2.2 2.2.2　直线的两点式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，课堂导入从斜拉桥斜拉索的现实情境出发，通过“如何建立直线方程”的问题，关联已学的点斜式，引导学生从两点坐标抽象出斜率，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过“两点式是否与点顺序有关”“截距相等时方程形式”等问题培养数学思维，结合典例变式（如截距互为相反数、乘积为64）提升运算能力，分层练习涵盖基础巩固与创新探索，助力学生用数学语言表达方程应用，教师可直接利用结构化资源高效教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 直线和圆的方程 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标　1.理解直线的两点式方程，会求直线的两点式方程，以培养数学抽象、运算能力．(重点)　2.理解直线的截距式方程，会求直线的截距式方程，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.能用直线的两点式、截距式方程及中点坐标公式解决相关问题，以提升逻辑推理能力．(难点) 2．2　直线的方程 2．2．2　直线的两点式方程 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题1　斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？ 提示：根据直线上的两点坐标我们可以求出直线的斜率，进而利用上节课中的点斜式方程写出直线方程． 提示：设点P2(x2，y2)，由中点坐标公式：a＝ eq \f(x1＋x2,2)，b＝ eq \f(y1＋y2,2)，所以x2＝2a－x1，y2＝2b－y1，则点P2(2a－x1，2b－y1). 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P62，分析思考：所有直线都可以用两点式方程来表示吗？ 提示：与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示． (2)请认真阅读教材P63，分析思考： 如果已知点P(a，b)是线段P1P2的中点，其中P1(x1，y1)，那么点P2的坐标是什么？ 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两点式方程与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序有关．(　　 ) (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则此直线可以用截距式方程表示．(　　 ) (3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　 ) (4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　直线的两点式方程 问题2　如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试用点斜式写出l的方程． 提示：y－y1＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)(x－x1). x＝x1 垂直于 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 ． 当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即 ；当y1＝y2时，直线P1P2 y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1. eq \f(x－x1,x2－x1) 两点式 eq \x(,(1)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关．,(2)把直线的两点式方程化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，则该方程表示过平面内任意不同两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线．) 温馨提示 (1)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． (2)把直线的两点式方程化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，则该方程表示过平面内任意不同两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线. 例1　(链接教材：人A版教材P64练习T1)求过A(2，1)，B(m，3)两点的直线l的方程． 解：①当m＝2时，直线l的方程为x＝2； ②当m≠2时，直线l的方程为 eq \f(y－1,3－1)＝ eq \f(x－2,m－2)， 即2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为当m＝2时，x＝2满足上式， 所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0. 类题通法 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 提醒：要注意判断所给两点是否满足两点式方程的适用条件． 【迁移运用】 1.已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程． 解：直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为 eq \f(y－3,－1－3)＝ eq \f(x－1,－2－1)， 整理得4x－3y＋5＝0，即为边AB所在直线的方程．直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1. 　直线的截距式方程 问题3　如图，若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：根据两点式， eq \f(y－0,b－0)＝ eq \f(x－a,0－a)，整理得 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1. 问题4　同学们想一想，直线 eq \f(x,3)－ eq \f(y,4)＝1在两坐标轴上的截距之和为多少呢？ 提示：直线 eq \f(x,3)－ eq \f(y,4)＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线 eq \f(x,3)－ eq \f(y,4)＝1在两坐标轴上的截距之和为－1. eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1 截距式 我们把直线l与x轴的交点(a，0)的 叫做直线l在x轴上的 ，此时直线l在y轴上的截距是b．方程 由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫作直线的截距式方程，简称 ． 横坐标a 截距 eq \x(,(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．) 温馨提示 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示；过原点的直线的横、纵截距都为零． 例2　(链接教材：人A版教材P64练习T2)求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,－a)＝1.又l过点(3，4)，所以 eq \f(3,a)＋ eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为 eq \f(x,－1)＋ eq \f(y,1)＝1，即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝ eq \f(4,3)，直线l的方程为y＝ eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 变式演练　1.(变条件)若将本例中条件“截距互为相反数”改为“截距相等”，又如何求直线l的方程？ 解：(1)当截距不为0时， 设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1， 又l过点(3，4)，所以 eq \f(3,a)＋ eq \f(4,a)＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝ eq \f(4,3)， 所以直线l的方程为y＝ eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 2．(变条件)若将本例中条件“截距互为相反数”改为“截距之积为64”，又如何求直线l的方程？ 解：设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1，由已知得ab＝64　①. 又直线l过点(3，4)，所以 eq \f(3,a)＋ eq \f(4,b)＝1　②. 由①②解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝16))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝\f(16,3)．)) 故直线l的方程为 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,16)＝1或 eq \f(x,12)＋ eq \f(y,\f(16,3))＝1， 即4x＋y－16＝0或4x＋9y－48＝0. 　直线方程的应用 问题5　截距式方程 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1在使用过程中，应该注意哪些问题呢？ 提示：截距式方程应用的注意事项． (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 两点式 纵截距与横截距 1．一般地，求直线的方程时，已知一点的坐标及斜率通常选择 ；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在x轴、y轴上的截距选择 ；已知两点坐标，选择 ．但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件． 2．与面积、周长有关的问题中常用截距式方程形式，除此外，也可以在方程中分别赋值x＝0和y＝0，求出 ． 点斜式 截距式 例3　已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：法一　设直线方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)， 把点P(3，2)代入得 eq \f(3,a)＋ eq \f(2,b)＝1≥2 eq \r(\f(6,ab))，得ab≥24， 从而S△AOB＝ eq \f(1,2)ab≥12，当且仅当 eq \f(3,a)＝ eq \f(2,b)时等号成立， 此时k＝－ eq \f(b,a)＝－ eq \f(2,3)，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0. 法二　由题意知，直线l的斜率k存在且k<0， 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 且有A，B(0，2－3k)， ∴S△ABO＝＝ ≥＝ eq \f(1,2)×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝ eq \f(4,－k)，即k＝－ eq \f(2,3)时，等号成立， 即△ABO的面积的最小值为12，故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0. 类题通法 计算最值问题的方法 对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用基本不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件． 【迁移运用】 2.直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋ eq \r(a2＋b2)＝12　①. 因为直线l过点P， 所以 eq \f(4,3a)＋ eq \f(2,b)＝1　②. 联立①②，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝\f(9,2)，)) 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)， 由题意知， eq \f(1,2)ab＝6即ab＝12　③， 联立②③，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.)) 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 1．过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　 ) A． eq \f(y－2,5－1)＝ eq \f(x－1,3－1) B． eq \f(y－2,3－2)＝ eq \f(x－1,5－1) C． eq \f(y－1,5－1)＝ eq \f(x－3,2－3) D． eq \f(x－2,5－2)＝ eq \f(y－3,1－3) 解析：选B．∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是 eq \f(y－2,3－2)＝ eq \f(x－1,5－1). 2．(多选)下列命题中不正确的是(　　 ) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示 D．不经过原点的直线都可以用方程 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1表示 解析：选ABD．A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0； B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示； D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1表示． 3．直线 eq \f(x,2)－ eq \f(y,3)＝1与坐标轴围成的图形面积为 ． 解析：化为截距式 eq \f(x,2)＋ eq \f(y,－3)＝1，a＝2，b＝－3， S＝ eq \f(1,2)|a|·|b|＝ eq \f(1,2)×2×3＝3. 答案：3 4．直线l过点(－4，－1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为 ． 解析：当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx. ∵直线过点(－4，－1)， ∴－1＝k×(－4)，∴k＝ eq \f(1,4)， 即直线的方程为x－4y＝0. 当截距均不为0时，设直线的方程为 eq \f(x,2a)＋ eq \f(y,a)＝1. ∵直线过点(－4，－1)， ∴ eq \f(－4,2a)＋ eq \f(－1,a)＝1，解得a＝－3， 即直线方程为x＋2y＋6＝0. 综上，所求直线方程为x＋2y＋6＝0或x－4y＝0. 答案：x＋2y＋6＝0或x－4y＝0 【基础巩固】 1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　　 ) A．－ eq \f(3,2) B．－ eq \f(2,3) C． eq \f(2,5) D．2 解析：选A．由直线的两点式方程得过点(－1，1)和(3，9)的直线方程为 eq \f(y－1,9－1)＝ eq \f(x＋1,3＋1)，即2x－y＋3＝0.令y＝0，得x＝－ eq \f(3,2). 2．若直线 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1过第一、三、四象限，则(　　 ) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析：选B．因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0. 3．(多选)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为(　 ) A．x＋y－5＝0 B．x－y－5＝0 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 解析：选AC．当直线过点(0，0)时，直线方程为y＝ eq \f(1,4)x，即x－4y＝0； 当直线不过点(0，0)时，可设直线方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1，把(4，1)代入， 解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0. 4．(易错题)两条直线l1： eq \f(x,a)－ eq \f(y,b)＝1和l2： eq \f(x,b)－ eq \f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　 ) 解析：选A．将两方程化为截距式l1： eq \f(x,a)＋ eq \f(y,－b)＝1，l2： eq \f(x,b)＋ eq \f(y,－a)＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合． 5．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　 ) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 解析：选A．由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为 eq \f(y－4,2－4)＝ eq \f(x－2,3－2)，即2x＋y－8＝0. 6．(多选)若直线过点(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则该直线的方程为(　　) A．2x＋3y－6＝0 B．2x－3y＋6＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 解析：选AC．设直线的截距式方程为 eq \f(x,a＋1)＋ eq \f(y,a)＝1.又直线过点(6，－2)， 则 eq \f(6,a＋1)＋ eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是 eq \f(x,2＋1)＋ eq \f(y,2)＝1或 eq \f(x,1＋1)＋ eq \f(y,1)＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 7．(学科融合)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为____，反射光线所在直线的方程为____． 解析：∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为 eq \f(y－6,－2－6)＝ eq \f(x＋1,3＋1)，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为 eq \f(y－2,－6－2)＝ eq \f(x－3,－1－3)，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4. 答案：y＝2x－4　y＝－2x＋4 8．求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式． 解：过A，B两点的直线的两点式方程是 eq \f(y＋1,3＋1)＝ eq \f(x－4,－2－4). 化为点斜式为y＋1＝－ eq \f(2,3)(x－4)，斜截式为y＝－ eq \f(2,3)x＋ eq \f(5,3)，截距式为 eq \f(x,\f(5,2))＋ eq \f(y,\f(5,3))＝1. 9．已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 解：(1)因为直线l的两点式方程为 eq \f(y－6,－8－6)＝ eq \f(x－1,8－1)， 所以 eq \f(y－6,－14)＝ eq \f(x－1,7)，即 eq \f(y－6,－2)＝x－1， 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8， 所以 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,8)＝1. 故所求截距式方程为 eq \f(x,4)＋ eq \f(y,8)＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝ eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝ eq \f(1,2)×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 【综合运用】 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 解析：选D．由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4，4)，则所求直线方程为 eq \f(y－0,4－0)＝ eq \f(x＋4,4＋4)，即x－2y＋4＝0. 11．(多选)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围可以是(　　 ) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－1)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：选BD．设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1； 过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝ eq \f(1,2)， 满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪. 12．经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为________． 解析：设直线的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1，4)，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)＝1. 则截距之和a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9， 当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)， 即2a＝b时取得最小值，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(4,2a)＝1， 解得a＝3，则b＝6， 所以直线的方程为 eq \f(x,3)＋ eq \f(y,6)＝1，即2x＋y－6＝0. 答案：2x＋y－6＝0 13．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0， eq \f(10,a))，则直线AB的方程为________． 解析：依题意知，a＝2，P(0，5). 设A(x0，2x0)，B(－2y0，y0)， 则由中点坐标公式得x0－2y0＝0，2x0＋y0＝10， 解得x0＝4，y0＝2， 所以A(4，8)，B(－4，2)， 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是 eq \f(y－8,2－8)＝ eq \f(x－4,－4－4)，即3x－4y＋20＝0. 答案：3x－4y＋20＝0 14．已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程． 解：根据题意，设直线l的方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1，由题意知a>2，b>1， ∵l过点M(2，1)，∴ eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝1，解得b＝ eq \f(a,a－2)， ∴△AOB的面积S＝ eq \f(1,2)ab＝ eq \f(1,2)a· eq \f(a,a－2)， 化简得a2－2aS＋4S＝0.　① ∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去). ∴S的最小值为4， 将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4， ∴b＝ eq \f(a,a－2)＝2. ∴直线l的方程为x＋2y－4＝0. 【创新探索】 15．(2025·山东青岛期末)t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10－t，0). (1)直线PQ是否能通过点M(6，1)，点N(4，5)； (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上． ①求证：顶点C一定在直线y＝ eq \f(1,2)x上． ②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标． 解：(1)令过P，Q的方程为 eq \f(y－0,t－0)＝ eq \f(x－(10－t),t－(10－t))， 即tx－2(t－5)y＋t2－10t＝0， 假设直线PQ过点M， 则t2－6t＋10＝0，Δ＝36－40<0，无实根，故直线PQ不过点M. 假设直线PQ过点N， 同理得t2－16t＋50＝0，t1＝8－ eq \r(14)，t2＝8＋ eq \r(14)(舍去). ∵t∈(0，10)，∴当t＝8－ eq \r(14)时，直线PQ过点N(4，5). (2)由已知条件可设A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a)，D(a，a). ①证明：点C(2a，a)，即x＝2a，y＝a， 消去a得y＝ eq \f(1,2)x，故顶点C在直线y＝ eq \f(1,2)x上． ②令阴影部分面积为S，则S＝ eq \f(1,2)|10－t|×|t|－a2， ∵t>0，10－t>0，∴S＝ eq \f(1,2)(－t2＋10t)－a2， ∵点C(2a，a)在直线PQ上， ∴2at－2(t－5)a＝－t2＋10t， ∴a＝ eq \f(1,10)(10t－t2)， S＝ eq \f(1,2)×10a－a2＝－(a－ eq \f(5,2))2＋ eq \f(25,4)， ∴当a＝ eq \f(5,2)时，Smax＝ eq \f(25,4)， 此时顶点A，B，C，D的坐标为A( eq \f(5,2)，0)，B(5，0)，C(5， eq \f(5,2))，D( eq \f(5,2)， eq \f(5,2)). $