8.2 一元线性回归模型及其应用 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦一元线性回归模型及其应用，涵盖模型构建、经验回归方程、残差分析及决定系数R²等核心内容。通过树高与胸径、公交支付人数等现实实例导入，衔接成对数据统计分析基础，为统计模型应用搭建学习支架。 资料以现实情境例题为载体，通过残差分析、R²意义探究培养学生数据分析能力，非线性回归转化环节提升数学运算与建模思维，体现用数学眼光观察、用数学思维思考现实世界的核心素养，助力学生形成从具体到抽象的学习方法。

数学选择性必修第三册 导学 第八章 成对数据的统计分析 §8.2 一元线性回归模型及其应用 【教学目标】 1.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法. 2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力. 3.能通过实例说明决定系数R2的意义和作用，提高数据分析能力。 【重点】通过实例说明决定系数R2的意义和作用，提高数据分析能力。 【难点】能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力. 【知识要点】 【知识点1】一元线性回归模型 用X表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差,假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为, (1)为Y关于x的一元线性回归模型(simple linear regression model). 其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 【知识点2】经验回归方程 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 注意： 1.经验回归必过； 2.都是估计值； 3.与r符号相同. 【知识点3】残差分析. 我们称yi为响应变量Y的观测值，通过经验回归方程得到的为预测值.为了研究回归模型的有效性，定义残差为=yi-，残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析. 【知识点5】决定系数R2刻画回归效果. R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差. 【典型例题】 题型一：两个随机变量的相关关系与残差分析 【例1-1】经验表明,对于同一树种,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表所示,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 【例1-2】某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表： 第天 1 2 3 4 5 使用人数() 15 173 457 842 1333 由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为________． 【例1-3】某同学为了解气温对热饮销售的影响，经过统计分析，得到了一个卖出的热饮杯数与当天气温的回归方程.下列选项正确的是（ ） A．与线性正相关 B．与线性负相关 C．随增大而增大 D．随减小而减小 【例1-4】下列描述中正确命题的个数为（ ） （1）最小二乘法的原理是使得最小 （2）样本相关系数越大，相关程度越大 （3）设有一个回归方程，变量增加一个单位时，减少个单位 A． B． C． D． 【建立线性回归模型的基本步骤】： (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量． (2)画出解释变量与响应变量的散点图，观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型． (4)按一定规则（如最小二乘法）估计经验回归方程中的参数. (5)得出结果后需进行线性回归分析. ①残差平方和越小，模型的拟合效果越好. ②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好. 需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可. 题型二 经验回归方程及回归分析 【例2-1】人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 【建立非线性经回归模型的基本步骤】 1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； 2.由经验确定非线性经验回归方程的模型； 3.通过变换，将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型； 4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； 5.消去新元，得到非线性经验回归方程； 6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 【例2-2】（多选题）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高（单位：）与父母平均身高（单位：）具有线性相关关系，通过样本数据，求得回归直线方程，则下列结论中正确的是（ ） A．回归直线方程至少过，中的一个点 B．若，，则回归直线过点 C．若父母平均身高增加，则儿子身高估计增加 D．若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数 【例2-3】（多选题）在用最小二乘法进行线性回归分析时，下列说法中正确的是（ ） A.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心； B.由样本点，，…，得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上； C.利用来刻画回归的效果，比的模型回归效果好； D.残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低； 题型三 回归直线方程 【例3-1】垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，，，，. （1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？ 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【例3-2】某研究机构为调查人的最大可视距离y(单位：米)和年龄x(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表： x 20 25 30 35 40 y 167 160 150 143 130 (1)根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)根据(1)中求出的经验回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离． 参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝，＝－． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册 导学 第八章 成对数据的统计分析 §8.2 一元线性回归模型及其应用 【教学目标】 1.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法. 2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力. 3.能通过实例说明决定系数R2的意义和作用，提高数据分析能力。 【重点】通过实例说明决定系数R2的意义和作用，提高数据分析能力。 【难点】能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力. 【知识要点】 【知识点1】一元线性回归模型 用X表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差,假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为, (1)为Y关于x的一元线性回归模型(simple linear regression model). 其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 【知识点2】经验回归方程 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 注意： 1.经验回归必过； 2.都是估计值； 3.与r符号相同. 【知识点3】残差分析. 我们称yi为响应变量Y的观测值，通过经验回归方程得到的为预测值.为了研究回归模型的有效性，定义残差为=yi-，残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析. 【知识点5】决定系数R2刻画回归效果. R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差. 【典型例题】 题型一：两个随机变量的相关关系与残差分析 【例1-1】经验表明,对于同一树种,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表所示,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 【解析】: 以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图如下： 散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关， 因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. 用d表示胸径,h表示树高,根据据最小二乘法,计算可得经验回归方程为 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 树高观测值/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 树高预测值/m 19.4 19.9 20.4 20.9 21.3 21.9 22.2 22.9 23.2 23.7 残差/m -0.6 -0.7 0.6 0.1 0.8 0.2 0.2 -0.3 -0.2 0.6 根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如下表所示.以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到上图. 观察残差表和残差图，可以看到残差的绝对值最大是 0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 .可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高. 【例1-2】某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表： 第天 1 2 3 4 5 使用人数() 15 173 457 842 1333 由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为________． 【答案】 【解析】令，则， 1 4 9 16 25 使用人数() 15 173 457 842 1333 ，， 所以，所以， 当时，， 所以残差为. 【例1-3】某同学为了解气温对热饮销售的影响，经过统计分析，得到了一个卖出的热饮杯数与当天气温的回归方程.下列选项正确的是（ ） A．与线性正相关 B．与线性负相关 C．随增大而增大 D．随减小而减小 【答案】B 【解析】由回归方程，可得：与线性负相关，且随增大而减小. 故选：B 【例1-4】下列描述中正确命题的个数为（ ） （1）最小二乘法的原理是使得最小 （2）样本相关系数越大，相关程度越大 （3）设有一个回归方程，变量增加一个单位时，减少个单位 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于（1），最小二乘法是使得样本数据点到回归直线的距离的评分和最小的方法，即使得最小，故正确； 对于（2），相关系数为负数时，样本相关系数越大，相关程度越小，故错误； 对于（3），变量增加一个单位时，平均减少个单位，故错误； 所以正确的命题个数为1个. 故选：B 【建立线性回归模型的基本步骤】： (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量． (2)画出解释变量与响应变量的散点图，观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型． (4)按一定规则（如最小二乘法）估计经验回归方程中的参数. (5)得出结果后需进行线性回归分析. ①残差平方和越小，模型的拟合效果越好. ②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好. 需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可. 题型二 经验回归方程及回归分析 【例2-1】人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 【解析】以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到下图，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程. 用Y表示男子短跑100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份 ,利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系 . 根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为： 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图： 仔细观察： 第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围， 而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律， 即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 【建立非线性经回归模型的基本步骤】 1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； 2.由经验确定非线性经验回归方程的模型； 3.通过变换，将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型； 4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； 5.消去新元，得到非线性经验回归方程； 6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 【例2-2】（多选题）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高（单位：）与父母平均身高（单位：）具有线性相关关系，通过样本数据，求得回归直线方程，则下列结论中正确的是（ ） A．回归直线方程至少过，中的一个点 B．若，，则回归直线过点 C．若父母平均身高增加，则儿子身高估计增加 D．若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数 【答案】BCD 【解析】对于A选项，回归直线方程，不一定经过，中的一个点，故A选项正确.对于B选项，回归直线方程过样本中心点，故B选项正确.对于C选项，由于，所以若父母平均身高增加，则儿子身高估计增加，故C选项正确. 对于C选项，若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数，正确. 故选：BCD 【例2-3】（多选题）在用最小二乘法进行线性回归分析时，下列说法中正确的是（ ） A.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心； B.由样本点，，…，得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上； C.利用来刻画回归的效果，比的模型回归效果好； D.残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低； 【答案】AC 【解析】线性回归直线必过样本点的中心，而样本点未必在回归直线上，即A正确，B错误； 相关指数越大，拟合效果越好，C正确；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，D错误. 故选：AC. 题型三 回归直线方程 【例3-1】垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，，，，. （1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？ 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【解析】（1）由题意知，相关系数. 因为与的相关系数接近1， 所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合. （2）由题意可得，， ， 所以. 当时，， 所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨. 【例3-2】某研究机构为调查人的最大可视距离y(单位：米)和年龄x(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表： x 20 25 30 35 40 y 167 160 150 143 130 (1)根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)根据(1)中求出的经验回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离． 参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝，＝－． 【解析】(1)由题意可得＝＝30，＝＝150， xiyi＝20×167＋25×160＋30×150＋35×143＋40×130＝22 045， x＝202＋252＋302＋352＋402＝4 750， 所以＝＝＝－1．82， 则＝－＝150＋1．82×30＝204．6， 故所求经验回归方程为＝－1．82x＋204．6． (2)当x＝50时，＝－1．82×50＋204．6＝113．6， 即年龄为50岁的人的最大可视距离约为113．6米． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $