湖北省通山县第一中学2025-2026学年高一下学期期末模拟考试数学卷

**基本信息** 高一数学期末模拟卷覆盖必修一至必修八核心内容，以海洋蓝洞测量、费马问题等真实情境为载体，融合复数、向量、立体几何等知识，考查数学抽象、空间想象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数运算、向量关系、线面位置|第6题结合海洋蓝洞测量考查解三角形，体现应用意识| |填空题|3/15|向量分解、三棱锥外接球、锐角三角形性质|第12题以线段比例求最值，渗透数学抽象| |解答题|5/77|直三棱柱证明与距离、函数图像变换、费马问题应用|第19题引入费马问题探究三角形距离最值，培养创新思维与模型观念|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（1) (测试范围：必修一第五章-一必修第八章) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。 1.已知复数z引则z() A.2+i B.2-i C.-2-i D.-2+i 2.已知向量a=(1,m,b=(4,-m),则“a1”是“m=2的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知1，，n是互不重合的三条直线，，阝，Y是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是() A.若1∥m,mC,则1∥ B.若1⊥m,1Ln,mCa,nCa,则1Lc C.若1与m是异面直线，1co,mc阝，则a∥B D.若c∩B=l,B∩y=m,∩y=n,1/∥Y,则m∥n 4.在长方体ABCD-AB1C1D1中，AB=AD=2V3,AA1=2,则直线AD1与BD所成角的余弦值为() A.写 B.9 c.9 D.9 5.在正四棱台ABCD-AB,CD中，AB=2,AB=1,AA=V2,则该棱台的体积为() A.72 B.76 c.7W7 3 D.3V6 6 6 2 6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞 的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=20m,∠ADB=135°， ∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A、B两点的距离为() A.10v3m B.202m C.20v3m D.20v5m 7.将函数f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移”个 6 单位长度，得到()=mx+写，则下列结论正确的是(） A.f(x)的最小正周期为元 B.f)在0，上单调递减 C四图像关于直线x=行对称 D.)图像关于点(G0对称 8.在平行四边形ABCD中，AD=3,AC=4,cos∠ADC-, 现将△DAC沿AC折叠至△PAC,使 得PB=34,则AB与平面PBC所成的角的正弦值为() A. B.号 c.号 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量，b满足+b=(-2,1),a-b=(2,3),则() A.向量a为单位向量 B.|a2-lb=-1 c。向量a与向量6的夹角的余弦值为号 D.向量a与向量b上的投影向量坐标为(，) 10.如图所示，在正方体ABCD-ABC,D中，M,W分别为棱CD,CC的中点，则下列结论正确的 是( ) D A B 4- A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB,是异面直线 C.平面ABCD与平面4CM所成角的余弦值为 D.M,N,B,A四点共面 11.已知函数f(x)=-23sim2 c0s(π-2x)+V5,则下列结论正确的是（) A若函数图象向左平移君个单位，则函数图象关于)轴对称 8若2ma-5omsa=0,则fa)号 C若方程f)=在〔到内恰有两个根气和x(:<x),则m(2x-2x）-压 36 0若高改了)0)在子上年用院成，在可上有且只有一个李点，则如的氨值田 「157 66 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（本题5分)在ABC中，D为AB上一点且满足AD=3DB.若P为线段CD上一点，且 A亚=AB+AC(2,为正实数)， 则房立的是小为 13.已知三棱锥P-ABC的三条棱PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=1,则该三棱锥的外接球的 表面积为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若(a-b)sinA= 2S,则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知同=4，园=2，且ā与3夹角为60 (1)求2a-: (2)求a与2a-b的夹角的余弦值. 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-ABC1中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别为AB,AC1的中点. B E (1)证明：DE∥平面BCC,B; (2)设CC,=2,直线DE与平面ACC,A所成的角为45°，求直线DE到平面BCC,B,的距离. 17.(15分)已知在△4BC中，AB=3,BC=25,cosB=5 1 (1)求c0sA; (2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上，DE1IBC,AE⊥AC.若DE=√6，求CE. 18.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4，E,F分别是CC,AD上的点，且CE=1,AF=2. D : 、 A B B (1)求直线AB与EF所成角的余弦值. (2)设G是线段EF上的动点（含端点）. ()判断三棱锥G-A,BD的体积是否为定值若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值 《D当QG1?平面AD时，求C的值 19.费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问 题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托 里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120的点P就 是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当△ABC的一个内角大于120时，最大内 角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题： 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是ab,c,若驰=mA+1,Q=2V3. c tanc (1)求A: (2)设点P为△ABC的费马点， ①若PA.PB+PB.PC+PC.PA=-4,求AB.AC: ②设∠PBA=,45°<a<60°，求的取值范围. PC 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（1） （测试范围：必修一第五章--必修第八章） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。 1．已知复数，则（　　） A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知l，m，n是互不重合的三条直线，α，β，γ是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（　　） A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若l与m是异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，则m∥n 4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AA1＝2，则直线AD1与BD所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（     ） A． B． C． D． 7. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 8．在平行四边形ABCD中，AD＝3，AC＝4，，现将△DAC沿AC折叠至△PAC，使得PB，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量满足，则（　　） A．向量为单位向量 B． C．向量与向量的夹角的余弦值为 D．向量与向量上的投影向量坐标为 10. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）． A. 直线与是平行直线 B. 直线与是异面直线 C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. M，N，B，四点共面 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（本题5分）在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 13．已知三棱锥P﹣ABC的三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，则该三棱锥的外接球的表面积为 　 　 ． 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若（a2﹣b2）sinA＝2S，则的取值范围为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 17．（15分）已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 18. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 19.费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点称为费马点，当的一个内角大于时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． 求； 设点为的费马点， 若，求； 设，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年通山一中高一年级数学试卷答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D D B D A B BD BCD ABD 12. 3 13. 3π 14. 8．在平行四边形ABCD中，AD＝3，AC＝4，，现将△DAC沿AC折叠至△PAC，使得PB，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC，即16＝9+CD2﹣6CD•，解得CD＝5（舍负），故AC2+AD2＝CD2，可得AC⊥CD，在Rt△AOD中，OD，可得PO＝BO，等腰△POB中，cos∠PBO，所以△PBD中，PD，在△PAD中，PA＝AD＝3，所以∠PAD＝90°，可得S△PADPA•AD，因为AC⊥PA，AC⊥AD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，所以AC⊥平面PAD，可得VC﹣PADS△PAD•AC6，在△PBC中，PB2＝PC2+BC2＝34，所以∠PCB＝90°，可得S△PBCPC•BC，设点A到平面PBC的距离为d，则VC﹣PAD＝VP﹣ABC＝6，即，解得d，若AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】 . 将函数的图象向左平移个单位， 可得平移后的函数为：， 因为是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确； 若，则，. ， ， 所以，故B正确； 由得，即，时，，又，则， 方程在内恰有两个根和， 则和关于对称，故，即， 由题意，，， 则， 所以 ，故C错误； 因为， 由，解得， 故函数的单调递减区间为， 因为函数在上单调递减， 所以， 则且， 因为，则时符合，即且，解得， 令，得，解得， 若函数在上有且只有一个零点， 所以有且只有一个整数解. 即有且只有一个整数解，则，解得， 综上可得，即的取值范围是，故D正确， 故选：ABD. 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若（a2﹣b2）sinA＝2S，则的取值范围为 　　 ． 【解析】 根据题意可知，（a2﹣b2）sinA＝2S，则，∵sinA≠0（A是三角形内角，0＜A＜π），等式两边约去sinA得a2﹣b2＝bc，由余弦定理得b2+c2﹣2bccosA﹣b2＝bc，c2﹣2bccosA﹣bc＝0，两边除以c得c﹣2bcosA﹣b＝0，即c＝b（2cosA+1），由正弦定理得sinC＝（2cosA+1）sinB， ∵A+B+C＝π，∴C＝π﹣（A+B），sinC＝sin（π﹣（A+B））＝sin（A+B），则sin（A+B）＝（2cosA+1）sinB，展开sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB＝2cosAsinB+sinB，即sin（A﹣B）＝sinB，∵△ABC是锐角三角形，∴A﹣B＝B（A﹣B＝π﹣B会导致A＝π，舍去），则A＝2B， 又∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，由正弦定理得，∵，∴，则，，即的取值范围是． 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 ∵，且与夹角为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ 16.本小题分 直三棱柱 中，，， 分别为 的中点．  证明： 平面；  设，直线 与平面 所成的角为，求直线 到平面 的距离． 【答案】证明：取中点，中点，连接，，． 在中，，为，中点，所以，． 在中，，为，中点，所以，． 所以，，四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面所以平面． 取中点，连接，因为，为，中点，所以． 因为直三棱柱，所以平面． 因为平面， 所以因为， 所以． 因为，所以平面，所以平面． 点在平面的垂足为，直线与平面所成角为． 在中，为中位线，所以． 在中，，所以． 因为，所以． 因为平面，所以直线到平面的距离等价于点到平面 的距离因为， 同理平面． 因为平面，所以平面． 所以，故直线到平面的距离为． 17.本小题分已知在 中，，，．  求；  设 两点满足： 在 的延长线上，，若，求． 【答案】解：在中， 所以． 则． 设因为，设． 因为． 又，所以，． 因为，，所以，． 因为，所以． 因为，所以，． ，， ． 18. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）不是，体积最小值为；（ii） 【小问1详解】 在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 （i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 19.本小题分 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点称为费马点，当的一个内角大于时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． 求； 设点为的费马点， 若，求； 设，，求的取值范围． 【答案】解：在中， 由正弦定理得： 因为在中，，， 从而且， 所以． 设，， 则， 则 由 得：，则 在中，由余弦定理得： 代入得：， 则，或，， 则． 根据题意得：因为，所以的三个内角均小于， 从而费马点在的内部，设， 则，，， 在和中，分别由正弦定理得： ， 两式相除得： 因为， 所以，， 则的取值范围是．   学科网（北京）股份有限公司 $