2026年湖南省初中学业水平考试暨中考数学模拟试题

**基本信息** 原创题占比高，情境融合科技（神舟十七号零部件检测）、生活（护眼灯角度计算）、文化（正五边形五角星制作），注重用数学眼光观察现实世界与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数与式、图形变换、概率、调查方式|原创题结合科技情境（如零部件质量检测）和生活场景（如护眼灯）| |填空题|8/24|平行线性质、二次根式、函数应用、几何作图|正五边形角度计算等原创题，体现文化传承| |解答题|8/66|圆的证明、应用题、统计概率、几何综合、二次函数|半角模型拓展至平行四边形绿地问题，注重数学思维与模型意识|

绝密★启用前 2025年初中学业水平考试 暨中考数学模拟预测押题试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.（原创）下列各数中，最小的是(    ) A. B. C. D. 2.（原创）从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助以下是款不同图标，其中是轴对称图形的是(    ) 3.（原创）如图，三根铜线 AD、BE、CF 一同穿过纸筒，其中铜线 BE 在纸筒右侧串联了一节干电池。从纸筒左端的三个线头 \(A,B,C\) 中随机选取两个用导线相连，同时从纸筒右端的三个线头 \(D,E,F\) 中随机选取两个打结，使电路接通。则电路发生短路的概率是（ ） A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.将方程两边同乘后，可变形为(    ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度再向下平移个单位长度得到点，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 7.（原创）下列调查中，适合采取全面调查的是（） A. 检测 “神舟十七号” 载人飞船零部件的质量是否达标 B. 测试一批智能感应灯的使用寿命 C. 测试一批新能源家用汽车的防撞性能 D. 统计某市全体居民的人均月收入 8.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 9.在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则(    ) A. B. C. D. 10.（原创）如图，将量角器与含 30°角的三角板按图示方式紧靠放置，D、C、B 三点共线，DC=2BC。过点A作量角器圆弧的切线，切点为E。已知AB=6cm，则的长度为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为            ． 12.把化成最简二次根式的结果为        ． 13.因式分解：        ． 14.将分式化为最简分式的结果为            ． 15.图中反映某网约车平台收费元与所行驶的路程千米的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费元，若车速始终保持千米时不变，不考虑其它因素红绿灯、堵车等，他从家到机场需要的时间是        小时． 16.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的面积为        ． 17.（原创）手工课上，同学们用一张正五边形的卡纸制作五角星徽章，制作时需要确定折痕的角度。如图，正五边形，联结、交于点，那么的度数是        ． （17题） （18题） 18.如图，、在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点，为中点，在结论：；；；若，则的最小值为中，正确的有        ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 21.本小题分 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，为的切线，过切点作于点． 求证：； 若，求的长． 22.本小题分 某学校计划购买甲、乙两种型号的机器人模型经市场调研得到以下信息： 信息一：甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多元； 信息二：用元购买甲型机器人模型和元购买乙型机器人模型的数量相同． 求甲型、乙型机器人模型的单价分别是多少元？ 学校准备再次购买甲型和乙型机器人模型共台，购买乙型机器人模型的数量不超过甲型机器人模型的倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠问购买甲型和乙型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23.本小题分 某公司推出了甲、乙两款人工智能软件，有关人员对两款软件的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析分数用表示，分为四个等级：：，：，：，：，下面给出了部分信息： 信息一：甲款评分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 信息二：乙款评分数据中组包含的所有数据： ，，，，，，，． 甲、乙两款评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______，______，______； 在此次评分测验中，共有人参与对甲款进行评分，请通过计算，估计对甲款软件非常满意的人数； 若现有甲、乙、丙三款人工智能软件，小刚和小亮各选择其中的一款软件进行体验，求两人选择同一款软件的概率． 24.本小题分 某种水龙头关闭时如图所示，将其简画成图，点、、共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，，连接，，，． 求的长度结果保留一位小数； 如图，当开关开到最大时，旋转到的位置，旋转角，求此时点到台面的距离结果保留一位小数参考数据：，， 25.本小题分 【问题发现与证明】 如图，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题将绕点顺时针旋转，得到可证：≌请完成下面的问题． ______ 求证：． 【问题拓展与应用】 某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图所示，四边形是平行四边形，已知米，米，为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 26.本小题分 如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点和点，与轴交于点． 求抛物线的解析式，并直接写出点和点的坐标； 若点在直线上方的抛物线上，横坐标为，过点作轴，轴，分别与直线交于点和点． 用含的代数式表示点的坐标为______； 先判断与的数量关系，再求线段的最大值； 将抛物线平移，使其顶点为，得到抛物线． 已知直线与抛物线在范围内的部分有唯一一个交点，求的取值范围； 直线与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点小明经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点请你直接写出这个定点的坐标． 【参考知识：若，，则线段的中点的坐标为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年湖南中考数学模拟试卷双向细目表 2026年湖南省初中学业水平考试暨中考数学模拟预测押题试卷命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 实数的大小比较、立方根的定义 选择题 3 0.9 基础题 2 轴对称图形的识别 选择题 3 0.85 基础题 3 概率的计算、列表法/树状图法求概率 选择题 3 0.75 基础题 4 整式的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式） 选择题 3 0.8 基础题 5 分式方程的去分母变形 选择题 3 0.75 基础题 6 平面直角坐标系中点的平移规律 选择题 3 0.8 基础题 7 全面调查与抽样调查的适用场景 选择题 3 0.85 基础题 8 矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质 选择题 3 0.7 基础题 9 反比例函数的图象与性质、反比例函数的增减性 选择题 3 0.65 中档题 10 切线的性质、含30°角的直角三角形的性质、弧长的计算 选择题 3 0.6 中档题 11 平行线的性质、拐点问题的角度计算 填空题 3 0.75 基础题 12 最简二次根式的化简 填空题 3 0.9 基础题 13 因式分解（提公因式法、完全平方公式） 填空题 3 0.85 基础题 14 最简分式的化简、分式的基本性质 填空题 3 0.85 基础题 15 一次函数的实际应用、函数图象的读取、行程问题计算 填空题 3 0.7 基础题 16 角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形的面积计算 填空题 3 0.65 中档题 17 正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质 填空题 3 0.6 中档题 18 正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段最值问题 填空题 3 0.55 中档题 19 实数的运算（负整数指数幂、二次根式的乘法） 解答题 6 0.9 基础题 20 整式的化简求值（平方差公式、完全平方公式） 解答题 6 0.85 基础题 21 圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、弧长的计算 解答题 8 0.7 基础题 22 分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用、方案优化问题 解答题 8 0.65 中档题 23 统计数据的分析（平均数、中位数、众数）、用样本估计总体、概率的计算 解答题 9 0.7 基础题 24 解直角三角形的实际应用、旋转的性质、锐角三角函数的定义 解答题 9 0.6 中档题 25 正方形的性质、全等三角形的判定与性质、半角模型、平行四边形的性质、三角形的面积计算 解答题 10 0.55 中档题 26 二次函数的解析式求解、二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题、线段最值问题、定点问题 解答题 10 0.4 难题 合计 120 0.725 $ 参考答案与解析 一、选择题： 1.【答案】B  【解析】解：， 最小的数是：． 故选：． 本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：、该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，此选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意． 故选：． 本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：根据题意，列表如下： 由上表可知，所有等可能的情况有种，其中电路能发生短路的情况有种， 电路能发生短路， 故选：． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，故此运算正确，符合题意； B、根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘；，故此运算错误，不符合题意； C、与次数不同，不是同类项，不能合并，故此运算错误，不符合题意； D、根据单项式除法法则，，故此运算错误，不符合题意； 故选：． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 5.【答案】B  【解析】解：将分式方程变形为：， 方程两边同时乘，得． 故选：． 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即． 故选：． 本题考查的是坐标与图形变化平移，熟知点的平移规律是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：、检测“神舟十七号”载人飞船的零件的质量是否合格，适合采用普查方式，符合题意； B、检测一批灯的使用寿命，适合采用抽样调查方式，不符合题意； C、检测一批家用轿车的抗撞击能力，适合采用抽样调查方式，不符合题意； D、了解某市居民的月平均收入，适合采用抽样调查方式，不符合题意； 故选：． 本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 8.【答案】A  【解析】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为． 故选：． 本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则： 反比例函数中， 反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ， 当时，取最小值，当时，取最大值， 的最大值和最小值之差为， ， 解得：． 故选：． 本题考查反比例函数的性质，正确进行计算是解题关键． 10. 【答案】A  11. 【解析】解：设的中点为，连接，， 由切线的性质可得：，即， 在和中， ， ≌， ， ，且， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，即， ，， ，即圆半径为， 则． 故选：． 本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 二、填空题： 11.【答案】  【解析】解：延长交于点，延长交直线于点，  ，，    ，    ，  ，    故答案为：． 本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：把化成最简二次根式的结果为：． 故答案为：． 本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握相应的运算法则是关键． 13.【解析】解：原式 ． 故答案为：． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查因式分解提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14.【解析】解：原式  故答案为：． 题目考查了最简分式、约分，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 15.【答案】  【解析】解：设当 时，与的函数关系式为， 根据题意得：， 解得， ， 当 时，， 解得， ． 故答案为：． 本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由作图痕迹可知，平分，如图，过点作于点． ， ． 由条件可知， ． 故答案为：． 本题考查了基本作图、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 17.【答案】  【解析】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，多边形的内角与外角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 18.【答案】．  【解析】解：四边形是正方形， ， ， ，， ， 在与中， ， ≌， ，故正确； ≌， ， ， ， ， 为中点， ， ， ，故正确； 连接， ，，， ≌， ， ， ， 与不垂直，故错误； ， 点的轨迹是以为直径的圆， 取的中点，连接，， 当点，，三点共线时，的值最小， ，， ， ， ， ， 的最小值为，故正确， 故答案为：． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题： 19.【解析】解：原式 ． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【解析】解：      ，  当，时，  原式    ． 本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 21.【解析】证明：是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，为的切线， ， ． ， ， ； 解：如图，连接， ， ． ， ． 由知． 与相切，为的半径， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， 的长为． 本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 22.【解析】解：设甲型机器人模型的单价是元，则乙型机器人模型的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲型机器人模型的单价是元，乙型机器人模型的单价是元； 设学校再次购买台甲型机器人模型，则购买台乙型机器人模型， 根据题意得：， 解得：， 设学校再次购买两种型号机器人模型的总花费为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为，此时． 答：购买台甲型机器人模型、台乙型机器人模型时花费最少，最少花费是元． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 23.【解析】乙款组和组数据之和为， 乙款的中位数为第位数和第位数的平均数， 中位数； 甲款中出现次数最多的是， 众数； 乙款组的占比为， ， 故答案为：，，； 甲款评分数据中组数据个数为个， 人， 估计对甲款软件非常满意的人数为人； 小刚和小亮从甲、乙、丙三款人工智能软件各选择其中的一款软件进行体验，作树状图如下： 等可能出现的情况有种，符合要求的情况有个， 两人选择同一款软件的概率为． 本题主要考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，中位数，众数，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 24.【解析】解：， ， ，， ； 如图所示，过点作于点，交于点， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ． 25.【解析】解：由题意可知具体证明可见第二问， 故答案为：； 证明：由题可得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ≌， ， ， ． 解：如图，在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，米， 为中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ≌， ，， ，， ， ， ， ，， ≌． ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 过点作于点，于点， ， 在中，，， ， ， ， 需投入的资金为：元， 答：该公园种植郁金香需要投入元资金． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 26.【解析】解：设抛物线的解析式为， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为． 抛物线对称轴为直线， 由对称性得点坐标为； 令，得， ． 设直线的解析式为， 把、代入，得， 解得， 直线的解析式为．  点横坐标为，轴， 横坐标也为，代入直线的解析式，得， 坐标为， 故答案为：． ，理由如下：  设，  ；  轴，纵坐标等于纵坐标， 代入的解析式得横坐标为，即； ，且， 为等腰直角三角形， ． ， 当时，最大值为， 的最大值为． 平移后抛物线顶点为， 抛物线的解析式为．  直线与的解析式联立得：， 问题转化为方程在仅有一个解： 情况：只有一个交点，， 解得， 此时根为，符合； 情况：两个交点， 设， 则，即， 解得； 综上，的取值范围为或． 联立与的解析式，得，即， 设，， ，， 线段的中点；  联立与的解析式，同理得中点； 设直线的解析式为， 把点、 代入，得， 解得， 直线的解析式为， 无论取何值，当时，恒成立，  因此定点坐标为． 本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解顶点坐标，列面积函数关系式，二次函数的性质的应用，轴对称的性质，菱形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $