精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第四教研区中考第三次阶段测试数学试题

2026年中考学科适应性第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点O为的中点，平分，且点P为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 为感受传统文化魅力，王老师将立春、雨水、惊蛰、春分四个节气写在4张形状、大小完全相同的卡片上，背面朝上洗匀．随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张，则抽到的两张卡片中，含有“春”字的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A. B. 1 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______． 13. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，则___________的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，在扇形AOB中，，，交于点D，过点D作于点E，若，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，在直角坐标系中，点是线段的中点，为轴上一个动点，以为直角边作等腰直角(点以顺时针方向排列)，其中，则点的横坐标等于_____________，连结，当达到最小值时，的长为___________________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简： （1）计算： （2）化简： 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 90.5 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 18. 某校学生开展社会实践活动，测量路灯的太阳能电池板离地面的高度．如图，测倾器的高度为1.6米，在A点安置测倾器，测得点M的仰角，在与A点相距5米的D点安置测倾器，测得点M的仰角；点A，D，N在同一条水平直线上，求电池板离地面的高度（线段MN）．（结果取整数．参考数据：，，） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作轴，交于点D（保留作图痕迹，不写作法），若点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 20. 如图，在中，，平分，交于点，以上一点为圆心的经过点，，分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）试探究线段，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 21. 2026年6月5日是第55个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买2盏甲种路灯和1盏乙种路灯共需220元；购买2盏甲种路灯比3盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点A，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求的值． 23. 在中，，于点D，点E在上，且，连接，． （1）如图1，若． ①直接写出与的位置关系和数量关系． ②将绕点D旋转得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系和数量关系与（1）中的结论是否一致？请以图2为例说明理由． （2）如图3，当绕点D逆时针旋转时，设射线与，分别交于点F，G，且，若，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科适应性第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算绝对值，再根据实数大小的比较法则得出答案； 【详解】解：∵|-2|=2， ∴-1＜0＜|-2|＜ ∴最小的数为：-1 故选：C 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向观察立体图形，熟练掌握从左面观察立体图形的形状是解题的关键．从左面观察立体图形，确定各小正方体的分布位置，再匹配选项即可． 【详解】解：从左面看到的平面图形是： ． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的相关运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 5. 如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线定义求出，再通过角的和差计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． ∵， ∴． 6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 则不等式组的解集为． 7. 在中，，，点O为的中点，平分，且点P为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质及角平分线的定义得到，推出，从而求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴经过点O， ∴， ∵点P为的中点． ∴是的中位线， ∴． 8. 为感受传统文化魅力，王老师将立春、雨水、惊蛰、春分四个节气写在4张形状、大小完全相同的卡片上，背面朝上洗匀．随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张，则抽到的两张卡片中，含有“春”字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将写有立春、雨水、惊蛰、春分四个节气的四张卡片分别标注a，b，c，d．利用列表法即可求解． 【详解】解：将写有立春、雨水、惊蛰、春分四个节气四张卡片分别标注a，b，c，d． 由题意，列表如下： a b c d a b c d 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中王老师抽到含有“春”字的结果有10种，王老师抽到含有“春”字的概率为． 9. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示： 与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 10. 如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点在上运动时的面积即的值，再根据点沿运动到时的路程来求的值即可． 【详解】解：当点在上运动时， 由图知，点沿运动到时，路程为． ∴ ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得：． 13. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，则___________的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，读懂统计图是解题的关键． 根据折线统计图可知甲的波动比乙小，即可判断甲成绩稳定． 【详解】解：由折线统计图可得，甲的波动比乙小，则甲的成绩更稳定， 故答案为：甲． 14. 如图，在扇形AOB中，，，交于点D，过点D作于点E，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】解直角三角形求得，根据，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． ∴ ． 15. 如图，在直角坐标系中，点是线段的中点，为轴上一个动点，以为直角边作等腰直角(点以顺时针方向排列)，其中，则点的横坐标等于_____________，连结，当达到最小值时，的长为___________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过E点作EF⊥y轴于点F，求证，即可的到点的横坐标； （2）设点E坐标，表示出的解析式，得到的最小值进而得到点E坐标，再由得到点D坐标，进而得到的长. 【详解】（1）如下图，过E点作EF⊥y轴于点F ∵EF⊥y轴， ∴， ∴ ∵为等腰直角三角形 ∴ 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点的横坐标等于； （2）根据（1）设 ∵，，是线段的中点 ∴ ∴ ∴当时，有最小值，即有最小值 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，点坐标的表示，二次函数的最值问题，两点之间的距离公式等，熟练掌握综合题的解决技巧是解决本题的关键. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A．；B．；C．；D．．）下面给出了部分信息． 