工作，促进学生身心健康全面发展，内蒙古自治区教育厅印发了促进中小学生体质强健的“双十条”措施．某校为了解学生假期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生假期每天在家锻炼的时间（用表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成如下频数分布直方图． 学生每天在家锻炼时间频率分布表 时间（分钟） 频率 合计 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 （1）________； （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （3）该校共有名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生假期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生人数． 15．（10分）某家饰商场销售A、B两种型号的吊灯，A种型号吊灯每个进价为200元，B种型号吊灯每个进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3个 6个 1800元 第二天 5个 8个 2640元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A、B两种型号吊灯的销售单价； （2）若商场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的吊灯共30个，求A种型号的吊灯最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，商场销售完这30个吊灯能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出所有相应的采购方案；若不能，请说明理由． 16．（12分）如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． （1）如图，若是的直径，求证：； （2）如图，若不是的直径． ①求证：； ②若，，，则的半径为________． 17．（12分）如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 18．（13分）【问题情境】（1）如图，小安把三角板放置到矩形中，使得顶点，，分别落在，，上，则线段与有什么数量关系？请直接写出结论：________； 【变式探究】（2）如图，小安把三角板放置到矩形中，使得顶点，，分别在，，边上，若，，求的长； 【拓展应用】（3）如图，小安把三角形放到平行四边形中，使得的顶点，，分别落在，，上．若，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.C 2.B. 3.A. 4.C 5.D 6.D. 7.B. 8.A. 9.(0.7a-10 10.8 11.15 12.3√5 13.解：(1)原式=2026-1+1=2026. (2)原式=-1。x-1 x+2x(x+2) =x-1x(x+2 x+2x-1 =x. 14.解：(1)0.2【解析】用1减去已有的频率可求出a的值为1-0.1-0.2-0.4-0.1=0.2. (2)被调查的人数为6÷0.1=60（人）， 锻炼时间在30≤x<60的人数为60×0.2=12（人）· 补全的频数分布直方图如图， 频数 24 18 12 12 12 6 6 6 0 306090120150x/分钟 (3)500x12+6 =150(人). 60 答：估计该校学生假期每天在家锻炼的平均时间 不低于90分钟的学生有150人. 15.解：(1)设A种型号吊灯的销售单价为x元，B种型号吊灯的销售单价为y元， 依题意，得 3x+6y=1800 5x+8y=26401 解得 x=240 y=180 答：A种型号吊灯的销售单价为240元，B种型号吊灯的销售单价为180元. (2)设采购A种型号吊灯a个，则采购B种型号吊灯(30-a个， 依题意，得200a+150(30-a≤5400， 解得a≤18 答：A种型号的吊灯最多能采购18个. (3)能实现， 依题意，得(240-200)a+(180-150)(30-a≥1060， 解得a≥16 又：a≤18， 16≤a≤18. a为整数， .a=16,17,18. .共有三种采购方案，方案1：采购A种型号吊灯16个，B种型号吊灯14个； 方案2：采购A种型号吊灯17个，B种型号吊灯13个； 方案3：采购A种型号吊灯18个，B种型号吊灯12个. 16.(1)证明：如图1，连接0C,0D, 0 图1 0A=0B,AE =BF 0E=0F. :CE⊥AB,DF⊥AB, :L0EC=L0FD=90°. 在Rt△OEC和Rt△OFD中， OE=OF OC=OD .Rt△OEC≌Rt△OFD(HL), :CE=DF. (2)①证明：如图2，过点O分别作OG⊥AB于点G,OM⊥CE交CE的延长线于点M,延长M0交 DF的延长线于点N,则AG=BG. 0:G N冲 B 图2 :AE=BF, 易得EG=FG. :CE⊥AB,DF⊥AB,OG⊥AB,OM⊥CE,ON⊥DF, .四边形MEFN、四边形MEGO、四边形OGFN均为矩形. :.OM =EG,ON=FG,EM=FN=0G. 0M=0N. 在Rt△OMC和Rt△OND中， OM=ON OC=OD .Rt△OMC≌Rt△OND(HL, :CM DN :CM -EM =DN -FN :CE =DF ②65【解折】刻图，连接01，：AB=16,4C=BG=4B=8, B .AE=BF=4,.EG FG=4. 由(2)①，知0M=0N=EG=FG=4,设0G=a,0C=0A=x, EM =0G =a,:CM =CE EM =a+6, 42+a+6}=x2’64+a2=16+a+62,a=1, 82+a2=x2 .x=V82+12=√65，即00的半径为√65. 17.解：(1)OB=6m,OM=7m,AB=CD=3m, O为BC的中点， .顶点M(0,7)，点A-6,3, 设抛物线的函数解析式为y=ax2+7, 将点A的坐标代入，得36a+7=3, 1 解得a=一 ∴该抛物线的函数解析式为y=-x2+7. 9 2设0+7小则G=m=写2+7，EF=6a=-2 这三条的长度和1-2+7小加++ :当n=-9时，这三条撑杆长度和的最大值为3 2 2m. 18.解：(1)ED=√3AG 【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠A=∠D=90°，：∠AGE+∠AEG=90°. :∠FEG=90°，∠EGF=60°，∠GFE=30°， EF=tan30°=V ·∠DEF+LAEG=90°，EC= 3， 24GE=<0,A150△0E.小e0-9.ED-5G (2)如图1，过点F作FH⊥AD于点H,则∠EHF=90°，∠FEH+LEFH=90°. p.… D 图1 :∠FEG=90°， ∠FEH+∠AEG=90°， LAEG=∠HFE, :∠A=LEHF=90°， ∴.△AEG∽△HFE, AG=AE_EG EH FH EF 又C =tan30°， EF 812V5 EH FH 3 .EH=85,FH=125. :∠A=∠B=LAHF=90°， .四边形ABFH是矩形， :AB=FH =123, .BG=AB-AG=125-8. (3)如图2，延长AD到点M,连接FM交CD于点P,使得LAMF=∠BAD. 图2 :ZFEG ZBAD :ZFEG ZBAD ZAM F, :ZAEG+ZAGE Z FEM ZAEG, :Z AGE Z M E F ∴.△AEG∽△MFE, EGAE AG EF FM EM AB=5.AB 4 “AD6'ADi 4B-5AD.4E-4 11 AD, 6 :四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠BAD=∠C, :ZCDM ZBAD ZAMF=ZC=ZCFP, :PD=PM PC=PF, :PC PD PF PM CD=FM=AB, ss gv wdda.. b乙HV V O3