专题研究一 圆锥曲线的离心率问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件系统梳理了圆锥曲线离心率的核心知识，通过专题讲解、题型分类（直接求解、齐次方程、取值范围）及探究总结，串联椭圆与双曲线的定义、几何性质、方程关系，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“题型示例-多法解析-分层思考”模式，如求离心率范围时结合坐标法、圆与椭圆交点等多角度分析，培养数学眼光与逻辑推理能力。思考题从基础到综合，适配不同学生，助力教师精准教学，提升复习效率。

专题研究一　圆锥曲线的 离心率问题 专题讲解 2 例 1 √ 题型一　 公式法 第页 3 第页 探究1 第页 √ 第页 √ 第页 √ 例 2 第页 第页 探究2 第页 第页 第页 例 3 题型二　 齐次方程求离心率 第页 13 √ 第页 例 4 题型三　 求离心率的取值范围 第页 15 第页 第页 第页 第页 √ 第页 第页 探究3 求离心率取值范围的常用思路 (1)通过几何方法，如点的坐标、三角形中的不等关系等求离心率的取值范围． (2)通过代数方法，如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围． 第页 第页 第页 √ 第页 返 回 请做：课时作业（四十二） 　已知F(c，0)为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(\r(3),2)b与椭圆E交于A，B两点，若△ABF的周长等于4c，则椭圆E的离心率等于(　　) A.eq \f(3,4)　　　　　 　 　　 B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),2) 【解析】　不妨设A在第一象限， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),2)b，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x＝±eq \f(a,2)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))， 所以|AB|＝a，记椭圆E的左焦点为C，连接BC，AC，由对称性可知四边形ABCF为等腰梯形， 所以|BF|＝|AC|，由椭圆定义知，|AF|＋|AC|＝2a， 所以△ABF的周长等于|AF|＋|BF|＋|AB|＝|AF|＋|AC|＋|AB|＝2a＋a＝3a＝4c，所以椭圆E的离心率等于eq \f(c,a)＝eq \f(3,4)，故选A. 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而利用公式e＝eq \f(c,a)求解． 【解析】　因为以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，所以圆也必过椭圆的左焦点，以这两个焦点及A，B为顶点的四边形为矩形，直线y＝－eq \r(3)x的倾斜角为120°，所以矩形的宽是c，长是eq \r(3)c，由椭圆定义知矩形的长、宽之和等于2a，即c＋eq \r(3)c＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选C. 思考题1　(1)直线y＝－eq \r(3)x与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \r(3)－1 D．4－2eq \r(3) 【解析】　如图，连接AF1，则∠F1AF2＝90°，又∠AF2B＝60°，所以易得|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，所以eq \r(3)c－c＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1. (2)如图所示，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　) A.eq \r(5)－1 B.eq \f(\r(3)＋1,2) C.eq \r(3)＋1 D.eq \f(\r(5)＋1,2) 　已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且eq \o(PF1,\s\up18(→))·(eq \o(OF1,\s\up18(→))＋eq \o(OP,\s\up18(→)))＝0(O为坐标原点)，若|eq \o(PF1,\s\up18(→))|＝eq \r(2)|eq \o(PF2,\s\up18(→))|，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \r(6)－eq \r(3) B.eq \f(\r(6)－\r(3),2) C.eq \r(6)－eq \r(5) D.eq \f(\r(6)－\r(5),2) 【解析】　根据向量加法的平行四边形法则，以OF1，OP为邻边作平行四边形，由eq \o(PF1,\s\up18(→))·(eq \o(OF1,\s\up18(→))＋eq \o(OP,\s\up18(→)))＝0知，此平行四边形的对角线互相垂直，即此平行四边形为菱形，∴|eq \o(OP,\s\up18(→))|＝|eq \o(OF1,\s\up18(→))|，∴△F1PF2是直角三角形，且PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq \r(2)x，结合椭圆的性质和勾股定理，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x＝2a，,（\r(2)x）2＋x2＝（2c）2，))∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),\r(2)＋1)＝eq \r(6)－eq \r(3).故选A. 涉及焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq \f(c,a)的值． 【解析】　如图，设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的半焦距为c，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，则直线AB：x＝c， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))解得|AF2|＝|y|＝eq \f(b2,a)， 思考题2　过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交椭圆C于A，B两点，直线l过椭圆C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l相切，则椭圆C的离心率为________________． eq \f(\r(5),5) 又|DF1|＝eq \r(c2＋b2)＝a，则sin∠DF1O＝eq \f(|DO|,|DF1|)＝eq \f(b,a)，故点F2到直线l的距离 d＝|F1F2|sin∠DF1O＝2c·eq \f(b,a)＝eq \f(2bc,a)， 由以AB为直径的圆与l相切，得d＝|AF2|，即eq \f(2bc,a)＝eq \f(b2,a)，则b＝2c，a＝eq \r(5)c， 所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5). 【解析】　由题意知F2(c，0)(a2－b2＝c2，c>0)，则|PF2|＝b·eq \r(1－\f(c2,a2))＝eq \f(b2,a)，|F1F2|＝2c，又△F1PQ为等边三角形，则eq \f(b2,a)×eq \r(3)＝2c⇒eq \f(a2－c2,a)＝eq \f(2c,\r(3))，即eq \r(3)a2－eq \r(3)c2＝2ac，∴eq \r(3)e2＋2e－eq \r(3)＝(eq \r(3)e－1)(e＋eq \r(3))＝0，解得e＝eq \f(\r(3),3)(负根舍去)． 　已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线交椭圆于P，Q两点，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率为________． eq \f(\r(3),3) 思考题3　已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，直线y＝3x＋3a与C交于A，B两点，且BF⊥x轴，则C的离心率为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D．3 【解析】　易知直线y＝3x＋3a经过C的左顶点A(－a，0)，且yB＜0，F(－c，0)，因为BF⊥x轴，所以eq \f(c2,a2)－2,B)eq \f(y,b2) ＝1，解得yB＝－eq \f(b2,a)或yB＝eq \f(b2,a)(舍去)，所以点B坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，则－eq \f(b2,a)＝－3c＋3a，整理得3ac－3a2＝b2，所以3ac－3a2＝c2－a2，即c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝2，故C正确． 　(1)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为 ________． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 【解析】　方法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|<a. ∵F1(－c，0)，F2(c，0)，∴eq \o(MF1,\s\up18(→))＝(－c－x0，－y0)，eq \o(MF2,\s\up18(→))＝(c－x0，－y0)． ∵∠F1MF2＝90°，∴eq \o(MF1,\s\up18(→))·eq \o(MF2,\s\up18(→))＝0，∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝c2. 又yeq \o\al(2,0)＝b2－eq \f(b2,a2)xeq \o\al(2,0)，∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝b2＋eq \f(c2,a2)xeq \o\al(2,0)∈[b2，a2)， 即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)， ∴e≥eq \f(\r(2),2)或e≤－eq \f(\r(2),2)，又0<e<1， 故椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 方法二：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|<a， 由题意知以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，故联立2,0)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(yeq \o\al(2,0),b2)＝1，,xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝c2，)) 消去y0，得xeq \o\al(2,0)＝eq \f(a2（c2－b2）,c2). ∵0≤xeq \o\al(2,0)<a2，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a2（c2－b2）,c2)≥0①，,\f(a2（c2－b2）,c2)<a2②.)) 由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2， ∴a2≤2c2，∴e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2). 又0<e<1，∴e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 由②得c2－b2<c2，此式恒成立． 综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 方法三：设椭圆与y轴的一个交点为P，连接PF1，PF2. ∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，∴e≥eq \f(\r(2),2)或e≤－eq \f(\r(2),2)， 又0<e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). (2)已知双曲线E：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，过点M(－b，0)的两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B.若△MAB为锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) 【解析】　由题意直线l1的斜率存在且恒大于0，如图，设过点M(－b，0)的直线l1：y＝k(x＋b)(k>0)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋b），,\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝1，)) 整理，得(b2k2－a2)x2＋2b3k2x＋b2(b2k2－a2)＝0， 依题意，得b2k2－a2≠0，Δ＝4b6k4－4b2(b2k2－a2)2＝0，所以k2＝eq \f(a2,2b2). 由双曲线的对称性及△MAB为锐角三角形，得0<k2＝eq \f(a2,2b2)<1，所以a2<2(c2－a2)， 整理，得双曲线E的离心率e＝eq \f(c,a)>eq \f(\r(6),2).故选D. (eq \r(2)－1，1) 思考题4　(1)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为_____________． 【解析】　在△PF1F2中，由正弦定理， 得eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1). ∵eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，∴eq \f(a,|PF2|)＝eq \f(c,|PF1|). 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a， 则eq \f(c,a)·|PF2|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq \f(2a2,c＋a). 由椭圆的几何性质，知a－c<|PF2|<a＋c，则a－c<eq \f(2a2,c＋a)<a＋c，即a2－c2<2a2<(a＋c)2， 即c2＋2ac－a2>0， ∴e2＋2e－1>0，解得e<－eq \r(2)－1或e>eq \r(2)－1. 又e∈(0，1)，∴e∈(eq \r(2)－1，1)． (2)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成角为60°的直线A1B1和A2B2，满足|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) 【解析】　不妨设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，A1，A2在y轴右侧，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1与A2，B1与B2关于x轴对称，如图． ∵满足条件的直线只有一对，∴tan 30°<eq \f(b,a)≤tan 60°， 即eq \f(\r(3),3)<eq \f(b,a)≤eq \r(3).∴eq \f(1,3)<eq \f(b2,a2)≤3. 又b2＝c2－a2，∴eq \f(1,3)<eq \f(c2－a2,a2)≤3，即eq \f(4,3)<e2≤4，∴eq \f(2\r(3),3)<e≤2，即e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2)). $