甲款聊天机器人的评分扇形统计图 甲、乙款聊天机器人的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 89.95 905 85 乙款 91.4 86 乙款聊天机器人的评分频数分布统计表 分组 频数 3 7 4 乙款聊天机器人的评分组的数据从低到高排列如下： 91，91，92，93，94，95，95． （1）填空：______，______，______． （2）你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数． 【答案】（1）15，6，91 （2）乙款聊天机器人更受用户喜爱， 理由如下： 因为乙款聊天机器人评分的平均数比甲款高，所以乙款聊天机器人更受用户喜爱；（答案不唯一）； （3）估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． （1）用“1”分别减去其它三组所占百分比可得a的值；用20分别减去其它三组的频数可b的值；根据中位数的定义可得c的值； （2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，即； ； 把乙款聊天机器人抽取20份评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是91，91，故中位数， 故答案为：15，6，91； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次调查中对两种聊天机器人评分在90分以上的总人数为445人． 18. 某校学生开展社会实践活动，测量路灯的太阳能电池板离地面的高度．如图，测倾器的高度为1.6米，在A点安置测倾器，测得点M的仰角，在与A点相距5米的D点安置测倾器，测得点M的仰角；点A，D，N在同一条水平直线上，求电池板离地面的高度（线段MN）．（结果取整数．参考数据：，，） 【答案】电池板离地面的高度MN约为11米 【解析】 【分析】延长BC交MN于点H．设米，则米，在中，利用正切函数关系建立方程求得x的值，即可求得电池板离地面的高度． 【详解】解：如图，延长BC交MN于点H． 由题意得米，米． 设米． ∵， ∴米． 在中，，解得， ∴（米）， 答：电池板离地面的高度MN约为11米． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x不等式的解集； （3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作轴，交于点D（保留作图痕迹，不写作法），若点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为： （2） （3）图见解析，或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到作图、一次函数的反比例函数的性质、解不等式等，难度不大． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象，即可求解； （3）作即可作图；由，则，即可求解． 【小问1详解】 将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：， 则，， 即反比例函数的表达式为：， 则点， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： 解得：， 即一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 观察函数图象知，不等式的解集为：； 【小问3详解】 作图见如图： 设点， ∵，则， 解得： 即点或． 20. 如图，在中，，平分，交于点，以上一点为圆心的经过点，，分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）试探究线段，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】连接，根据角平分线分得的角相等和半径相等、等边对等角可以证明，所以，即证出，进而证明结论； 连接，先根据勾股定理计算的长，再根据直径所对的圆周角为证明∽，最后根据相似三角形的性质计算出直径的长即可解答； 连接并延长交的延长线于点，连接，先根据证明≌，得到，，再根据圆周角相等可得所对弧相等和，由三线合一可得，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ∥， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图： ，，， ， 是直径， ， ， 又， ∽， ， ， 解得：， 的半径为； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图：连接并延长交的延长线于点，连接， 在和中 ， ≌， ，， ， ， 为等腰三角形， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键． 21. 2026年6月5日是第55个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买2盏甲种路灯和1盏乙种路灯共需220元；购买2盏甲种路灯比3盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）甲种路灯的单价是65元，乙种路灯的单价是90元 （2）当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少 【解析】 【分析】（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，购买m盏甲种路灯，则购买盏乙种路灯，根据题意表示出w，然后根据“购买甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的”列出不等式得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：甲种路灯的单价是65元，乙种路灯的单价是90元． 【小问2详解】 解：设该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，购买m盏甲种路灯，则购买盏乙种路灯， 根据题意，得． ∵， ∴随m的增大而减小． 又∵， ∴， ∴当时，取得最小值，此时（盏）． 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点A，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质、平面直角坐标系中三点共线的证法、二次函数的最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式求解即可； （2）先求出直线解析式，然后把点坐标求出，代入直线解析式看是否成立，进而即可证出； （3）由题易得，，分类讨论，看其在对称轴同侧还是异侧，然后根据增减性解决问题即可． 【小问1详解】 解：抛物线为常数）的对称轴为直线， ， 解得； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ， 抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点， ，， 设经过点，的直线的解析式为， 将其坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得或， ， ，即， 将代入直线得，， 点在直线上， 即点，，三点共线； 【小问3详解】 解：点，是抛物线上的两点， ，， 抛物线的开口向上，对称轴为， 分以下两种情况： ①当时，则，点，在对称轴两侧， 此时图象上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ， 点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）； ②当时，则，，均在对称轴的右侧，随的增大而增大， 此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大， ．， 解得； 综上所述，的值为3． 23. 在中，，于点D，点E在上，且，连接，． （1）如图1，若． ①直接写出与的位置关系和数量关系． ②将绕点D旋转得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系和数量关系与（1）中的结论是否一致？请以图2为例说明理由． （2）如图3，当绕点D逆时针旋转时，设射线与，分别交于点F，G，且，若，直接写出此时的长． 【答案】（1）解：①；； ②结论一致，，，理由如下： 如图2，延长交于点H． 由（1）知，，． ∴， ∵绕点D旋转得到， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∵，． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）①如图1，延长交于点H．求解，，可得，结合，可得，进一步证明垂直即可； ②如图2，延长交于点H．证明，再证明，进一步证明即可． （2）如图3，过点F作交于点H，过点D作于点K． 证明，结合旋转求解，证明，可得，．进一步在中与在中利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：①如图1，延长交于点H． ∵， ∴． 在中，∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②略 【小问2详解】 解：如图3，过点F作交于点H，过点D作于点K． ∵， ∴， 由旋转得，， ∴，， ∴． 在中，， ∵， ∴，． 在和中，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $