8.2 一元线性回归模型及其应用 导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

选择性必修第三册第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用 一、问题导学：引言：恩格尔系数(Engel’s Coefficient)指的是居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额．一个家庭收入越少，家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 思考：恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何 对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 二、知识构建 知识点一　一元线性回归模型 我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差． 知识点二　线性经验回归方程与最小二乘法 1.回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 2.经验回归方程与最小二乘: 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate）， 其中 3.求经验回归方程的一般步骤 (1)作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； (2)列表求出的值； (3)利用公式先计算，再根据经验回归直线过样本点的中心计算； (4)写出经验回归方程. 知识点三 残差分析 1.残差：观测值减去预测值称为残差 2.残差分析：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的 知识点四 刻画回归效果的方式 1. 残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． 2.残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.残差平方和越大，模型拟合效果越差． 3.利用决定系数刻画拟合效果 =. 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 三、类型归纳 题型一：残差的计算 题型二：刻画回归效果的判定 题型三：计算样本点中心及由样本点中心计算参数 题型四：利用回归直线方程对总体进行估计 题型五：非线性回归分析 1、 类型应用 题型一：残差的计算 【例1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·开学考试）色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（    ） A．0.6 B．0.4 C． D． 【答案】A 【知识点】残差的计算 【分析】将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】当时，， 所以该数据的残差为． 故选：A． 【跟踪训练1-1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（    ） A． B．1 C．3 D．6 【答案】B 【知识点】残差的计算 【分析】利用残差的定义求解. 【详解】解：因为时的预测值为， 所以残差为． 故选：B． 【跟踪训练1-2】（24-25高三下·辽宁·阶段练习）探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（   ） A． B．0.2 C． D．0.1 【答案】D 【知识点】残差的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】先根据回归直线计算，再根据残差公式计算即可. 【详解】令，得，则所求残差为． 故选：D. 【跟踪训练1-3】（24-25高二上·吉林·期末）某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（   ） A． B． C．2cm D．3cm 【答案】A 【知识点】残差的计算 【分析】首先根据回归方程求小王身高的预测值，再计算残差. 【详解】当时，得，则（）， 所以小王身高的残差为. 故选：A 【跟踪训练1-4】（2025·河北沧州·一模）若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（   ） A． B．1.5 C．0.5 D． 【答案】B 【知识点】残差的计算、根据样本中心点求参数 【分析】先求出线性回归方程，再由残差的定义求解即可. 【详解】依题意，，所以，即经验回归方程为， 又当时，，所以样本点的残差为， 故选：B. 【跟踪训练1-5】（24-25高二下·全国·课后作业）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表，已知，则时，残差为 ． 广告支出费用/万元 1 3 4 6 11 销售量万件 1.9 3.2 4.4 6.3 12.7 【答案】2.02 【知识点】残差的计算、根据样本中心点求参数 【分析】先求出样本点的中心点，然后代入回归方程求出，从而求出当时，解得，从而可求解. 【详解】由题意，， 而样本点的中心点在经验回归直线上， 代入得，解得． 所以，当时，解得， 所以残差为． 故答案为：. 【跟踪训练1-6】（24-25高三上·湖北·期中）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求回归直线方程、残差的计算、根据样本中心点求参数 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 【跟踪训练1-7】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2.9 【答案】B 【知识点】残差的计算 【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程可得答案. 【详解】由线性回归方程，取，得， 又相应于点的残差为，， 解得. 故选：B. 题型二：刻画回归效果的判定 【例2】（2022·甘肃兰州·一模）在线性回归模型中相关指数越大，则模型的拟合效果（    ） A．越差 B．越好 C．与拟合效果的好坏没有关系 D．三者都不正确 【答案】B 【知识点】相关指数的计算及分析 【分析】 根据相关指数的概念分析判断. 【详解】因为相关指数，且越接近于1，拟合效果越好， 即相关指数越大，拟合效果越好. 故选：B. 【跟踪训练2-1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【答案】C 【知识点】相关指数的计算及分析 【分析】根据决定系数的定义判断即可. 【详解】因为越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3. 故选：C 【跟踪训练2-2】（23-24高二下·山西·阶段练习）在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（   ） 模型 1 2 3 4 0.67 0.85 0.49 0.23 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【答案】B 【知识点】相关指数的计算及分析 【分析】利用决定系数的大小与拟合效果的关系判断即得. 【详解】在线性回归分析中，越大拟合效果越好，越小拟合效果越差， 而，所以模型2的拟合效果最好． 故选：B 【跟踪训练2-3】（23-24高二下·山东聊城·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（    ） A．残差图越宽 B．残差平方和越小 C．决定系数越小 D．相关系数越大 【答案】B 【知识点】相关系数的意义及辨析、相关指数的计算及分析 【分析】根据残差、决定系数、相关系数的概念判断即可. 【详解】残差图越宽，模型的拟合效果越差，故A错误； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B正确； 决定系数越小，说明模型的拟合效果越差，故C错误； 相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误； 故选：B 【跟踪训练2-4】（23-24高二下·山东青岛·期中）下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（   ） A．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C．在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位 D．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 【解题思路】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可. 【解答过程】对于A，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误； 对于C，的含义就是x每增加一个单位，估计值就平均减少0.5个单位，故C正确； 对于D，是描述拟合效果的，越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练2-5】（23-24高二下·海南·期末）以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（    ） A．相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 C．点一定在经验回归直线上 D．若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就增加10个单位 【解题思路】由相关系数的定义求解选项A.由残差图的含义求解选项B.由线性回归方程的性质知点一定在经验回归直线上求解选项C.由经验回归方程的性质和意义求解选项D. 【解答过程】选项A：由相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱，可知选项A正确； 选项B：由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好可知选项B正确; 选项C：由点一定在经验回归直线上知选项C正确; 选项D:由回归方程的性质可知；若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就平均增加3个单位，可知D选项C错误. 故选：D. 【跟踪训练2-6】（2024·浙江·一模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．，不具有线性相关性 B．决定系数变大 C．相关系数变小 D．残差平方和变小 【答案】C 【知识点】相关系数的意义及辨析、相关指数的计算及分析 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱， 但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确 对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确； 对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差. 所以相关系数的绝对值越趋于0，故C正确； 对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确； 故选：C. 【跟踪训练2-7】（24-25高二下·全国·课后作业）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本中心点处的残差为，则决定系数的值为 （结果保留两位小数）． 【答案】 【知识点】根据样本中心点求参数、残差的计算 【分析】先根据数据在样本中心点处的残差求，再根据回归直线方程必过样本中心点，求出，做出残差表，根据公式求决定系数的值. 【详解】由题知，可得． 又， 由，可得． 列出残差表： 0.1 0.1 0.2 0 0 所以． 故答案为： 题型三：计算样本点中心及由样本点中心计算参数 【例3】（23-24高二下·天津北辰·期中）如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算样本的中心点 【分析】利用y关于x的经验回归直线必过中心点,计算即得. 【详解】由，，，，可得， ，， 则y关于x的经验回归直线必过点. 故选：A. 【跟踪训练3-1】（24-25高二上·广西梧州·期末）由数据可得关于的线性回归方程为，若，则 . 【答案】32 【知识点】根据回归方程求原数据中的值、根据样本中心点求参数 【分析】根据线性回归方程过求解即可. 【详解】依题意，，由，得，解得，所以. 故答案为：32 【跟踪训练3-2】（2024高三·全国·专题练习）已知x，y的对应取值如下表，可得到回归直线方程为则，（   ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0 【答案】B 【知识点】计算样本的中心点、根据样本中心点求参数 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，再利用回归直线的性质求出. 【详解】依题意，， 而回归直线过点，则，所以. 故选：B 【跟踪训练3-3】（23-24高三上·浙江·开学考试）已知某生产商5个月的设备销售数据如下表所示： 时间代码 1 2 3 4 5 销售台数（单位：百台） 5 7 8 14 16.5 生产商发现时间代码和销售台数有很强的相关性，决定用回归方程进行模拟，则的值是（    ） 参考数据、公式：；；若，则 A．3.2 B．3.1 C．3 D．2.9 【答案】C 【知识点】求回归直线方程、计算几个数的平均数 【分析】计算出，代入公式，求出. 【详解】，， 故. 故选：C 【跟踪训练3-4】（24-25高三上·广东·期末）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（   ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、根据样本中心点求参数 【分析】由表格求出和，根据样本中心点必在线性回归直线上即可求得. 【详解】由表可知：，， 因样本中心点必在线性回归直线上，故有， 代入得：，解得. 故选：B. 【例4】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（     ）. X Y A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算样本的中心点、求回归直线方程 【分析】利用回归直线方程过样本中心点即可求解. 【详解】由表中数据可得，， 所以样本中心点为，代入选项中检验B正确. 故选：B. 【跟踪训练4-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（    ） A．3 B．5 C．5.2 D．6 【答案】A 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程求原数据中的值 【分析】由数据得出样本中心点，再代入回归直线方程计算即可. 【详解】易知，代入得. 故选：A 【跟踪训练4-2】（23-24高二下·广东东莞·期末）两个相关变量满足如下关系： 2 3 4 5 6 25 ● 46 58 65 根据表格已得经验回归方程为.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（    ） A．35.5 B．36 C．36.5 D．37 【答案】B 【知识点】计算样本的中心点、根据回归方程求原数据中的值 【分析】应用回归直线过样本中心点代入求参即可. 【详解】因为，代入, 所以. 故选：B. 【跟踪训练4-3】（23-24高三上·重庆·期中）已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】根据样本中心点求参数、计算样本的中心点、根据回归方程求原数据中的值 【分析】由题意求出，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程，即可求得答案. 【详解】由题意知回归方程为过点，则， 即； 又，， 由于回归方程为必过样本中心点， 故， 故选：C 【跟踪训练4-4】（2024·四川宜宾·三模）某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（    ） A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.5 【答案】B 【知识点】根据回归方程进行数据估计、计算样本的中心点、求回归直线方程 【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解. 【详解】由表中数据可知，， 所以，解得， 所以当宣传费用时，销售额y的估计值为. 故选：B. 【跟踪训练4-5】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（    ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A．65 B．67 C．73 D．75 【答案】B 【知识点】残差的计算、根据回归方程求原数据中的值 【分析】利用样本点处的残差为3，求得，再由，求得，进而可求得. 【详解】由条件知当时，， 代入，解得，于是， 又，所以，即，解得. 故选：B． 题型四：利用回归直线方程对总体进行估计 【例5】（22-23高二下·福建三明·期中）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 附：参考公式：回归方程， 其中，. 参考数据：，. 【答案】(1) (2)该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 【知识点】根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程 【分析】（1）计算相关数据代入回归方程公式中计算即可； （2）设工厂获得的利润为万元，写出关于单价的二次函数，求出最大利润即可. 【详解】（1）因为， ， 所以. 则， 因此回归直线方程为. （2）设工厂获得的利润为万元， 则， 所以该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 【跟踪训练5-1】（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）回归方程，当x每增加1时，的变化为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据回归方程进行数据估计 【分析】结合题意得到，再将两式相减，得到结果即可. 【详解】因为，所以当x每增加1时，， 则，得到的变化为，故B正确. 故选：B. 【跟踪训练5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5)，则y与x之间的线性回归方程为 ． 【答案】 【知识点】求回归直线方程 【分析】先求出和，再根据公式求出，再结合，求出，即可得出线性回归方程. 【详解】由已知可得， ， ， ， 所以， 所以. 故答案为： 【跟踪训练5-3】（23-24高一下·江西宜春·期中）某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若广告支出为10万元，销售额应为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】(1) (2)82.5万元. 【知识点】求回归直线方程 【分析】第（1）问，利用参考公式分别求出和即可； 第（2）问，将x=10代入（1）中线性回归方程预测销售额. 【详解】（1）解：由已知，， ， ， ， ∴， ∴， ∴关于的线性回归方程为：. （2）由（1）中回归方程，当时，（万元） 因此，若广告支出为10万元，销售额约为82.5万元. 【跟踪训练5-4】（2023·陕西宝鸡·一模）某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表. 年份代号 1 2 3 4 5 高考人数（千人） 35 33 28 29 25 （其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5） (1)求关于的线性回归方程； (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数； (3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因. （参考公式：） 【答案】(1) (2)22.8千人 (3)答案见解析 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；（3）言之有理，客观分析即可. 【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知， ，. 所以， 所以， 所以关于的回归方程. （2）由（1）得关于的回归方程. 令，（千人）， 所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人. （3）①该市经济发展速度慢； ②该市人口数量减少； ③到省会城市求学人数增多. 【跟踪训练5-5】（22-23高二上·四川成都·阶段练习）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为. (1)若9月份物流成本是90万元，预测9月份利润； (2)经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元，重新预测9月份的利润. 附：，，，. ，. 【答案】(1)136.2万元 (2)131.2万元 【知识点】求回归直线方程、根据回归方程进行数据估计 【分析】(1)直接利用回归方程预测求解； (2)根据题意，结合已知数据利用最小二乘法公式求解即可. 【详解】（1）9月份利润：万元. （2）由已知数据可得：， 因为点在回归直线上，所以， 所以, 因为8月份的真正利润应该为116万元， 此时， 又，所以， ， 所以数据核实后的新的线性回归方程为， 令，得万元. 所以重新预测9月份的利润为万元. 题型五：非线性回归分析 【例6】（22-23高二下·山东枣庄·阶段练习）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：    由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】非线性回归 【分析】根据散点图的变化趋势，结合常见函数的性质特征可得. 【详解】由图可知，随着稳定的增加，发芽率的增长速度越来越慢，符合对数型函数的特征. 故选：D 【跟踪训练6-1】（22-23高二下·陕西西安·期末）如图是某地在50天内感染新冠病毒的累计病例y（单位：万人）与时间x（单位：天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】非线性回归 【分析】由选项的图象特征即可得到答案. 【详解】选项A，对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，故A错误； 选项B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近， 则的图象可以如图所示，故B正确； 选项C，对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故C错误； 选项D，对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练6-2】（2025高三下·全国·专题练习）在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】非线性回归 【分析】利用特值法代入各选项中的函数，判断与变量的数据误差，从而可得对，最适合的拟合函数. 【详解】根据，代入A选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除A； 根据，代入B选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除B， 根据，代入B选项的函数计算得与 误差较大，可以排除C； 将各数据代入函数，可知D选项的函数为对，最适合的拟合函数． 故选：D. 5、 素养提升 1.（23-24高二下·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、相关指数的计算及分析、残差的计算、相关系数的意义及辨析 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B；正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断D. 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确． 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故D错误. 故选：B． 2.（23-24高二下·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 【答案】D 【知识点】相关系数的意义及辨析、残差的计算、相关指数的计算及分析、正态曲线的性质 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断B，正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断D； 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故B错误. 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确． 故选：D． 3.（23-24高二下·西藏拉萨·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 A．由题中数据可知，变量负相关 B．当时，残差为0.1 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 【答案】C 【知识点】残差的计算、计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】对于A，利用表中的数据就化情况分析判断，对于B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程可求出预测值，进而可求出残差，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，， 所以，得， 所以， 所以当时，残差为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可知，所以D正确. 故选：C 4.（24-25高二下·全国·课后作业）某蔬菜的保鲜时间（小时）与存放温度样本数据如下表所示： 存放温度 21 15 10 6 3 保鲜时间小时 6 14 26 33 41 建立关于的一元线性回归模型，预测存放温度为时，这种蔬菜的保鲜时间约为 小时（，及结果保留到整数）；该模型的决定系数 （保留2位小数）.附：. 【答案】 42 0.99 【知识点】根据回归方程进行数据估计、相关指数的计算及分析、求回归直线方程 【分析】利用最小二乘法求解线性回归方程，进行估算判断第一空，利用给定公式求解第二空即可. 【详解】计算得， 所以， 故线性回归方程为，当时，， 所以可估计其保鲜时间约为42小时； 因为，，所以． 故答案为：42；0.99 5.（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 【答案】(1)，14.99千人 (2) 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程、计算条件概率 【分析】（1）根据公式和已知的数据直接求解，从而可求得关于的回归直线方程，将代入回归方程可预测第10天入校参观的人数； （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）依题意，， ，所以． 当时，， 答：第10天入校参观的人数约为14.99千人． （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求． 则， ， 所以． 答：他们从不同门进校的概率为． 6.（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）一研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在连续6个月内，对月份和关注人数(单位：百)( )数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并建立y关于x的回归方程； (2)现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1 600人的月份个数的分布列和数学期望． 参考公式：相关系数， 若，则y关于x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系，，． 【答案】(1)可用线性回归模型拟合与的关系；回归方程为 (2)分布列见详解； 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据散点图，根据题中数据和公式求得相关系数，分析说明即可；再求得，，，写出回归方程； （2）由题意可得可能的取值为0，1，2，3，结合超几何分布分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）由题意可得：，， 则，且，， 可得相关系数， 由于关于的相关系数， 这说明关于的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系； 由题意可得：，， 所以回归方程为. （2）由题意可知：关注人数不低于1 600人的月份个数有3个， 可知可能的取值为0，1，2，3，则有： ；； ；. 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第三册第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用 一、问题导学：引言：恩格尔系数(Engel’s Coefficient)指的是居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额．一个家庭收入越少，家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 思考：恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何 对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 二、知识构建 知识点一　一元线性回归模型 我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差． 知识点二　线性经验回归方程与最小二乘法 1.回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 2.经验回归方程与最小二乘: 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate）， 其中 3.求经验回归方程的一般步骤 (1)作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； (2)列表求出的值； (3)利用公式先计算，再根据经验回归直线过样本点的中心计算； (4)写出经验回归方程. 知识点三 残差分析 1.残差：观测值减去预测值称为残差 2.残差分析：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的 知识点四 刻画回归效果的方式 1. 残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． 2.残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.残差平方和越大，模型拟合效果越差． 3.利用决定系数刻画拟合效果 =. 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 三、类型归纳 题型一：残差的计算 题型二：刻画回归效果的判定 题型三：计算样本点中心及由样本点中心计算参数 题型四：利用回归直线方程对总体进行估计 题型五：非线性回归分析 1、 类型应用 题型一：残差的计算 【例1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·开学考试）色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（    ） A．0.6 B．0.4 C． D． 【跟踪训练1-1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（    ） A． B．1 C．3 D．6 【跟踪训练1-2】（24-25高三下·辽宁·阶段练习）探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（   ） A． B．0.2 C． D．0.1 【跟踪训练1-3】（24-25高二上·吉林·期末）某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（   ） A． B． C．2cm D．3cm 【跟踪训练1-4】（2025·河北沧州·一模）若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（   ） A． B．1.5 C．0.5 D． 【跟踪训练1-5】（24-25高二下·全国·课后作业）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表，已知，则时，残差为 ． 广告支出费用/万元 1 3 4 6 11 销售量万件 1.9 3.2 4.4 6.3 12.7 【跟踪训练1-6】（24-25高三上·湖北·期中）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1-7】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2.9 题型二：刻画回归效果的判定 【例2】（2022·甘肃兰州·一模）在线性回归模型中相关指数越大，则模型的拟合效果（    ） A．越差 B．越好 C．与拟合效果的好坏没有关系 D．三者都不正确 【跟踪训练2-1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【跟踪训练2-2】（23-24高二下·山西·阶段练习）在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（   ） 模型 1 2 3 4 0.67 0.85 0.49 0.23 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【跟踪训练2-3】（23-24高二下·山东聊城·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（    ） A．残差图越宽 B．残差平方和越小 C．决定系数越小 D．相关系数越大 【跟踪训练2-4】（23-24高二下·山东青岛·期中）下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（   ） A．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C．在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位 D．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 【跟踪训练2-5】（23-24高二下·海南·期末）以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（    ） A．相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 C．点一定在经验回归直线上 D．若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就增加10个单位 【跟踪训练2-6】（2024·浙江·一模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．，不具有线性相关性 B．决定系数变大 C．相关系数变小 D．残差平方和变小 【跟踪训练2-7】（24-25高二下·全国·课后作业）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本中心点处的残差为，则决定系数的值为 （结果保留两位小数）． 题型三：计算样本点中心及由样本点中心计算参数 【例3】（23-24高二下·天津北辰·期中）如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3-1】（24-25高二上·广西梧州·期末）由数据可得关于的线性回归方程为，若，则 . 【跟踪训练3-2】（2024高三·全国·专题练习）已知x，y的对应取值如下表，可得到回归直线方程为则，（   ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0 【跟踪训练3-3】（23-24高三上·浙江·开学考试）已知某生产商5个月的设备销售数据如下表所示： 时间代码 1 2 3 4 5 销售台数（单位：百台） 5 7 8 14 16.5 生产商发现时间代码和销售台数有很强的相关性，决定用回归方程进行模拟，则的值是（    ） 参考数据、公式：；；若，则 A．3.2 B．3.1 C．3 D．2.9 【跟踪训练3-4】（24-25高三上·广东·期末）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（   ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9 【例4】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（     ）. X Y A． B． C． D． 【跟踪训练4-1】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（    ） A．3 B．5 C．5.2 D．6 【跟踪训练4-2】（23-24高二下·广东东莞·期末）两个相关变量满足如下关系： 2 3 4 5 6 25 ● 46 58 65 根据表格已得经验回归方程为.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（    ） A．35.5 B．36 C．36.5 D．37 【跟踪训练4-3】（23-24高三上·重庆·期中）已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 【跟踪训练4-4】（2024·四川宜宾·三模）某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（    ） A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.5 【跟踪训练4-5】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（    ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A．65 B．67 C．73 D．75 题型四：利用回归直线方程对总体进行估计 【例5】（22-23高二下·福建三明·期中）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 附：参考公式：回归方程， 其中，. 参考数据：，. 【跟踪训练5-1】（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）回归方程，当x每增加1时，的变化为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5)，则y与x之间的线性回归方程为 ． 【跟踪训练5-3】（23-24高一下·江西宜春·期中）某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若广告支出为10万元，销售额应为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【跟踪训练5-4】（2023·陕西宝鸡·一模）某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表. 年份代号 1 2 3 4 5 高考人数（千人） 35 33 28 29 25 （其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5） (1)求关于的线性回归方程； (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数； (3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因. （参考公式：） 【跟踪训练5-5】（22-23高二上·四川成都·阶段练习）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为. (1)若9月份物流成本是90万元，预测9月份利润； (2)经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元，重新预测9月份的利润. 附：，，，. ，. 题型五：非线性回归分析 【例6】（22-23高二下·山东枣庄·阶段练习）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：    由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6-1】（22-23高二下·陕西西安·期末）如图是某地在50天内感染新冠病毒的累计病例y（单位：万人）与时间x（单位：天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练6-2】（2025高三下·全国·专题练习）在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 5、 素养提升 1.（23-24高二下·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 2.（23-24高二下·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 3.（23-24高二下·西藏拉萨·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 A．由题中数据可知，变量负相关 B．当时，残差为0.1 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 4.（24-25高二下·全国·课后作业）某蔬菜的保鲜时间（小时）与存放温度样本数据如下表所示： 存放温度 21 15 10 6 3 保鲜时间小时 6 14 26 33 41 建立关于的一元线性回归模型，预测存放温度为时，这种蔬菜的保鲜时间约为 小时（，及结果保留到整数）；该模型的决定系数 （保留2位小数）.附：. 5.（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 6.（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）一研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在连续6个月内，对月份和关注人数(单位：百)( )数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并建立y关于x的回归方程； (2)现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1 600人的月份个数的分布列和数学期望． 参考公式：相关系数， 若，则y关于x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$